《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

《电动力学》知识点归纳及典型试题分析一、 试题结构总共四个大题：1.单选题（10X2'）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及对它们的理解。填空题（10x2'）：主要考察基本概念和基本公式。3.简答题（5x3'）：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意义的理解。4.证明题（8'+7'）和计算题（9'+8'+6'+7'）：考察能进行简单的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。二、 知识点归纳VxE=—憩所知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：^VxH=性+知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：^出•D=p;•B=0.韦方程组）；在没有电荷和电流分布（p=0,J=0的情形）的自由空间（或均匀

VxEVxE=-dBdt介质)的电磁场方程为:VxH=^D;（齐次的麦克斯韦方程组）介质)的电磁场方程为:& —>V•D=0;V•B=0.知识点2：位移电流及与传导电流的区别。答：我们知道恒定电流是闭合的：V-J=0.(恒定电流)在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有V-J=-色。0.dt现在我们考虑电流激发磁场的规律：VxB=r°J.(@)取两边散度，由于V-VxB三0，因此上式只有当V-J=0时才能成立。在非恒定情形下，一般有V-J。0，因而(@)式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改(@)式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。把(@)式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量Jd，它和电流j合起来构成闭合的量v-J+jd)=0,G)并假设位移电流jd与电流j一样产生磁效应，即把(@)修改为VxB=r0(J+JD)。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律V-J+华=0.电荷密度P与电场散度有关系式 V-E=£.两式合起来TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"dt 80得：V-fJ+8竺］=0.与(*)式比较可得J的一个可能表示式" 0dt) D, dEJD=0亏-位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。jJ.ds=—j坐dV8t谷：电何守恒定律的积分式和微分式分别为：S VV.J+竺=0dt恒定电流的连续性方程为：v.J=0知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p和磁化强度矢量M各的定义方法；P与pp;M与j；E、D与p以及B、H与M的关系。答：极化强度矢量p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积AV内的总电偶极矩与AV之比，P=2%.p为第i个分子的电偶极矩，求和符号表示AVi对AV内所有分子求和。磁化强度矢量M：介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度Jm。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为4，则与分子电流相应的磁矩为：m=ia.介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积AV内的总磁偶极矩与AV之比，2mm=—av^.pp=V・P,jM=VxM,D=&E+P,H=———MK知识点5：导体表面的边界条件。答：理想导体表面的边界条件为：〃*E=（n*D=°［。它们可以形象地nxH=a."n•B=0./表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。知识点6：在球坐标系中，若电势中不依赖于方位角4，这种情形下拉氏方程的通解。

答：拉氏方程在球坐标中的血0,答：拉氏方程在球坐标中的血0,eaRn+Rnm]n,mPm(cos0)cosm^+£

n ，一般解为：(CRn+£]*nm Rn+1/n,mPm(cos0)sinm^n式中a,b,c和』为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。Pm(cos0)nmnmnmnm为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势p不依赖于(bs(bsaRn+上n边界条件确定。P(co0)P(co0)为勒让德函数，a和b是任意常数，由n n nn知识点7：研究磁场时引入矢势A的根据；矢势A的意义。答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势A的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A(x)值没有直接的物理意义。知识点8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。平面时谐电磁波的性质：电磁波为横波，e和B都与传播方向垂直；E和B同相，振幅比为v；(3E和B互相垂直，EXB沿波矢k方向。知识点9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。答：区别：(1)在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播(在真空和理想绝缘介质内部)；(2)电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波(在导体中)。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式。'B=0xA答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：]刀▽函E=-Vp-—、 6t

知识点11:推迟势及达朗贝尔方程。rpx',t—M,t)=J答：推迟势为：1 cJdv'4双r

0r r、Jx,t—--1 以dv'r达朗贝尔方程为：1 cJdv'4双r

0r r、Jx,t—--1 以dv'r达朗贝尔方程为：182中V2中— *c28t2[V・A+；2普=。J知识点12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动气相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为6并与光源运动无关。知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。x—vtx'=.v2■1——: c2v2，1———: c2y'=y答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：z，=zy=y'洛伦兹反变换式：z=z'vt——xt'=-El—■1v2?at'+—x't=.c2I■1—Yc2W=Ux-VXvu

