邮电概率论与随机过程课件-4班12讲

第八章平稳过程教学目的充分理解平稳过程的基本概念，会判断一个过程是否为平稳过程；理解平稳过程相关函数的谱分解、平稳过程的谱分解的基本思路，并掌握相互求解的基本方法；理解平稳过程各态历经性的基本概念，掌握利用定义判断一个过程是否具有各态历经性的基本方法；了解采样定理。教学重点平稳过程的定义；谱分解的基本思路；各态历经性的定义。12013-10-20第一节平稳过程的概念1

1

n

n

1

1

n

nPt

x

,t

x

Pt

x

,,t

x

定义8.1.1

设t,t

T

为随机过程，若对任意的正整数n及实数ti

,

xi(i

1,n)及，有：即：t1

,tn

和t1

,,tn

具有相同的分布，称t

为强平稳过程。强平稳过程的一切有穷维分布函数不随时间的变化而变化，这样的要求过于苛刻，同时要判断一个过程是否为强平稳过程也是相当困难的。22013-10-20t若t,t

T

为强平稳过程，且为二阶矩过程，其数值特征。当t,t

T，t和t

具有相同的分布，即Et

Et

，即强平稳过程的均值函数为常数；当t1,t2

,t1

,t2

T，有：t1,t2和t1

,t2

具有相同的分布，即

R0,t2

t1

(令

t1

)，即强平稳过程的相关函数与起点无关，只与时间的间隔t2

t1有关。于是，

引入弱平稳

过程的概念如下：R

t1

,

t2

Et

1t

2

Et

R

t

1

,t

1

2

232013-10-20定义8.1.2t,t

T

为二阶矩过程，且满足：（1）对一切t

T，t

Et

常数C（2）对任意的t,

t

T

，R

t

,t

E

t

t

R

与t无关，则称t,t

T

为弱平稳过程（简称平稳过程）。当T为离散集时，t,t

T

为平稳时间序列。一般说来，强平稳过程未必是弱平稳过程，显然弱平稳过程更不是强平稳过程。强平稳过程

二阶矩过程

弱平稳过程如何判断一个随机过程是否为平稳请

例8.1.1

8.1.3对于正态随机过程来说，严平稳和宽平稳等价。请大家自证之。42013-10-20例8.1

设有状态连续时间离散的随机过程X(t)=sin2t,其中随

量在(0,1)上服从均匀分布，t=1，2，...。试考察X(t)的平稳性。解：101010cos

212XEX

(t)

tsin

2

sdsin

2td

0R

(s,

t)

EX

(s)

X

(t)

sin

2(t

s)

cos

2

(t

s)d

1

2t

st

s0故该随机过程是广义平稳的。可以验证该过程不是严平稳的。52013-10-20n

nj1

k

1

t

0k

j

kR

t

j二、平稳过程的基本性质性质1

相关函数R满足：（1）R0

0

（2）R

R

（3）R

R0（4）R是非负定的，即对任意的正整数n及任意的t1,tn

T和任意的复数1,n，有：262013-10-202222

R

0R

0

R

0

E

t

2

Et

t

t

t

ER

E

（3）R

E

t

t，显然有(1)t

和(2)证明：由相关函数定义，(4)

j1

nn

n

j1

k

1

E

tjk

jkj1

k

1n

nj1

k

1

E

t

j

tk

j2t

0j

j

k

E

t

n

n

t

R

t

j

k

j

k

（2）t在t

0处均方连续；证明见

P150根据均方连续准则：t在t

处均方连续

Rs,t

在,处连续

R在

0处连续

R在T上连续（3）R在

0处连续；（4）R在T上连续。（1）t在T上均方连续；性质2

下列各条件等价（不妨假设0

T）：72013-10-20（1）t均方可导；３R在

0处二次可导；4R二次可导性质3

下列各条件具有关系：（1）（2），（4）（3），（1）（4）’’limlimh

,h

'

04

3

显然存在

存在

hh‘h

hhh‘h

hhlim

Eh

,h

'

0h

,h

'

0R

h

h

’

R

h’

R

h

R

0

lim

Eh

,h

'

0R

h

h

’

R

h’

