电磁场-近代电磁理论

21、单轴晶体中的平面波1.1

晶体的介电张量与波方程

zz

yy

xx0晶体一般是各向异性的电介质。如果无损耗，可以通过坐标变换，把介电率张量写成对角形式：0

0

0ε

0

0(K1)这个能把介电率张量表示成对角形式的坐标系，称为主轴坐标系。3kDB

坐标系:

D

0

B

0

E

jB

H

jD

无源Maxwell方程组：假设有平面波解：(K2)H

H

e

jkrE

E

e

jkr00(K3)B0

H

0

jkrB

B

e

,0D

D0

e

jkr

,

D

0

ε

E0(K4)将(K4)代入(K2)的两个散度方程，得4k

D0

0k

B0

0

k

B0k

D0(K5)因此，kDB

构成一个直角坐标系，称为

kDB坐标系。在这个坐标系中，

D

和

B

只有两个分量。（回忆:

在

空间”极化坐标系”中，电场和磁场都只有两个分量）把(K3)代入两个旋度方程，得

jk

E0

jB0

j

H00

0

0

jk

H

jD

jε

E(K6)以k

叉乘第一式并利用第二式得：k

(k

E0

)

k

H0kBDeˆ1eˆ23eˆ5k

2

E

(k

E

)k

2

D

2

ε

E0

0

0

0(K7)0

E||令

E

E0

0（

E

,E//

分别表示垂直和平行于k

的分量），则0

00k

2

(E

E//

)

k

2E//

2

D

0

0

0020D

E

k

2(K8)一般来说，E0

与D0

不平行。因为电磁能流密度方向为向，所以它与波矢量k

方向不一致。(7)式也可写成：Re(1

E

H*

)

的方200k

2E

(k

E

)k

2

ε

E

00

0

0这就是平面波必须满足的矢量波动方程。(K9)61.2

单轴介质中的平面电磁波在主轴坐标系中，设

xx

yy

，

zz

//，则||

00

0

0 0

ε

0

E0

(

//

)E0

z

zˆD0

E0

x

xˆ

E0

y

yˆ

//

E0

z

zˆ(K10)因为k

D0

0，即

k

E0

(

//

)kz

E0

z

0

，所以k

E0

(1

//

/

)kz

E0

z将此代入(K9)式，并写成矩阵形式，得(K11)

0

02

2k

2

2

//

||

0

z0

x

E

E0

y

0

Ek

k

k

(1

||

/

)kxkz||

y

z0k

2

2

(1

/

)k

k0x

y

z2

2

(K12)此方程有非零解的条件是系数行列式等于零（

det[]0

），即7||x

y

||

z2

2(k

2

2

)2

[k

2

k

2

(

/

)k

]

0方程有两个解：(K13)k

2(K14a)(K14b)（1）

2

0

k

k1（2）k

2

k

2

(

/

)k

2

2

0x

y

||

z

||（1）寻常波把第一个解代入(K12)，得到E0

z

0

，根据(K11)式有k

E0

0

，即

k

E0

，所以能流密度方向与波矢量方向一致，称为寻常波。此时D0

E0

，波的特性与各向同性介质中波的特性相同，相速和折射率为：n1

c

/

vp1

/

0

，

(K15)vp1

/

k1

1/（2）非寻常波设波

方向（k

矢量）与

z

轴的夹角为

，即

kz

k

cos

，代入(K14b)8式，得k

2

sin

2

(||

/

)k

2

cos2

2

||

0

，即

//

2cos

221

1 sin

k

2(K16)将此代入(K12)并设k

0

,k

k

sin

,k

k

cos

（z轴固定，x、y轴可选择），x

y

z则E

0

，0

x

//(1//2)k

sin

cosk

2

2

E

0

z

E0

y

tan(K17)//即

E0

E0

y

yˆ

E0

zzˆ

E0

y

(

yˆ

zˆ

tan

)

在

yz

平面内，有平行于k

的分量。磁0

x0

0场幅度根据(K6)的第一式为

H

1

k

E

H

xˆ，其中kE0

y//

cosH

0

x

(E0

z

sin

E0

y

cos

)

k(

sin

2

//

cos2

)(K18)Poynting矢量（能流密度）为:9//*

S

1

E

H*

1

E2

0

0

2

0

y

0

xH

(

yˆ

tan

zˆ)(K19)能流密度方向与波矢量方向的夹角余弦为：//2

22

2

sin

cos

sin

2

cos2

//yˆ

tan

zˆyˆ

tan

zˆcos

kˆ

Sˆ

(

yˆ

sin

zˆcos

)

//

//

所以能流密度方向与波矢量方向不一致，称为非寻常波。非寻常波的相速和折射率为：

sin

2

cos2

1/

2k

v

p

2

，

n2

()

c

/

vp2

(K20)