1—X速度变换公式:4"'速度变换公式:4"'yvu1—XC2,；1V2"z\；1一寻U'=z VU1—XC2知识点14：导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系。答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c作为基本假设，这就是光速不变原理）、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系S，（即物体）运动的速度V<<c时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。知识点15：四维力学矢量及其形式。答：四维力学矢量为：（1）能量一动量四维矢量（或简称四维动量）（i、、一cdxdx（3）动量矢量:p=（3）动量矢量:p=mU(4)四维电流密度矢量：J=pU,J=J,icp）（5）四维空间矢量：x=（x,ict）（6）0日日 |1四维势矢量：A^=A,—中（7）反对称电磁场四维张量：F=；4-合日（8）日四维波矢量：k广知识点16：事件的间隔：答：以第一事件P为空时原点（0，0，0，0）;第二事件Q的空时坐标为:（x,y,z,t），这两事件的间隔为：s2=c212—x2—y2—z2=c212一r2式中的r=、［x2+y2+z2两事件的空间距离。两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：若两事件可以用光波联系，有r=ct，因而s2=0(类光间隔)；若两事件可用低于光速的作用来联系，有r<ct,因而有s2>0(类时间隔)；(a)绝对未来；(b)绝对过去。若两事件的空间距离超过光波在时间t所能传播的距离，有r>ct，因而有s2<0(类空间隔)。知识点17：导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。答：导体的静电平衡条件：导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；导体内部电场为零；导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。导体静电平衡时导体表面的边界条件：'a=常量；」£ =一b.、dn知识点18：势方程的简化。答：采用两种应用最广的规范条件：库仑规范：辅助条件为V•A=0.洛伦兹规范：辅助条件为：V・A+上空=0.c2dtV2A-—^-A—V(V・A+—四)=一日J例如：对于方程组： c2初2 c2初0(适用于L1 8LpV2©+—V・A=--

8t £0般规范的方程组)。

若采用库仑规范，可得：J若采用洛伦兹规范，可得:—若采用库仑规范，可得：J若采用洛伦兹规范，可得:1a2a1aV2A一c2at2一c2at例=或0JpV3巾=—-80(V•A=0)w4 1a2a_了2A一云云0J2中-—^2里=-—(此为达朗贝尔方程)。c2at2 8fvA+1丝=01、"c2at)知识点19：引入磁标势的条件。有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：^J有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：^J=0IH•dL=0iL知识点20：动钟变慢:S'系中同地异时的两事件的时间间隔，即S，系中同一地点x2'=气'，先后（t'。厂）发生的两事件的时间间隔t'-1'在S系的观测:2 1 2 1•/x2(t'-1')+ '-x，)•/x2(t'-1')+ '-x，)2 1c2 2 11At（At=12'-1「）Y1-c?-C2At称为固有时，它是最短的时间间隔，At>At.知识点21：长度收缩（动尺缩短）尺相对于S'系静止，在S'系中观测l'=x'-x'在S系中观测t=t即两端位

