江苏省连云港市灌云县2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷【含答案】

江苏省连云港市灌云县2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝62．⊙O的半径为4，OA的长为8，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．无法确定3．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断4．⊙O的半径为5，点A在直线l上．若OA＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相离5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程变形正确的是（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝16．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100（1﹣x）＝121 B．100（1+x）＝121 C．100（1﹣x）2＝121 D．100（1+x）2＝1217．有下列四个①直径是弦；②三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；③经过三个点一定可以作圆；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．8二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．）9．写出一个解为1和﹣2的一元二次方程．10．已知扇形的圆心角是150°，扇形半径是6，则扇形的弧长为．11．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝°．12．若m是方程2x2+3x﹣5＝0的根，则代数式2m2+3m+5的值是．13．正六边形ABCDEF的半径为4，则此正六边形的面积为．14．关于x的方程（m﹣3）x+mx+1＝0是一元二次方程，则m为．15．已知△ABC的周长是24，面积是24，则其内切圆半径等于．16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值为．三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解方程：（1）x2﹣36＝0（2）x（x﹣2）＝0（3）x2+12x+27＝0（4）x2﹣7x+12＝0（配方法）18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．19．如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）20．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数．21．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为元，销售量为件．（2）列方程并完成本题的解答．22．如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．23．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．24．如图，点I是△ABC的内心，A的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．求证：IE＝BE＝CE．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动（不与点A，B重合）；同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动（不与点C、D重合），经过几秒，△PDQ为直角三角形？说明理由．26．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）判断四边形OCPD的形状并说明理由．（2）求点P的坐标．（3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值．（4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案）

答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．2．⊙O的半径为4，OA的长为8，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．无法确定【分析】直接根据点与圆位置关系的条件进行解答即可．解：∵⊙O的半径r为4，OA＝8，∴r＜OA，∴点A在圆外故选：B．3．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．⊙O的半径为5，点A在直线l上．若OA＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相切或相交 D．相离【分析】根据垂线段最短，则点O到直线l的距离≤5，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．解：∵⊙O的半径为5，OA＝5，∴点O到直线l的距离≤5，∴直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选：C．5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程变形正确的是（）A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝1【分析】方程两边加上4得到x2﹣4x+4＝9，然后把方程左边写成完全平方形式即可．解：x2﹣4x＝5，x2﹣4x+4＝9，（x﹣2）2＝9．故选：B．6．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100（1﹣x）＝121 B．100（1+x）＝121 C．100（1﹣x）2＝121 D．100（1+x）2＝121【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2＝121，故选：D．7．有下列四个①直径是弦；②三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；③经过三个点一定可以作圆；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．解：①直径是弦，是真命题；②三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，是真命题；③经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，是假命题；④半径相等的两个半圆是等弧，是真命题；故选：B．8．如图，⊙O中，弦AB⊥CD于E，若已知AD＝9，BC＝12，则⊙O的半径为（）A．5.5 B．6 C．7.5 D．8【分析】连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，根据圆周角登录得到∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，根据三角形的内和得到∠ADC＝∠FDB，由角的和差得到∠ADF＝∠CDB，得到，求得AF＝BC＝12，然后由勾股定理即可得到结论．解：连接DO并延长DO交圆O于点F，连接BD，AF，BF，∵∠DAE＝∠DFB，∠AED＝∠FBD＝90°，∴∠ADC＝∠FDB，∴∠ADF＝∠CDB，∴，∴AF＝BC＝12，∵∠DAF＝90°，∴DF＝，∴⊙O的半径为7.5．故选：C．二．填空题（共8小题）9．写出一个解为1和﹣2的一元二次方程x2+x﹣2＝0．【分析】先计算1与﹣2的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程．解：∵1+（﹣2）＝﹣1，1×（﹣2）＝﹣2，∴以1和﹣2为根的一元二次方程可为x2+x﹣2＝0．故答案为x2+x﹣2＝0．10．已知扇形的圆心角是150°，扇形半径是6，则扇形的弧长为5π．【分析】直接利用弧长公式计算．解：扇形的弧长＝＝5π．故答案为5π．11．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝30°．【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC＝80°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．解：连接OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，∴∠BOC＝180°﹣50°×2＝80°，∴∠AOC＝80°+40°＝120°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，故30．12．若m是方程2x2+3x﹣5＝0的根，则代数式2m2+3m+5的值是10．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．解：把m代入方程2x2+3x﹣5＝0，得到2m2+3m＝5，所以2m2+3m+5＝10．故10．13．正六边形ABCDEF的半径为4，则此正六边形的面积为．【分析】由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，而正六边形可以分成六个边长的正三角形，∴正多边形的半径即为正三角形的边长，∴正三角形的边长为4，∴正三角形的高为4×sin60°＝2，∴该正六边形的面积为6××4×2＝24．故．14．关于x的方程（m﹣3）x+mx+1＝0是一元二次方程，则m为1．