数值分析07线性代数方程组的直接法课件

第七章线性方程组的直接解法(DirectMethodforSolvingLinearSystems)第七章线性方程组AX=b（3.1）

AX=b（3.1）线性方程组数值解法的分类直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）

◆

Gauss消去法及其变形

◆矩阵的三角分解法迭代法（适用于高阶线性方程组）

◆Jacobi迭代法

◆

Gauss-Seidel迭代法

◆逐次超松弛法

◆共轭斜量法线性方程组数值解法的分类直接法（适用于中等规模的n阶线性方§1高斯消去法(GaussianElimination)1．三角形方程组的解法---回代法（3.2）（3.3）

§1高斯消去法(GaussianElimination2．顺序高斯消去法思路首先将A化为上三角阵(upper-triangularmatrix)，此过程称为消去过程，再求解如下形状的方程组，此过程称为回代求解

(backwardsubstitution)。=AX=b2．顺序高斯消去法思路首先将A化为上三角阵(upper-将增广矩阵的第i行+li1

第1行，得到：消元过程：第一步：设，计算因子其中A(1)X=b(1)A(2)X=b(2)将增广矩阵的第i行+li1第1行，得到：消元第k步：设，计算因子将增广矩阵的第i行+lik

第k行，得到：其中第k步：设，计算因子将增广矩阵的第i行+回代过程：共进行n

1步，得到回代过程：共进行n1步，得到运算量

（AmountofComputation）（1）用克莱姆（Cramer）法则求解n阶线性方程组

每个行列式由n!项相加，而每项包含了n个因子相乘，乘法运算次数为(n-1)n!次.仅考虑乘(除)法运算,计算解向量包括计算n+1个行列式和n次除法运算,乘(除)法运算次数N=(n+1)(n-1)n!+n.当n=8时,N＝200，0000运算量（AmountofComputation）（（2）

高斯消去法:

第1个消去步，计算li1(i=2,3，…，n)，有n-1次除法运算.使aij(1)变为aij(2)

以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)次乘法运算.

第k个消去步，有n-k次除法运算、(n-k+1)(n-k)次乘法运算.乘法运算总次数为：

除法运算总次数为:(n-1)+…+1=n(n-1)/2（2）高斯消去法:

第1个消去步，计算li1(i=2,回代过程的计算除法运算次数为n次.乘法运算的总次数为n+(n-1)+…+1=n(n-1)/2次Gauss消去法除法运算次数为:n(n-1)/2+n=n(n+1)/2，乘法运算次数为:n(n-1)(n+1)/3+n(n-1)/2=n(n-1)(2n+5)/6，

通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶，记为O(n3)回代过程的计算除法运算次数为n次.乘法运算的总次数为Ga顺序Gauss消去法可执行的前提定理1

给定线性方程组，如果n阶方阵的所有顺序主子式都不为零，即则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素均不为零，从而Gauss

消去法可顺利执行。注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。顺序Gauss消去法可执行的前提定理1给定线性方程组IllustrationIllustration3、列主元（Columnpivotelement）Gauss消去法：1、输入矩阵阶数n，增广矩阵

A(n,n+1);2、对于(1)按列选主元：选取l

使

(2)如果，交换A(n,n+1)

的第k行与第l

行元素(3)

消元计算：3、回代计算3、列主元（Columnpivotelement）G4．无回代过程的主元消去法算法：第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行，将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从其余n–1个方程中消去x1。第二步：在第二列后n–1个元素中选主元，将第二个方程中x2的系数变为1，并从其它n–1个方程中消去x2。第k步：在第k列后n–k个元素中选主元，换行，将第k个方程xk的系数变为1，从其它n-1个方程中消去变量xk，…………4．无回代过程的主元消去法算法：第一步：选主元，在第一列中选消元公式为：对k=1,2,…,

按上述步骤进行到第n步后，方程组变为：即为所求的解消元公式为：对k=1,2,…,按上述步骤进行到第n注：无回代的Gauss消元法实际上就是将方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵。注：无回代的Gauss消元法实际上就是将方程组的系数矩阵化5．无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组系为：AX=b1,AX=b2,…AX=bm上述方程组系可以写为AX=B=(b1,…,bm)5．无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组因此

X=A-1B即为线性方程组系的解。

在计算机上只需要增加几组右端常数项的存贮单元，其结构和解一个方程组时一样。行系数右端因此 X=A-1B即为线性方程组系的解。（2）求逆矩阵设A=(aij)nn是非奇矩阵，A