' 2 1 2 1置同时测定•/x2x—xI:V2c2-V2l=l'1— (x'—x'=l,x—x=l)0c2 2 1 02 110称为固有长度，固有长度最长，即10>l。知识点22： 电磁场边值关系(也称边界上的场方程)nx(E—E)=0,nx(H—H)=a,n•(D—D)=b,n•(B2—B1)=0.知识点23：A-B效应1959年Aharonov和Bohm提出一种后来被试验所证实的新效应(这简称A-B效应)，同时A-B效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用B描述。知识点24：电磁波的能量和能流平面电磁波的能量为：w=eE2=1B2PJ I - - - 'R一一'R平面电磁波的能流密度为：S=ExH=：_Ex(nxE)=：—E2亓.TOC\o"1-5"\h\z旦 旦能量密度和能流密度的平均值为：1「w=2eE2=——B2,-1 - - 1.'TS=Re(E*xH)=——E2亓.2旦0知识点25：波导中传播的波的特点：电场E和磁场H不同时为横波。通常选一种波模为E=o的波，称为横电波(TE)；另一种波模为H=0的波，称为横磁波(TM)。知识点26：截止频率定义:能够在波导内传播的波的最低频率吃称为该波模的截止频率。②计算公式:(m,n)②计算公式:(m,n)型的截止频率为:wc,mnIS2Aa)；若a>b，则te10波有最低截止频率1w=—L.若管内为真空，此最低截止频率为c2a，2兀 c，10 2a*M相应的截止波长为：人=2a.(在波导中能够通过的最大波长为2a)c,10

知识点27：相对论的实验基础：横向多普勒（Doppler）效应实验（证实相对论的运动时钟延缓效应）；高速运动粒子寿命的测定（证实时钟延缓效应）；携带原子钟的环球飞行实验（证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应）；相对论质能关系和运动学的实验检验（对狭义相对论的实验验证）.知识点28：静电场是有源无旋场：E=；（此为微分表达式）VxE=0.—►… ，.一一，、…V・B=0; 一..稳恒磁场是无源有旋场： ；（此为微分表达式）VxB=r0j.=竺=，;

dt' 1-vuc2x知识点29：相对论速度变换式:其反变换式根据此式,_dx，—u-v知识点29：相对论速度变换式:其反变换式根据此式x dt' 1vu1— xC2:V2dz'="zc2dt'1—vuC2ux求\u。uz知识点30：麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。答：麦克斯韦方程组积分式为:jE•答：麦克斯韦方程组积分式为:jE•d=—^―•dsdtL SjB•d—=pJLS6Ej+s——0dt•dsjE•ds=-!-jpdV8S 0vjB•ds=0

麦克斯韦方程组微分式为：：B一叩*口080所V•E=—80V・B-0依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。三、典型试题分析1、1、证明题:1、试由毕奥一沙伐尔定律证明V.B=1、明：由式：B=土JTOC\o"1-5"\h\zJ')Xrdv'一土JJ()xV1dv'又矢口:r3 明：由式：B=土JVx[J，)1[=‘Vr_ r_ir)XJ<),因此B=巳VxJ^^^-dv'=VxXJ<),因此\o"CurrentDocument"4\r)r 由A-侦J

4兀V.B=V・（VxA）=0所以原式得证。r）42、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式E=-V中-一所告是无旋证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。告是无旋B=VxA式代入义乂E--兰得：VxE+—=0，该式表示矢量E+