【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．解：由题意可知：m2﹣2m+1＝2，解得：m＝1±，∵m﹣3≠0，∴m≠3，∴m1±，故115．已知△ABC的周长是24，面积是24，则其内切圆半径等于2．【分析】连OA，OB，OC．把三角形ABC分成三个三角形，用三个三角形的面积和表示三角形ABC面积进而求出即可．解：如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．连OA，OB，OC，OD，OE，OF．则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，S△ABC＝S△AOB+S△OBC+S△OAC＝×OD×AB+×OE×BC+×OF×AC＝24＝×OD（AB+AC+BC）＝24．∴×OD×24＝24，解得：DO＝2，∴其内切圆半径等于2．故2．16．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AB、AD、CD上，EG与BF交于点I，AE＝2，BF＝EG，DG＞AE，则DI的最小值为2．【分析】过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，根据HL证明Rt△BAF≌Rt△EMG，可得∠ABF＝∠MEG，所以再证明∠EPF＝90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OI＝BE，由OD﹣OI≤DI，当O、D、I共线时，DI有最小值，即可求DI的最小值．解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点O，连接OI、OD，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝∠DME＝90°，AB∥CD，∴四边形ADME是矩形，∴EM＝AD＝AB，∵BF＝EG，∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，∵AB∥CD∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB∵∠ABF+∠AFB＝90°∴∠ABF+∠BEG＝90°∴∠EIF＝90°，∴BF⊥EG；∵△EIB是直角三角形，∴OI＝BE，∵AB＝6，AE＝2，∴BE＝6﹣2＝4，OB＝OE＝2，∵OD﹣OI≤DI，∴当O、D、I共线时，DI有最小值，∵IO＝BE＝2，OD＝＝2，∴ID＝2，即DI的最小值为2．故2﹣2．三．解答题（共10小题）17．解方程：（1）x2﹣36＝0（2）x（x﹣2）＝0（3）x2+12x+27＝0（4）x2﹣7x+12＝0（配方法）【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．解：（1）x2﹣36＝0，x2＝36，解得x1＝6，x2＝﹣6；（2）x（x﹣2）＝0，x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2；（3）x2+12x+27＝0，（x+3）（x+9）＝0，x+3＝0或x+9＝0，解得x1＝﹣3，x2＝﹣9；（4）x2﹣7x+12＝0（x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，解得x1＝3，x2＝4．18．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【分析】（1）由△＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知m＝5，还原方程，利用因式分解法求解可得．解：（1）由题意知，△＝（2m）2﹣4（m﹣2）（m+3）＞0，解得：m＜6，又m﹣2≠0，即m≠2，则m＜6且m≠2；（2）由（1）知m＝5，则方程为3x2+10x+8＝0，即（x+2）（3x+4）＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣．19．如图，点C，D分别在射线OA、OB上，求作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切．（使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹）【分析】作∠DOC的平分线OM，∠ODC的平分线DN，OM交DN于点P1，作P1F⊥OD，以P1为圆心，P1F为半径作⊙P1即可；同法作出⊙P2．解：如图，⊙P1，⊙P2即为所求；20．在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数．【分析】连接BD，先根据圆内接四边形的性质计算出∠BAD＝180°﹣∠C＝70°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠ABD＝55°，然后再根据圆内接四边形的性质可得∠E的度数．解：连接BD，∵∠C+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∴∠ABD＝（180°﹣70°）＝55°，∵四边形ABDE为圆的内接四边形，∴∠E+∠ABD＝180°，∴∠E＝180°﹣55°＝125°．21．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60+x）元，销售量为（800﹣20x）件．（2）列方程并完成本题的解答．【分析】（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．解：（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60+x）元，销售量为（800﹣x）＝（800﹣20x）件．故答案为（60+x）、（800﹣20x）．（2）根据（1）得：（60+x﹣50）（800﹣20x）＝12000整理，得x2﹣30x+200＝0解得：x1＝10，x2＝20．为使顾客获得更多的优惠，所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元，销售量为600件．22．如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CDA等底等高，∴S△COD＝S△ACD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝π．23．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA＝EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．（1）证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切．（2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：∴∠DFA＝∠DEA＝90°，在△EAD和△FAD中，，∴△EAD≌△FAD（AAS），∴AF＝AE＝8，DF＝DE，∵OA＝OD＝5，∴OF＝3，在Rt△DOF中，DF＝＝4，∴DE＝DF＝4．24．如图，点I是△ABC的内心，A的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆于点E．求证：IE＝BE＝CE．【分析】连接BI，由三角形的内心的性质可得∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，由圆周角定理可得∠BAE＝∠CBE＝∠CAE＝∠BCE，可得BE＝CE，由外角的性质可得∠BIE＝∠IBE，IE＝BE，即可得结论；证明：连接BI，∵点I是△ABC的内心，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI，∵∠CBE＝∠CAE，∠BCE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠CBE＝∠CAE＝∠BCE，∴BE＝CE∵∠BIE＝∠ABI+∠BAE，∠IBE＝∠CBI+∠CBE，∴∠BIE＝∠IBE，∴IE＝BE，∴IE＝BE＝CE；25．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动（不与点A，B重合）；同时点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动（不与点C、D重合），经过几秒，△PDQ为直角三角形？说明理由．【分析】由∠PDQ≠90°可知△DPQ为直角三角形分两种情况．①当∠DPQ＝90°时，过点Q作QM⊥AB于M，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值；②当∠DQP＝90°时，则AP+CQ＝16，由此可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出x值．即可得出结论．解：经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形，理由如下：∵点P不与点A重合，∴∠PDQ≠90°，∴△DPQ为直角三角形分两种情况：①当∠DPQ＝90°时，△DPQ为直角三角形，过点Q作QM⊥AB于M，如图所示：则四边形BCQM为矩形．∵AP＝3xcm，BM＝CQ＝2xcm，则PM＝（16﹣5x）cm，DQ＝（16﹣2x）cm，∴（16﹣5x）2+62+（3x）2+62＝（16﹣2x）2，解得：x1＝2，x2＝；②当∠DQP＝90°时，AP+CQ＝16，所以3x+2x＝16，解得：x＝．综上可知：经过2s或s或s时，△DPQ为直角三角形．26．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD．（1）判断四边形OCPD的形状并说明理由．（2）求点P的坐标．（3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得