R

h

R

0

存在存在82013-10-200

h

0

0

h‘

0

t在

t

0

处均方可导

t

h

t

t

h‘

t

t

h

t

（2）t在t

0处均方可导；证明：1

2

2L

'

t

t

均方可导''22L

'0

0

E'0'

R

'

'

(

)hhhhhht

均方可导

h0

lim

E

h'0

E''092013-10-20'

0

R

'

(

)E

E

h0lim

Eh0

R

'

(

h)

R

'

()即：limh0t

均方可导

h

Lh0h0即：lim

R(

h)

R()（2）t在t

0处均方可导；证明：1

4３R在

0处二次可导；4R二次可导（1）t均方可导；性质3

下列各条件具有关系：（1）（2），（4）（3），（1）（4）性质4

设平稳过程t,t

a,b均方连续，f

t，g

t为在[a,b]上的复值连续函数，则：

102013-10-20f

t

E

t

dt

babb

aababab

aE

bf t

tdt

f

tdt

a（1）

f

t

tdt存在；（2）E

f

t

tdt

f

ss

ds

f

t

g

sRt

s

dsdt（3）112013-10-20

nnn

kn

n

k

jnjekk

kknkkki

k

tjijkitk

，k

1k

1k

1

j1j1k

122k

1R

0

2keEeE

e则：R

Ett2

iiti

t由上可见：且E

0

，E

考虑n个正弦波的迭加：t

e（k

1,n），其中（k

k

1,n）为角频率，k，1

k

n互不相关，第二节平稳过程和相关函数的谱分解即：122013-10-20RR

iik

kkni

pke

k

，其中iinkkkkn k

e

k

e dF

k

nk

q

，

，k

1,n，则：k

k

k的形式？R

nR问题2：t是否可以表示为t

eid的形式？R

0问题1：是否一般地有kq

e

，R

02R0

R

0

，有：（1）若令

0

kq

0

，其中q

,k0k

1k

1n

2

pkek

1

22nk

e

2k

12

ik

122

n,n为一概率分布（2）若令q

1

p

，qp

,k

1,n为一概率分布。（8.2.1）t,t

T

的相关函数

R可以表示为R

eidF一、相关函数的谱分解1、平稳过程相关函数的分解定理8.2.1

为使复值函数RT

成为均方值为1的均方连续的平稳过程“”若R形如(8.2.1)，则它是F

所对应的特征函数，因而具有非负定性，于是存在复正态过程t,t

T

，使得Et

0，Et2

R0

1，且：Est

Rs

t，可见t为平稳过程，且均方值为1。由ei

1于是求极限和积分可交换。则R连续，因此t均方连续。其中F

是右连续的分布函数，在不计相差一个常数的意义下F

是唯一的。1，则由相关函数的性质知R连续、理知：R是特征函数，则R形证明：“”由t

均方连续、均方值为R0

1、且R非负定的，根据波赫纳

辛如(8.2.1).132013-10-20F

'

f

i

f

t

dteRd(由定理4.1.3得）

ei

Rd

R

e

i2

12

1注意：变换f

t(2)