at -QA场，因此它可以用标势CP描述，E«=*。因此，在一般情况下电场的表小式为：E--V甲-——.。即得证。at

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l=l^11-三。答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为》。若物体后端经过P点（第1一事件）与前端经过p点（第二事件）相对于£同时，则pp定义为£上测得的物体长度。物体两端在》上的坐标设为*和*。在£上P点的坐标为x，P点TOC\o"1-5"\h\z1 2 1 1 2的坐标为x，两端分别经过P和P的时刻为t=t。对这两事件分别应用洛伦兹2 1 2 1 2变换式得x■==XL,x■=，两式相减，计及t=t，有1:V22■v2 12.1—— 11——VC2 C2x'-x'=*2气G）式中x-x为£上测得的物体长度l（因为坐标x和x是在£2 1 'v2 2 1 1 2V1-c上同时测得的），x，-x，为£，上测得的物体静止长度l。由于物体对£，静止，2 1 0所以对测量时刻t；和t2没有任何限制。由G）式得l=l0J1-c2。4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E=-V中.答：由于静电场的无旋性，得：JE•dl=0设C和。为由P点到P点的两条不12 1 2C1 C因此，电荷由同路径。^与一气合成闭合回路，因此JE•dl-JE•C1 C因此，电荷由JE•dl=JE•dlC1 Cq点移至P2点时电场对它所作的功与路径无关，而只和两端点有关。把单位正电荷由P点移至P,电场E对它所作的功为：JE•dl,这功定义为P点和P点的电1 2 1 2P1势差。若电场对电荷作了正功，则电嘛下降。由此，平（P）-甲（P）=-JE•dl由2 1P1这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为dl的两点的电势差为 血=-E•dl.由于d^=—dx+竺dy dz=V^•dl,因此，电场强度E等于电势中的负梯度办 8y 8zE=—Vs5、 试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程V2A=-访。答：已知恒定磁场方程VxB=h0J（1）（在均匀线性介质内），把B=VxA（2）代入（）得矢势A的微分方程Vx（VxA）=hJ.由矢量分析公式Vx（VxA）=V（V・A）-V2A.若取A满足规范条件V•A=0，得矢势A的微分方工口V2A=—hJ.士I~I 1程（V・A=0）6、试由电场的边值关系证明势的边值关系82?2-818^1=—a.1nx证：电场的边值关系为：n•2—E1）=0，（$），（*）式可写为D—D=nx证：电场的边值关系为：n•）2—D"=a.（*） 2n 1n式中n为由介质1指向介质2的法线。利用D=曲及E=-V甲，可用标势将（@）表为:8甲 8平82命—£1矛=9，1势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程V2甲=—P。8答：已知静电场方程为：；VXE=0，（1）并知道E=-Vs（3）在均匀各向同性线〔V・D=p.（2）性介质中，D=8E，将（3）式代入（2）得V2甲=—p，p为自由电荷密度。8于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。答：麦克斯韦方程组＜V・答：麦克斯韦方程组＜V・E(x)=P(x)£VxE(x)=-也V・B(x)=0VxB(x)=日j(x)+£日d表明，变化的磁场可以激发dE(x)dt导，得到d(dt导，得到d(VxbG))=£dt0%d修"，从上面两个方程消去d("MI，得到dt电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到一V2E(x)=-d(VXB(x))，再把第四个方程对时间求V2E(xV2E(x)-8件条界边的磁Q电,件条界边的磁Q电,一8明一2证<1*5程L方5麦-EX75

亓fjS V解：艮即ASn-D^ASn-D=8AS.・•・n.D-DLD2n-D1n=^对于磁场B,把JB•ds=0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：B2-B］即：n&2-B「=0作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为M,短边边长为也'。因为J：E•dl=0,作沿狭长矩形的E的路径积分。由于A土匕A小得多，当A'-0时，E沿A'积分为二级小量，忽略沿A的路径积分，沿界面切线方向积分为：EAl-EAl=0艮"

E-E-0,G)。G)可以用矢量形式表示为：E-E)t=0(@)2t1t 21式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线方向单位矢量为t'，它与界面相切，显然有t=nxt■(#)，贝UE2-E1

B)改写G)式为:)(xt)=0,($),利用混合积公式

t，•蚤2，贝UE2-E1

B)改写G)式为:因此(E-E)xn=0，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。2110、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程v2E+k2E=0答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有E(xt)=E(x\...D=既,B=皿，把时谐电磁波的电场和磁场方程：，代入麦氏B(x,t)=Btx)e-iwt.VxHdB