//

折射率。寻常波和非寻常波具有不同的相速度和折射率。当一个波射入介质后，波折射分离，产生双折射现象。10如上图(a)，对于垂直极化波(TE波)入射（电场矢量与入射面垂直），Ez

0，所以是寻常波，折射角满足（Snell定律）:

n1

sin

1

sin

i

。对于图(b)，是平行极化波(TM 波)入射（电场矢量与入射面平行），Ex

0

，所以是非寻常波，折射角满足（Snell定律）:

n2

(2

)sin

2

sin

i

。对于一般情况(c)，入射波可分解为垂直于入射面和平行于入射面的两个特征波之和，它们分别根据寻常波和非寻常波的规律产生折射，出射波成为两束平行的波。yzyEHz(b)

(c)yE

Hz(a)ii12112、磁化等离子体中的平面波等离子体：处于电离状态的物质（总体仍然电中性）。典型的等离子体环境是电离层，由于宇宙射线的作用，大气层

60km以上的气体处于电离状态（并不是说每一种气体分子或所有某种气体分子都被电离）。在浩瀚的宇宙中，存在着非常稀薄的等离子体，称为尘埃等离子体。另一种重要的环境是核裂变和核聚变，反应堆中的高温和强辐射，使得其中的物质成为等离子体。122.1磁化等离子体的介电张量一个游离电子的运动方程为：mv

mv

eE

ev

(B0

B)(P1)对于稀薄气体，电子与其他分子或离子的碰撞可忽略，所以左边第二项可忽略。B0

表示外加的直流磁场（磁化磁场，对电离层为地球磁场，大约

0.5G=0.510-4

T），{E,

B

是电磁波的场，通常总是有右边最后一项也可忽略。另外，正离子假设是不动的。B

B

，所以0取

B0

沿

z

方向，则(P1)的分量形式是：13zz

j

v

e

Emyxc

yx

j

vmem

j

v

e

E

v0m|

e

|yc

xcE

v，

B(P2)其中c=电子回旋角频率（电子绕磁场旋转的频率），上式的解是：

evz

e

Ezm

jjEx

c

Eyme

E

jEm

cyc

xyvxv

c

2

22

2

y

x

Ez

E

j

0m

e

y

vz

v

vx

jc02

2ccccc

j

2

210

E0

2

22

2(P3)m写成紧凑形式为：v

e

α

E

，α

表示上式中的矩阵。14根据极化强度的定义：P

Ner

0

χ

e

E0

p

jP

Nev

2α

Ejp

αe

χ

20Ne

2m（等离子体角频率2p）(P4)所以，介电率张量为ε

0

εr

：20

r

eg1

jg2

0

ε

I

χ

jg

g

1

0

0

g

3

(P5)12

2

222

2

2c

c

p

cg

1

p

，

g 32p2，

g

1

(P6)T因为

ε

ε

，所以磁化等离子体不是互易媒质（不满足互易定理），波沿r

r相反方向

具有不同的特性。152.2矢量波动方程

jkr的平面波为

E

E0

e

，把它代入矢量波动方设在磁化等离子体中程(9)式，即k

2E

(k

E

)k

2

ε

E

00

0

0把该式写成矩阵形式（k

E0

kx

E0

x

k

y

E0

y

kz

E0

z

），得到：0

12

0

z0

x

z0 3

y

z

k

kx

z

k

k

k

kyx

y

0

2x

0

10

2

k

x

k

zEy

z

0

y

E

0E

k

2

k

gk

2

k

2

k

2gk

2

k

k

jk

2

g2k

2

k

2

k

g2

k

x

k

y

jk

g(P7)其中k

2

2

。0

0162.3平行于磁化磁场方向设k

//B0

，即kx

k

y

0，k

kz

zˆ，沿磁场方向，则(P7)式的成为：0

10

2jk

2

g0

x

0

E

0

y

0E

0

0

k

2

g0 3

E0

z

zz

0

1

0

2

k

2

gk

2k

2

k

2

g

jk

2

g

0(P8)方程有非零解的条件是系数行列式为零，即(k

2

k

2

g

)

2

(k

2

g

)

2

0z

0

1

0

2(P9)由此解得cz

2p

/

01

/

2k

k

k

(g

g

)

k

10

1

2(P10)17

0

，即

jk

2g

E0

2 0

x

0

2 0

y代回方程(P8)式第一个方程得：

k

2

g

EE0

y

/E0

x

j另外由第三个方程知E0

z

0

。如果波沿-z方向(P11)，用kz

k

代入(P8)式仍然得到(P11)；因此，平面波解（电场矢量）成为：0

xjk

zjk

zE

(xˆ

jy)eE

(xˆ

jy)e0

x(右/左圆极化）(左/右圆极化）E

(P12)两种圆极化波的相速度为：crrpcck

2p

/

,

1

g

g

1

2v

(P13)电位移矢量（

E0

y

jE0

x

：‘-’为右旋，‘+’为左旋）为：18D0

x

0

(g1

E0

x

jg2

E0

y

)

