正投影法基本原理

关于正投影法基本原理第1页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五2·1投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图第2页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五中心投影法

投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差投影特性投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变第3页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五平行投影法斜角投影法投影特性投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法第4页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五Pb●●AP采用多面投影。

过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1●B2●B3●

点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影a●2·2点的投影解决办法？第5页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五HWV二、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正面或V面）◆水平投影面（简称水平面或H面）◆侧面投影面（简称侧面或W面）投影轴oXZOX轴V面与H面的交线OZ轴V面与W面的交线OY轴H面与W面的交线Y三个投影面互相垂直第6页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a点A的正面投影a点A的水平投影a点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●ZY第7页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不动投影面展开aaZaayayaXYYO●●az●x第8页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五●●●●XYZOVHWAaaa点的投影规律:①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ轴第9页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五●●aaax例：已知点的两个投影，求第三投影。●a●●aaaxazaz解法一:通过作45°线使aaz=aax解法二:用圆规直接量取aaz=aaxa●第10页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五三、两点的相对位置

两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：▲x坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲

z坐标大的在上baa

abb●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ第11页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五重影点：

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●aacc被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？ac第12页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五aaabbb●●●●●●2·3直线的投影

两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。⒈直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性AB●●●●ab直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●第13页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒉直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面第14页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五baababbaabba⑴投影面平行线①在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。水平线侧平线正平线γ投影特性：与H面的夹角:α与V面的角:β与W面的夹角:γ实长实长实长βγααβbaaabb第15页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五

反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。⑵投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线②另外两个投影，①在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)第16页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⑶一般位置直线投影特性：

三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abbaba第17页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五二、直线与点的相对位置◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：

◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理第18页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abcabc①c②abcab●点C在直线AB上第19页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五例2：判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b上，故点K不在AB上。应用定比定理abkabk●●另一判断法?第20页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。⒈两直线平行投影特性：

空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda第21页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五abcdcabd例1：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CD①第22页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五bdcacbaddbac

对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。②求出侧面投影如何判断？第23页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉两直线相交判别方法：

若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点第24页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五●●cabbacdkkd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影第25页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五dbaabcdc1(2

)3(4)⒊两直线交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。★“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。为什么？12●●3

4●●两直线相交吗？第26页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒋两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设直角边BC//H面因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即∠abc为直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.证明：第27页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五dabcabc●●d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.第28页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五小结★点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。★点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：第29页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五一、点的投影规律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX轴②aax=aaz=y=A到V面的距离aax=aay=z=A到H面的距离aay=aaz=x=A到W面的距离

aa⊥OZ轴第30页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五二、各种位置直线的投影特性⒈一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉投影面平行线

在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。⒊投影面垂直线

在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。第31页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五三、直线上的点⒈点的投影在直线的同名投影上。⒉点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比——定比定理。四、两直线的相对位置⒈平行⒉相交⒊交叉（异面）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。

同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。第32页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五五、相互垂直的两直线的投影特性⒈两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒉两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。⒊两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不反映直角。直角定理第33页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五2.4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直线上的三个点●●●●●●abcabc直线及线外一点abcabc●●●●●●d●d●两平行直线abcabc●●●●●●两相交直线●●●●●●abcabc平面图形第34页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五二、平面的投影特性平行垂直倾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把实形现★

平面垂直投影面-----投影积聚成直线

★平面倾斜投影面-----投影类似原平面实形性类似性积聚性⒈平面对一个投影面的投影特性第35页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒉平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜

正垂面

侧垂面

铅垂面

正平面

侧平面

水平面第36页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五abcacbcba⒈投影面垂直面类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？γβ是什么位置的平面？第37页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五abcabcabc⒉投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。第38页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五abcacbabc⒊一般位置平面三个投影都类似。投影特性：第39页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法

定理一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。⒈平面上取任意直线第40页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有无数解。第41页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？第42页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒉平面上取点

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。b①accakb●k●

面上取点的方法：首先面上取线②●abcabkcdk●d利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解第43页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五bckadadbcadadbckbc例2：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。解法一解法二第44页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五2.5直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题

