专题07 圆锥曲线中的直线(原卷版)

专题07圆锥曲线中的直线（线段）的问题解析几何题的解题思路一般很容易觅得，实际操作时，往往不是因为难于实施，就是因为实施起来运算繁琐而被卡住，最终放弃此解法，因此方法的选择特别重要．从思想方法层面讲，解决解析几何问题主要有两种方法：一般的，设线法是比较顺应题意的一种解法，它的参变量较少，目标集中，思路明确；而设点法要用好点在曲线上的条件，技巧性较强，但运用的好，解题过程往往会显得很简捷．对于这道题，这两种解法差别不是很大，但对于有些题目，方法选择的不同，差别会很大，因此要注意从此题的解法中体会设点法和设线法的不同．一、题型选讲题型一圆锥曲线中的线段的关系例1、(2019南京学情调研）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且直线l：x＝2被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P，Q两点，且PQ的中点R在直线l上．点M(1，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)求证：MR⊥PQ.例2、(2016南京三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，点(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ.题型二圆锥曲线中直线的斜率问题例3、(2018苏锡常镇调研）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))，点A是椭圆的下顶点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y＝x分别相交于E，F两点，已知OE＝OF，求直线l1的斜率．例4、(2019苏州期初调查）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为eq\f(1,2)，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))为椭圆上一点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．例5、(2019通州、海门、启东期末）如图，A是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左顶点，点P，Q在椭圆上且均在x轴上方，(1)若直线AP与OP垂直，求点P的坐标；(2)若直线AP，AQ的斜率之积为eq\f(3,4)，求直线PQ的斜率的取值范围．题型三圆锥曲线中直线的方程例6、(2018南通、泰州一调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，两条准线之间的距离为4eq\r(2).(1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝eq\f(8,9)上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．例7、(2018南京、盐城、连云港二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，上顶点A到右焦点的距离为eq\r(2).过点D(0，m)(m≠0)作不垂直于x轴，y轴的直线l交椭圆E于P，Q两点，C为线段PQ的中点，且AC⊥OC.(1)求椭圆E的方程；(2)求实数m的取值范围；(3)延长AC交椭圆E于点B，记△AOB与△AOC的面积分别为S1，S2，若eq\f(S1,S2)＝eq\f(8,3)，求直线l的方程．题型四圆锥曲线中与向量的结合例8、(2017镇江期末）已知椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞n＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝________.例9、(2018南京、盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))处时，点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0)).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NM,\s\up6(→))时，求直线BM的方程．例10、(2018苏锡常镇调研）如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；例11、(2019常州期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦点在椭圆C2：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1上，其中a>b>0，且点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))是椭圆C1，C2位于第一象限的交点．(1)求椭圆C1，C2的标准方程；(2)过y轴上一点Q的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已知eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\f(3,5)eq\o(QB,\s\up6(→))，求直线l的斜率．二、达标训练1、(2019宿迁期末）如图所示，椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，右准线方程为x＝4，过点P(0，4)作关于y轴对称的两条直线l1，l2，且l1与椭圆交于不同两点A，B，l2与椭圆交于不同两点D，C.(1)求椭圆M的方程；(2)证明：直线AC与直线BD交于点Q(0，1)；(3)求线段AC长的取值范围．2、(2018扬州期末）已知椭圆E1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若椭圆E2：eq\f(x2,ma2)＋eq\f(y2,mb2)＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E2与椭圆E1“相似”．(1)求经过点(eq\r(2)，1)，且与椭圆E1：eq\f(x2,2)＋y2＝1“相似”的椭圆E2的方程．(2)若椭圆E1与椭圆E2“相似”，且m＝4，椭圆E1的离心率为eq\f(\r(2),2)，P在椭圆E2上，过P的直线l交椭圆E1于A，B两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→)).①若B的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l的方程；②若直线OP，OA的斜率之积为－eq\f(1,2)，求实数λ的值．3、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(2,3)，C为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，求a，b的值；(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))，求直线AB的斜率．4、(2017无锡期末）已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，动直线l与椭圆交于B，C两点(点B在第一象限)．(1)若点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，求△OBC的面积的最大值；(2)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，且3y1＋y2＝0，求当△OBC的面积最大时直线l的方程．5、(2017常州期末）已知圆C：(x－t)2＋y2＝20(t＜0)与椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个公共点为B(0，－2)，F(c,0)为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.(1)求t的值以及椭圆E的方程；(2)过点F任作与两坐标轴都不垂直的直线l与椭圆交于M，N