dtVxHdB

dtdD~dtV•D=0,V•B=0.VxE=iw^H,消去共同因子e-iwt后得fxH=—iW&E,在此注意一点。V・E=0,V.H=0.在w=0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于V・(VxE)=0，因而V.H=0，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。取第一式旋度并用第二式得 Vx(VxE)=w2mE 由Vx(VxE)=V(V.E)—V2E=—V2E，上式变为\2E"2M°此为亥姆霍兹方[k=wyM.程。11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。证明：(1)导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内q=0，而：——x(E2—E「=0,——xE2=0,故丘。垂直于导体表面。(2)导体中通过恒定的电流时，导体表面a广0..导体夕卜E2=0,即：D2=0。而：n•（D2-D1）=bf=0,即：n•D=n•£0E1=0,n•E1=0。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。12、 设仄和甲是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数ZG,t）（赫兹矢量），若令中=0・Z,证明其=—色C2dt证明：仄和甲满足洛伦兹规范，故有1伽V・A+2J=0.•3=-?技代入洛伦兹规范，有：0・A+—•&（▽.Z）=0,即0.A=0.[_L空c2dt "C2dt/.A=1dZ.c2dt2、 计算题：1、真空中有一半径为R接地导体球，距球心为a（a>R°）处有一点电荷Q，求空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q，应在OQ连线上。关键是能否选择Q，的大小和位置使得球面上中=0的条件使得满足？考虑到球面上任一点P。边界条件要求Q+Q=0.式中r为Q到P的距离，r为Q，到户的距离。因此对球面上任一点，应有r=-Q=常数。⑴由图可看出，只要选Q，的位置使、OQP〜AOPQ,则r'R2=-0—常数。（2）设Q，距球心为b，两三角形相似的条件为ra——-0,或b—生.（3）由（1）和（2）式求出Q=-—Q.（4）（3）和（4）式确Raa a

定假想电荷Q，的位置和大小。由Q和镜象电荷Q激发的总电场能够满足在导体面上中=0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点p的电势是：平=Q-平=Q-RQrar_Q<R2+a2—2Racos0_ R0Qa\R2+b2—2Rbcos0式中r为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，0为OP与。己的夹角。2、两金属小球分别带电荷0和-0，它们之间的距离为Z，求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。1三.CB= PeikRsin0e,一 4双c3R 奴_ 解：可知赫兹振子激发的电磁场： ° (取球坐标原点在E= PeikRsin0e0.0电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡，E沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：\P\2s2珈.n32兀28c3R2\P\2s2珈.n32兀28c3R20S=ReE*xH= Re*B*xn'xB史 2 2七 2七因子sin20表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在0=900的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向＜0=0和兀）没有辐射。3、已知海水的旦=1,c=1s-m-1试计算频率v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度1 12d=-=■—以\①呻日=1日=日日=日=4兀X10-7顼，' 2.♦.1>v=50Hz时：5=， =， =72m丫①呻 V2kX50X4兀X10-7X1一一…- :2 •' 2 一一>v=106位时：5= =， w0.5m炒呻\'2kX106X4kX10-7X1厂：2 …>v=109位时：5=, =， w16mm网目b t2kx109x4kx10-7x14、电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为r的球(与电荷球体同心)。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当,>。时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得Q£E-ds=4兀,2E=—,80因而E=—————，写成矢量式得 E=一—一.(r>a)@)4k8r2 4k8r300若r<a,则球面所围电荷为： ^Kr3p=，Kr3 —=Q^-.3 3 4a3Ka33应用高斯定理得：£E-ds=4Kr2E= —.8a3

0由此得E=Qr(r<a)。4k8a3

0现在计算电场的散度。当r>。时E应取(@)式，在这区域r。0，由直接计算可得V-—=0,(r。0)r3因而 V-E=-^V•二=0.(r>a)4k8 r30当r<a时E应取G)式，由直接计算得V-E=^―8——V-r= —=—-•(r<a)0 0 0

5、一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为p,球内有一不带电的球形空腔，其半径为R1，偏心距离为a，(a+R1<R)求腔内的电场。解：这个带电系统可视为带正电(+p)的R球与带负电的(-p)的R1球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M之电场强度为：—p一(-p)—,E= r+ r38 38U-产)°380P— a3806、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为±。f求电场和束缚电荷分布。nx（E-E）=0,nx（H-H）=以，/解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把Z2 1 «）解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把Znx\D-D）=c,