0

(g1

g

2

)E0

xD0

y

0

(

jg2

E0

x

g1

E0

y

)

0

(g1

g

2

)E0

yD

(g

g

)E

E

，

g

g

(P14)0

0

1

2

0 0

eff

0

eff

1

2因为

为标量，

D

//

E

，所以两种圆极化波都是寻常波（能流方向与波eff

0

0矢量方向一致）。右旋波的有效介电常数为c

2p

/

g

g

1

eff

1

2左旋波的有效介电常数为cp

/

eff

1

2eff

与频率的关系如右图（假设

p

1.2c

）。eff

effeff

eff

eff

192

211

2c

p

c对左圆极化：（截止频率

4

）1(i)

当

（截止）;时，

0，

k

=纯虚数，波不能eff

时，波可以

。(ii)

当

1p

c2

2122c对右圆极化：（截止频率

4

）(iii)

当

0

c

时，波可以

；(iv)当

c电子回旋时（波的频率与电子绕磁场旋转的频率相等），产生现象（只有当电场矢量旋转方向与电子旋转方向(vi)一致才可能发生，即只对右旋波才能发生）；(v) 当

c

2

时，不能 （截止）；如果

2

，则右旋波和左旋波都能

。202.4 Faraday旋转一线极化波沿磁场方向进入磁化等离子体媒质，则分解为右圆极化和左圆极化波(z=0为界面),两种圆极化波按它们各自的规律：假如在z0

时为线极化，则之后会分解成两种圆极化：0E

xˆE

,

z

0

1

E

(x

jy)e

jk

z

1

E

(x

jy)e

jk

z

,

z>02

0

2

0第一项为右圆极化，第二项为左圆极化。(P15)zB0右圆极化线极化左圆极化21当距离

z

以后，电场矢量为:E

1

E

(xˆ

jyˆ)e

j

(k

k

)ze

jkz

1

E

(xˆ

jy)e

jkz2

02

0此时电场矢量方向与x轴的角度是[设(k

k

)z

]:(P16)1

ejtan

2

tan(

1

)j(e

j

/

2

e

j

/

2

)e

j

/

2

e

j

/

2xEEy

j(1

e

j

)(P17)所以极化面以顺时针方向（从x轴转向y轴）旋转了角度12距离旋转角度为

，单位c

1

(k

k

)

2

ck

p

c1

1

p c

122

/

2

/

0

(P17’)这种极化面发生旋转的现象称为Faraday效应/旋转。22如果一极化波逆磁场方向进入磁化等离子体，则(P15)式变为：0

1

E

(xˆ

jyˆ)e

jk

z

1

E

(xˆ

jyˆ)e

jk

z

,

z<02

0

2

0第一项为左圆极化，第二项为右圆极化。z

距离以后（

z

z)，电场矢量是E

xˆE

,

z

0(P18)E

1

E

(xˆ

jyˆ)e

j

(k

k

)ze

jkz

1

E

(xˆ

jyˆ)e

jkz2

0

2

0这与(P16)式相同，因此极化面还是顺时针（从x轴转向y轴）旋转角度12

(k

k

)z

。这说明，无论向）， 一段距离方向是沿磁场方向还是逆磁场方向（磁场沿z轴方z

0

以后，极化面都是从x轴向y轴旋转一个角度。磁化等离子体是一种非互异媒质，Faraday旋转是一种不可逆过程，线极23化波来回穿过

z

的厚层后，极化面的旋转角度等于（假设磁场沿

z

轴，则旋转方向是从

x

轴转向y

轴）2

(k

k

)

z(P20)由于电离层存在Faraday效应的缘故，通信一般使用圆极化。

GPS(1575.42MHz)和北斗导航(1619.25/2491.75MHz)都是使用圆极化的典型例子。我国的通信使用Ｃ波段（4-6GHz）圆极化，上行4GHz,下行6

GHz。对于Ku（12-18GHz）波段及更高频率，k

k

，Faraday效应不明显，高空侦察常使用这个波段的线极化。242.5垂直于磁化磁场方向设波的方向为

x

方向,

ky

kz

0,

k

kx

xˆ

，方程(P7)式的成为：k

2

k

2

g0

20

2

jk2

g0

10

x

0

y

00

E

0E

k

2

gx

0

10

0

k

2

k