直线与平面平行

平面与平面平行包括⒈直线与平面平行定理：

若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。第45页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五n●●acbmabcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？第46页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n第47页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒉两平面平行①若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef第48页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交⒈直线与平面相交

直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：●求直线与平面的交点。

●

判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。

我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。第49页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五abcmncnbam⑴平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析

平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。k●1(2)作图k●●2●1●第50页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五km(n)b●mncbaac⑵直线为特殊位置空间及投影分析

直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性

点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN上，在后。故k2为不可见。1(2)k●2●1●●作图用面上取点法第51页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒉两平面相交

两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：①求两平面的交线方法：⑴确定两平面的两个共有点。⑵确定一个共有点及交线的方向。

只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：

判别可见性。第52页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析

平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。①求交线②判别可见性作图

从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。n●m●●能否不用重影点判别？能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。⑴第53页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五bcfhaeabcefh1(2)空间及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。ab与ef的交点m

、bc与fh的交点n即为两个共有点的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交线②判别可见性点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2不可见。作图m●●n●2●n●m●1●⑵第54页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五cdefababcdef⑶投影分析N点的水平投影n位于Δdef的外面，说明点N位于ΔDEF所确定的平面内，但不位于ΔDEF这个图形内。所以ΔABC和ΔDEF的交线应为MK。n●n●m●k●m●k●互交第55页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五小结重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的共有点或共有线。解题思路：★空间及投影分析目的是找出交点或交线的已知投影。★判别可见性尤其是如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。第56页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五要点一、各种位置平面的投影特性⒈一般位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形——类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线

——积聚性。另外两个投影类似。

在其平行的投影面上的投影反映实形

——实形性。另外两个投影积聚为直线。第57页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五二、平面上的点与直线⒈平面上的点一定位于平面内的某条直线上⒉平面上的直线⑴过平面上的两个点。⑵过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题⒈直线与平面平行直线平行于平面内的一条直线。⒉两平面平行必须是一个平面上的一对相交直线对应平行于另一个平面上的一对相交直线。第58页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五四、相交问题⒈求直线与平面的交点的方法⑴一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用交点的共有性和平面的积聚性直接求解。⑵投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上取点的方法求解。⒉求两平面的交线的方法⑴两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线的投影特性画出交线的投影。⑵一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共有点，求出交线。第59页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五2.6换面法一、问题的提出★如何求一般位置直线的实长？★如何求一般位置平面的真实大小？

换面法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。第60页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五VHABabab二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1第61页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五VHAaaaxX⒈更换一次投影面

旧投影体系X—VH

新投影体系P1HX1—A点的两个投影：a，aA点的两个投影：a，a1⑴新投影体系的建立三、点的投影变换规律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.第62页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新旧投影之间的关系

aa1

X1a1ax1=aax点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。axa一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。.第63页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五XVHaaax更换H面⑶求新投影的作图方法VHXP1HX1

由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aaX1P1Ha1axax1ax1更换V面●a1作图规律：..第64页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五⒉更换两次投影面先把V面换成平面P1，P1H，得到中间新投影体系:P1HX1—再把H面换成平面P2，P2P1，得到新投影体系:X2—P1P2⑴新投影体系的建立按次序更换AaVHaaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2第65页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五ax2aaXVH⑵求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2

作图规律

a2a1X2轴a2ax2=aax1a1axax1..第66页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五VHABabab四、换面法的四个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：

换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。.第67页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；第68页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五

一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把一般位置平面变换成投影面垂直面

如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空间分析：

在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？

思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！第69页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五αab

cacbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。dd★将AD变换成新投影面的垂直线。d1●a1d1●c1●

反映平面对哪个投影面的夹角？.第70页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五a1b1●需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面变换成投影面平行面abacbXVHc作图：AB是水平线空间分析：a2●c2●b2●c1●X2轴的位置？平面的实形.X1HP1.与其平行第71页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五b1距离dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。ccbaabXVH五、换面法的应用

如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCcabd作图:

求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1a1a2b2d2过c1作线平行于x2轴。...如何确定d1点的位置？第72页，共79页，2022年，5月20日，4点12分，星期五baabcd●c例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径=MN●n●m

当直线AB