n・（B2-B1）=0.板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得、。f・同样把(•)式应用到上板与介质2界面上得D=。.由这两式得E=一亡,E=—f.束缚电荷分布于2f 1 8 2 8介质表面上。在两介质界面处，Cf=0，由匕侦广E1n)=bf+气得在介质1在介质1与下板分界处，由8（E—E）=b+c得=-Cf在介质2与上板分界处，容易验证，C+c'+c"=0,介质整体是电中性的。7、截面为S，长为l的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为b，若极化强度为kx，沿X轴P=kW。求:（1）求每端的束缚电荷面密度b；（2）求棒内的束缚电荷体密度P。（3）总束缚电荷。解：（1）求b‘在棍端P2—p=-g'P2=P2=0,p=b'，P=kxb'=（P）=-P/x=b=-kb人/1n、人b=\P）=P/x=b+1=k（b+1）P'=-V-P，P=kxi（2） 求P'由'=-dp=-kdx（3） 求q'q、=Q'b+bS+p'Sl=（k（b+1）-kb）S-ksl=08、两块接地的导体板间的夹角为a，当板间放一点电荷q时，试用镜像法就a=90。、600的情形分别求其电势。解：设点电荷q处于两导体面间&,0）一点，两导体面间夹角为a,各象电荷处在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量R表示，设q及其各个象电荷的位置矢为R0、R］、 ，则有R0=Re尚，R=Rei-2(a-o)=ReiGa-o)，R=Re-i-20=Re-‘心，R=Re-i-2(2a-0)=Re-i(2a-0)，TOC\o"1-5"\h\z1R=Rei-2(a+Q)=ReiGa+o)，2R=Rei'2(2a-0+a)=Rei(4a-0)，3R=Re-i-2(2a+0)=Re-i(2a+0)，4R=Re-i-2(4a-0)=Re-i(4a-0)，5=Rei-2(2a+0+a)=Rei(4a+0).6§=ReiG-o)，R2=Re项，1)R3=Re顼兀-o)，R4=Re序+。)，•/兀+0=2兀一"-0)ei(^+e)=e-G-o1)R=R，象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为:3=—RcosO,x=RcosO,2=RsinO,y=—RsinO,2x=-RcosO,y=-RsinO.3(1111)

—————+—*rrrrjq4双0式中r=v(x—RcosO*+(y—RsinO*="G+RcosO*+(y—RsinO*+z2,=U(x-RcosO*+(y+RsinO*+z2,1 J=%G+RcosO*+(y+RsinO*+z2.空间任意一点的电势r1兀八i［匹-o)八以=3,R=Re"3j,R=Re-iO.R3=Re「'「》R=Re-'「E,2)4mR=ReL-05怎兀+0、j2m,R=Re-L+064兀,—0—2兀，3-i严+0e\3=eif。R=R，象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为:6 5=Rcosf竺-=Rcosf竺-0、3 7=Rcosf竺+0、3 7=-Rsinf史-0、37=-Rcos—=-Rsin—-0.V3711111)—-—+—+—-—顷r r2 r r4 r57=Rsin——-0q4—80各个r由相应的象电荷坐标确定。中=（2—一、x=Rcos二一0=-Rcos-+0，1V37V37=Rcos0,22Rsin二一0=Rsin-+0，V37V37TOC\o"1-5"\h\zV3 7=-Rcosf—-0\o"CurrentDocument"37=-Rsm[—+0〕372Rsin—+0=Rsin—-0，V37V374x=Rcos—-0=-Rcos—-0，5V37V379、在一平行板电容器的两板上加U=v0coswt的电压，若平板为圆形，半径为a,板间距离为d,试求（1） 、两板间的位移电流Jd；（2） 、电容器内离轴r处的磁场强度;（3） 、电容器内的能流密度。解：（1）遂解：（1）遂=8色,J=8竺=*fU]=8竺