0，且令由于

AA-1=AX=I因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组相当于（1）中m=n,

B=I的情形。

（2）求逆矩阵设A=(aij)nn是非奇矩阵，A（3）求行列式的值用高斯消去法将

A化成（3）求行列式的值用高斯消去法将A化成§2.求解三对角方程组的追赶法定理：若A

为对角占优的三对角阵，且满足则方程组有唯一的LU分解。§2.求解三对角方程组的追赶法定理：若A为对角占优的三直接比较等式两边的元素，可得到计算公式第二步:追—即解：第三步:赶—即解：第一步:对A作Crout分解直接比较等式两边的元素，可得到计算公式第二步:追—即解§3

矩阵的三角分解法

高斯消元法的矩阵形式

每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk§3矩阵的三角分解法

高斯消元法的矩阵形式每一步消数值分析07线性代数方程组的直接法课件A

的

LU

分解(LUfactorization)A的LU分解定理2：（矩阵的三角分解）设A为nn实矩阵，如果解AX=b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交换，即），则矩阵A可分解为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。

A=LU且这种分解是唯一的。定理2：（矩阵的三角分解）设A为nn实矩阵，如果注：（1）L

为单位下三角阵而U

为一般上三角阵的分解称为Doolittle

分解（2）L

为一般下三角阵而U

为单位上三角阵的分解称为Crout分解。

注：（1）L为单位下三角阵而U为一般上三角阵的分解Doolittle分解法：通过比较法直接导出L和

U的计算公式。思路Doolittle分解法：通过比较法直LU分解求解线性方程组LU分解求解线性方程组直接三角分解法解AX=b的计算公式对于r=2,3,…,n计算（2）计算U的第r行元素

（3）计算L的第r列元素

(r

n)(1)直接三角分解法解AX=b的计算公式对于r=2,3,(4)(5)(4)(5)数值分析07线性代数方程组的直接法课件§4平方根法1．矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式A=LDR其中L和R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素的不为零的对角阵，上述分解也称为A的LDR分解。§4平方根法1．矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的2．平方根法

如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三

角矩阵，使A=LLT

，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。定理4：（对称正定矩阵的三角分解）2．平方根法如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异将对称

正定阵

A

做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为

A对称即记D1/2=则仍是下三角阵，且有将对称正定阵A做LU分解U=uij=u11uij用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法：对于

i=1,2,…,n计算用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Chole（2）求解下三角形方程组

（3）求解LTX=y（2）求解下三角形方程组（3）求解LTX=y3．改进平方根法

其中3．改进平方根法其中改进平方根法解对称正定方程组的算法改进平方根法解对称正定方程组的算法令LTX=y，先解下三角形方程组LDY=b得解上三角形方程组LTX=Y得令LTX=y，先解下三角形方程组LDY=b得解上§5向量和矩阵的范数

1．向量的范数定义1：设XRn，Ｘ

表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、YRn，恒有

(1)非负性：即对一切XRn，X

0,Ｘ

>0(2)齐次性：即对任何实数aR，XRn，§5向量和矩阵的范数1．向量的范数定义1：设XR

设X=(x1,x2,…,xn)T，则有

（1）（2）（3）三个常用的范数：范数等价:设‖·‖A和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在常数C1、C2

>0使得,则称

‖·‖A和‖·‖B

等价。设X=(x1,x2,…,xn)T，则有 （1定理5：定义在Rn上的向量范数

是变量X分量的

一致连续函数。定理6：在Rn上定义的任一向量范数

都与范数

等价，

即存在正数

M

与m(M>m)

对一切XRn，不等式成立。推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。

定理5：定义在Rn上的向量范数是变量X分量的定理6：对常用范数，容易验证下列不等式：

对常用范数，容易验证下列不等式：定义2：设给定Rn中的向量序列{}，即其中若对任何i(i=1,2,…,n)都有则向量

称为向量序列{}的极限，或者说向量序列{}依坐标收敛于向量，记为定义2：设给定Rn中的向量序列{}，即其中若对任何i定理7：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。2．矩阵的范数定义3：设A为n

