专题20 常见数列的求和问题(原卷版)

专题20常见数列的求和问题例题选讲题型一公式法若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n项和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.②等比数列的前n项和公式(Ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(Ⅱ)当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).例1、(2019通州、海门、启东期末）设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4，则它的前5项和S5＝________．例2、(2019镇江期末）设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若eq\f(a6,a3)＝－eq\f(1,2)，则eq\f(S6,S3)＝________．例3、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列的前n项和为，若，则＝．题型二、分组求和法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，或者常数列等特色数列。再分布求和。例4、数列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，(2n－1)＋eq\f(1,2n)，…的前n项和Sn的值等于________．例5、数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________.题型三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式：(1)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)；(2)eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1)))；(3)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).例6、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则(akak＋1)的值为________．题型四、错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广。特别注意错位相减法的步骤。例7、(2016南京调研）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．二、达标训练1、(2019苏北四市、苏中三市三调）已知是等比数列，前项和为．若，，则的值为．2、(2018南京学情调研）.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为________．3、(2018苏州暑假测试）等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，若对任意n∈N*，总有Sn≤Sk，则k的值是________．4、(2018苏州暑假测试）已知数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn；5、(2018扬州期末）且2Sn＝aeq\o\al(2,n)＋an，数列{bn}满足b1＝eq\f(1,2)，2bn＋1＝bn＋eq\f(bn,an).(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝eq\f(bn＋2,Sn)，求和c1＋c2＋…＋cn；6、（2019山东师大附中二模）已知数列是公差不为的等差数列，，且，，成等比数列．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前项和．7、等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)令cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,Sn)，n为奇数，,bn，n为偶数，))设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n.8、设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{b