dt dtDdt dVd7ddt8vw仁―0—Sinwt

d8vW仁―Sinwtedz

』H-dl=以D2冗rH=j冗r2Dj8VWH=—dr=——o—rSinwt(2) 2 2dH=一"0wrSinwte2d0r=。时，8vW=~2daSinwte。() u £m2v2w„一(3)JJExH「・ds=2财4云H\=2^au|H|= 了—SinwtCoswt10、静止长度为10的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。解：S系的观察者看到长度为l°H—F的车厢以=vi运动，又看到小球以u=ui追赶车厢。小球从后壁到前壁所需的时间为：uu=ui追赶车厢。小球从后壁到前壁所需的时间为：u(—v2 )0 C21 7^ 仁"°\l1—7c2 u+v u0+v一"At= 。u=——0 ，u—v=—1+vu0vu/'?c2J1+vu1+vu0—t')+v('—x'1 c22 1=l0•.•At=—t')+v('—x'1 c22 1=l0TOC\o"1-5"\h\zu0J1—v2c2 21 00l0l f vul0 0 <1+0u-1-v2 〔 c20\c2电电流为I)11、求无限长理想的螺线管的矢势A(设螺线管的半径为a，线圈匝数为n解：分析：A=土J^^dV，JX\v'—Idl。电电流为I)4冗 rV•.•JA・di=JB.ds，又对于理想的无限长螺线管来说，它的B为：p0nI(1)当r<a时，可得：2兀rA=Kr2B—b-卜伊>2兀rA=Kr2pnI—A=*2^re

(2)当r>a时，同理可得：2nrA=Ka2B—2nrA=Ka2目nI—A='0"'彼10 2ry12、在大气中沿+Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式HH=J2x10-5cos107兀t+^4—kz(1)求k0。(2)写出E的瞬时值表达式107兀解：修=107兀解：修=:3x108 30J 兀，、cos107兀t+——kzk 4 0JE=i24兀x10-4cos[107兀t+彳—k0z=v•叫H=24兀x10-413、内外半径分别为a和b的球形电容器，加上v=V0coswt的电压，且①不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R(avRvb)的球面的总位移电流J。。解：位移电流密度为:vcoswt—0 R+bvcoswt—0 R+b一a2]D=80石，又''厂日R+2j=-8 0sinwtd0八b一aR+2半径R(半径R(a<R<b)的球面总位移电流JD为：4兀R2vw8=j4兀R2= 0 asinwtD R+b一a214、证明均匀介质内部的体极化电荷密度14、证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的(8\-1-^0倍。k8J证：P=—V•P=—V•(£—8)E=—G—8b•E=—G—8)^1^=—1一—0p即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度pp总是等于体自由电荷密度。

15、一根长为l的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H,方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w由下式给出l 1 .一Iw2=mg—式中为棒的质量，I为棒绕端点的转动惯量（-ml2），g为重2 3力加速度，代入得ml2力加速度，代入得ml2w2=mgl，3VT棒接触桌面时的感生电动势为：3■'=亍，顽3KH£=jE-dl=jCxAdl=jlwx^Hdx=w^Hjlxdx=:—旦3■'=亍，顽3KH0 。 。0 \l0 2此时棒的A点电动势高。16、点电荷q放在无限大的导体板前，相距为a，若q所在的半空间充满均匀的电介质，介质常数为£，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。解：设象电荷q'位于（a，,0,0）尝试解为：甲=4-^-+牛J,x>0，一… 1设在导体板上，甲=土当R,R'—8,中=0,c=0.q工qq'q£RR=u’R―£R•i ；R=a2+y2+z2,R•=xa12+y2、2£2G2+y2+z2，2=a，2+y2+z2q2此式对任何y、z都成立，故等式两边y、z的对应项系数应相等，即：£2q12=q2,.・.q，=-q,£c . (q¥c又£2a2q，2=a，2q2,£2a2-—=a，2q2,I£J..a'=a.故中=-^(1-—4-叭rr'J

r2=%一a/2+y2+z2,r=%+a/2+y2+z2.(2)求E,评q(2)求E=— =—% dx 4双(3)求bqaD2广，D1〃=°.qa•-b=Dx/x=0=8£x/x=0 2nR317、设有两根互相平行的尺，在各自静止