阶方阵，Rn中已定义了向量范数，

则称

为矩阵A的范数或模，

记为。即定理7：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列矩阵范数的基本性质：

（1）当A=0时，＝0，当A0时，>0（2）对任意实数k和任意A，有（3）对任意两个n阶矩阵A、B有（5）相容性对任意两个n阶矩阵A、B，有（4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有矩阵范数的基本性质：（1）当A=0时，＝0例5:设A＝(aij)∈M.定义证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：设从而例5:设A＝(aij)∈M.定义证明：这样定义的非负实数不定理8：设n

阶方阵A=(aij)nn，则（Ⅰ）与相容的矩阵范数是（Ⅱ）与相容的矩阵范数是其中1为矩阵ATA的最大特征值。（Ⅲ）与相容的矩阵范数是上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。定理8：设n阶方阵A=(aij)nn，则（Ⅰ）与可以证明,对方阵和，有

(向量||·||2的直接推广)Frobenius范数:可以证明,对方阵和3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理9：矩阵A

的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即

定义4：矩阵A的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为：并且如果A为对称矩阵，则

3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理9：矩阵A的任一特征值注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。定义5：设||·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n称||A-B||为A与B之间的距离。定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{

}，若则称矩阵序列{}收敛于矩阵A，记为注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。定义5：设||定理10

设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的矩阵序列Bk,k=0,1,2…)收敛于零矩阵（）的充要条件为。定理10设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的求解时，A

和的误差对解有何影响？设A

精确，有误差，得到的解为，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子§6

线性方程组的性态和解的误差分析求解时，A和的误差对解§6ErrorAnalysisfor.

设精确，A有误差，得到的解为，即

Waitaminute…

Whosaidthat(I+A1A)isinvertible?(只要A充分小，使得

是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond(A),越则A越病态，难得准确解。大§6ErrorAnalysisfor定义7：设A

为n阶非奇矩阵，称数为矩阵A的条件数，条件数的性质：

ⅰ）cond(A)≥1ⅱ）cond(kA)=cond(A),k为非零常数ⅲ）若，则记为cond(A)。定义7：设A为n阶非奇矩阵，称数为矩阵A的注:

cond(A)与所取的范数有关常用条件数有：cond(A)2特别地，若A对称，则cond(A)1=‖A‖1‖‖1cond(A)=‖A‖

‖‖注:cond(A)与所取的范数有关常用条件数有：c例：Hilbert阵cond(H2)=27cond(H3)748cond(H6)=2.9106cond(Hn)asn注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数!定义2:

设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果cond(A)越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A)越小,就称这个方程组越良态.例：Hilbert阵cond(H2)=27cond一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）；元素间相差大数量级，且无规则；主元消去过程中出现小主元；特征值相差大数量级。一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。近似解的误差估计及改善：设的近似解为，则一般有cond(A)误差上限改善方法(1)：Step1:近似解Step2:Step3:Step4:若可被精确解出，则有就是精确解了。经验表明：若A不是非常病态（例如：），则如此迭代可达到机器精度；但若A病态，则此算法也不能改进。近似解的误差估计及改善：设的近似解为改善方法(2)对方程组进行预处理，即适当选择非奇异对角阵D，C,使求解

Ax=b的问题转化为求解等价方程组DAC[C-1x]=Db,且使DAC

的条件数得到改善。（P173）用双精度进行计算，以便改善和减轻病态矩阵的影响。改善方法(2)对方程组进行预处理，即适当选择非奇异对第七章线性方程组的直接解法(DirectMethodforSolvingLinearSystems)第七章线性方程组AX=b（3.1）

AX=b（3.1）线性方程组数值解法的分类直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）

◆

Gauss消去法及其变形

◆矩阵的三角分解法迭代法（适用于高阶线性方程组）

◆Jacobi迭代法

◆

Gauss-Seidel迭代法

◆逐次超松弛法

◆共轭斜量法线性方程组数值解法的分类直接法（适用于中等规模的n阶线性方§1高斯消去法(GaussianElimination)1．三角形方程组的解法---回代法（3.2）（3.3）

§1高斯消去法(GaussianElimination2．顺序高斯消去法思路首先将A化为上三角阵(upper-triangularmatrix)，此过程称为消去过程，再求解如下形状的方程组，此过程称为回代求解

(backwardsubstitution)。=AX=b2．顺序高斯消去法思路首先将A化为上三角阵(upper-将增广矩阵的第i行+li1

第1行，得到：消元过程：第一步：设，计算因子其中A(1)X=b(1)A(2)X=b(2)将增广矩阵的第i行+li1第1行，得到：消元第k步：设，计算因子将增广矩阵的第i行+lik

第k行，得到：其中第k步：设，计算因子将增广矩阵的第i行+回代过程：共进行n

1步，得到回代过程：共进行n1步，得到运算量

（AmountofComputation）（1）用克莱姆（Cramer）法则求解n阶线性方程组

每个行列式由n!项相加，而每项包含了n个因子相乘，乘法运算次数为(n-1)n!次.仅考虑乘(除)法运算,计算解向量包括计算n+1个行列式和n次除法运算,乘(除)法运算次数N=(n+1)(n-1)n!+n.当n=8时,N＝200，0000运算量（AmountofComputation）（（2）

高斯消去法:

第1个消去步，计算li1(i=2,3，…，n)，有n-1次除法运算.使aij(1)变为aij(2)

以及使bi(1)变为bi(2)有n(n-1)次乘法运算.

第k个消去步，有n-k次除法运算、(n-k+1)(n-k)次乘法运算.乘法运算总次数为：

除法运算总次数为:(n-1)+…+1=n(n-1)/2（2）高斯消去法:

第1个消去步，计算li1(i=2,回代过程的计算除法运算次数为n次.乘法运算的总次数为n+(n-1)+…+1=n(n-1)/2次Gauss消去法除法运算次数为:n(n-1)/2+n=n(n+1)/2，乘法运算次数为:n(n-1)(n+1)/3+n(n-1)/2=n(n-1)(2n+5)/6，

通常也说Gauss消去法的运算次数与n3同阶，记为O(n3)回代过程的计算除法运算次数为n次.乘法运算的总次数为Ga顺序Gauss消去法可执行的前提定理1

给定线性方程组，如果n阶方阵的所有顺序主子式都不为零，即则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素均不为零，从而Gauss

消去法可顺利执行。注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。顺序Gauss消去法可执行的前提定理1给定线性方程组IllustrationIllustration3、列主元（Columnpivotelement）Gauss消去法：1、输入矩阵阶数n，增广矩阵

A(n,n+1);2、对于(1)按列选主元：选取l

使

(2)如果，交换A(n,n+1)

的第k行与第l

行元素(3)

消元计算：3、回代计算3、列主元（Columnpivotelement）G4．无回代过程的主元消去法算法：第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行，将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从其余n–1个方程中消去x1。第二步：在第二列后n–1个元素中选主元，将第二个方程中x2的系数变为1，并从其它n–1个方程中消去x2。第k步：在第k列后n–k个元素中选主元，换行，将第k个方程xk的系数变为1，从其它n-1个方程中消去变量xk，…………4．无回代过程的主元消去法算法：第一步：选主元，在第一列中选消元公式为：对k=1,2,…,

按上述步骤进行到第n步后，方程组变为：即为所求的解消元公式为：对k=1,2,…,按上述步骤进行到第n注：无回代的Gauss消元法实际上就是将方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵。注：无回代的Gauss消元法实际上就是将方程组的系数矩阵化5．无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组系为：AX=b1,AX=b2,…AX=bm上述方程组系可以写为AX=B=(b1,…,bm)5．无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组因此

X=A-1B即为线性方程组系的解。

在计算机上只需要增加几组右端常数项的存贮单元，其结构和解一个方程组时一样。行系数右端因此 X=A-1B即为线性方程组系的解。（2）求逆矩阵设A=(aij)nn是非奇矩阵，A

0，且令由于

AA-1=AX=I因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组相当于（1）中m=n,

B=I的情形。

（2）求逆矩阵设A=(aij)nn是非奇矩阵，A（3）求行列式的值用高斯消去法将

A化成（3）求行列式的值用高斯消去法将A化成§2.求解三对角方程组的追赶法定理：若A

为对角占优的三对角阵，且满足则方程组有唯一的LU分解。§2.求解三对角方程组的追赶法定理：若A为对角占优的三直接比较等式两边的元素，可得到计算公式第二步:追—即解：第三步:赶—即解：第一步:对A作Crout分解直接比较等式两边的元素，可得到计算公式第二步:追—即解§3

矩阵的三角分解法

高斯消元法的矩阵形式

每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk§3矩阵的三角分解法

高斯消元法的矩阵形式每一步消数值分析07线性代数方程组的直接法课件A

的

LU

分解(LUfactorization)A的LU分解定理2：（矩阵的三角分解）设A为nn实矩阵，如果解AX=b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交换，即），则矩阵A可分解为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。

A=LU且这种分解是唯一的。定理2：（矩阵的三角分解）设A为nn实矩阵，如果注：（1）L

为单位下三角阵而U

为一般上三角阵的分解称为Doolittle

分解（2）L

为一般下三角阵而U

为单位上三角阵的分解称为Crout分解。

注：（1）L为单位下三角阵而U为一般上三角阵的分解Doolittle分解法：通过比较法直接导出L和

U的计算公式。思路Doolittle分解法：通过比较法直LU分解求解线性方程组LU分解求解线性方程组直接三角分解法解AX=b的计算公式对于r=2,3,…,n计算（2）计算U的第r行元素

（3）计算L的第r列元素

(r

n)(1)直接三角分解法解AX=b的计算公式对于r=2,3,(4)(5)(4)(5)数值分析07线性代数方程组的直接法课件§4平方根法1．矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式A=LDR其中L和R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素的不为零的对角阵，上述分解也称为A的LDR分解。§4平方根法1．矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的2．平方根法

如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三

角矩阵，使A=LLT

，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。定理4：（对称正定矩阵的三角分解）2．平方根法如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异将对称

正定阵

A

做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为

A对称即记D1/2=则仍是下三角阵，且有将对称正定阵A做LU分解U=uij=u11uij用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法：对于

i=1,2,…,n计算用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Chole（2）求解下三角形方程组

（3）求解LTX=y（2）求解下三角形方程组（3）求解LTX=y3．改进平方根法

其中3．改进平方根法其中改进平方根法解对称正定方程组的算法改进平方根法解对称正定方程组的算法令LTX=y，先解下三角形方程组LDY=b得解上三角形方程组LTX=Y得令LTX=y，先解下三角形方程组LDY=b得解上§5向量和矩阵的范数

1．向量的范数定义1：设XRn，Ｘ

表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、YRn，恒有

(1)非负性：即对一切XRn，X

0,Ｘ

>0(2)齐次性：即对任何实数aR，XRn，§5向量和矩阵的范数1．向量的范数定义1：设XR

设X=(x1,x2,…,xn)T，则有

（1）（2）（3）三个常用的范数：范数等价:设‖·‖A和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在常数C1、C2

>0使得,则称

‖·‖A和‖·‖B

等价。设X=(x1,x2,…,xn)T，则有 （1定理5：定义在Rn上的向量范数

是变量X分量的

一致连续函数。定理6：在Rn上定义的任一向量范数

都与范数

等价，

即存在正数

M

与m(M>m)

对一切XRn，不等式成立。推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。

定理5：定义在Rn上的向量范数是变量X分量的定理6：对常用范数，容易验证下列不等式：

对常用范数，容易验证下列不等式：定义2：设给定Rn中的向量序列{}，即其中若对任何i(i=1,2,…,n)都有则向量

称为向量序列{}的极限，或者说向量序列{}依坐标收敛于向量，记为定义2：设给定Rn中的向量序列{}，即其中若对任何i定理7：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。2．矩阵的范数定义3：设A为n

阶方阵，Rn中已定义了向量范数，

则称

为矩阵A的范数或模，

记为。即定理7：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列矩阵范数的基本性质：

（1）当A=0时，＝0，当A0时，>0（2）对任意实数k和任意A，有（3）对任意两个n阶矩阵A、B有（5）相容性对任意两个n阶矩阵A、B，有（4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有矩阵范数的基本性质：（1）当A=0时，＝0例5:设A＝(aij)∈M.定义证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：设从而例5:设A＝(aij)∈M.定义证明：这样定义的非负实数不定理8：设n

阶方阵A=(aij)nn，则（Ⅰ）与相容的矩阵范数是（Ⅱ）与相容的矩阵范数是其中1为矩阵ATA的最大特征值。（Ⅲ）与相容的矩阵范数是上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。定理8：设n阶方阵A=(aij)nn，则（Ⅰ）与可以证明,对方阵和，有

(向量||·||2的直接推广)Frobenius范数:可以证明,对方阵和3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理9：矩阵A

的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即

定义4：矩阵A的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为：并且如果A为对称矩阵，则

3．矩阵的范数与特征值之间的关系定理9：矩阵A的任一特征值注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。定义5：设||·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n称||A-B||为A与B之间的距离。定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{

}，若则称矩阵序列{}收敛于矩阵A，记为注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。定义5：设||定理10

设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的