当

Rd

时，由特征函数的性质知，F

'连续，且推论（1）当F

f

tdt时，R

eif

dR

0R

2，且Et

12则Et

t

1

R

注意：Et2

R0

1不是本质的。若Et2

2

0，令：t

t，

则称F为t的相关函数的谱函数，简称t的谱函数，f

为它的谱密度定义8.2.1

若平稳过程t,t

T的相关函数R可表示为：R

eidF

eif

d142013-10-20152013-10-20当F

在

0处连续时，有：R

cosdG，其中G

2F

是有0界、不减的右连续函数。定理8.2.2

实值函数R成为均值为0，方差为1的的均方连续的实平稳过程t,t

T

的相关函数

R可以表示为R

cosdF0

0根据F

1

F

0，则dF

dF

则：R

cosdF

cosdF

cosd2F

cosdG0

0

0

0其中G

2F

证明：定理的前半部分显然成立。当R为实值函数，有：

0

R

cosdF

cosdF

cosdF

0

cosdF

cosdFF(x)右连续，则F(－x)左连续推论：（１）当R()有谱密度时，R

2

cosf

d（２）当

R

d

时，f

01cosR

d

0定理8.2.3

为使复值函数R(n)(n=0,1,2,…)成为均值为

0,方差为1的平稳序列{n,n=0,1,

2,…}的相关函数的重要条件是R(n)可以表示为R

n

eindF

其中F()为[-,]上的有界、不减、右连续函数。相关的推论请

。162013-10-200172013-10-20002

1

2

22

i

i

0

e

e

d

2连续的谱密度：

1解：由于e

e

de

Rdf

R

d

，满足付氏变换的条件，则存在例：已知平稳过程的相关函数为：R

e，,

0求谱密度函数。ei

eii

i

i留数定理Ckk

1设函数f(z)在区域D

内除有限个孤立奇点

z1,z2,…,zn外处处解析，C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么

f

(z)dz

2i

n

Re

s[

f

(z),

z

]nkiaxiaxk

10d

k

1

(z

z

)k

f(z)000

0R(x)e1Res(

f,z

)

(k

1)!

zz0zz0dx(a

0)

2iRe

s[

f

(z),

z

]dzk

1形如

R(x)edx(a

0)的积分：lim

0

,当z

为k阶极点Res(f,z

)

lim(z

z

)f(z),当z

为一阶极点182013-10-202

2192013-10-202

2

4

e

i2422eef

de

iz

||

z2e

iz

||

z2ii

(

9

e

-||

5e

-

3||

)24z

9

z

1

4

Re

sz

9

z

1

4

2i

Re

s2

9

2

1d

4

9d10

2

4

10

2

9

4z

3iz

i

解：

R

，求平稳过程例：已知谱密度为

f

t

的相关函数。）2、平稳时间序列的相关函数的谱分解（二、平稳过程的谱分解itrr

a,b1解决问题：t是否可以表示为t

eid的形式？由特征函数的定义（4.1.1）启发 考虑是否有类似于特征函数的逆转公式可以由t来确定？下面的引理将回答这个问题。设t,t

T

均方连续，Et

0，Et2

1，F为t的相关函数的谱函数，它是右连续的分布函数。引理8.2.1

设a,ba

b为F

的任意两个连续点，定义随 量：证明：由定理7.2.6，知rddtt下面证明当r

时，ra,b均方收敛。12则当r

时，ra,b均方收敛于某一a,b，且Ea,b

0

tdt存在。a,

b

2brreita

eitbr

aeit202013-10-20E

2

0（具体证

12it

itrrrs明略，见P154），即存在a,b，使得：E0且对任意的a,ba

b，有：Eba2

F

b

F

a证明思路：对F

的连续点a,ba

b，令a,b为引理8.2.1所定义的

随

量，证明当c,d

c

d

为F

的另外两个连续点，若a,b与c,d

互不相交，则有：Ea,bc,d

0再说明存在满足定理的正交增量过程，见P156。引理8.2.2

存在均方连续的正交增量过程,

，使得知Ea,b

0，即得引理的结论t dt

0，Ea,b

0（r

）a,b

E

由均方收敛准则，只须证明当r,s

，t

dt

2由Ea,b

E

12rreita

eitb

r

reita

eitb

212013-10-20（8.2.3）2

122

11

2（1）对任意的

F

F

，有：E

其中为均

连续的正交增

量过程，且在不计相差一个随 量的情况下被t唯一确定，此时满足：定理8.2.5

均值为零、均方值为1、均方连续的平稳过程t,t

T

可表示为t

eid

eid，其中,为均时间序列n,n

T

可表示为：

n连续的正交增量过程。其中F

是t的相关函数的谱函数；（2）对一切，E

0证明略，只介绍结论。推论：若参数集T

0,1,2,时，均值为零、均方值为1、均方连续的平稳222013-10-20，其中定义8.2.2

若平稳过程t可表示为：t

eid为正交增量过程，则称是t的随机谱函数。关于实随机过程的谱分析可类似地

，略。三、采样定理（

）第三节 平稳过程的各态历经性知道，平稳过程的统计特征完全由其均值函数和相关函数确定，而均值函数和相关函数是随机过程t的取值在样本空间上的概率平均，由t的分布函数所确定，通常很难求得，因此 关心这样的问题：

在什么条件下，在已知一个较长时间的样本记录的条件下，获得平稳过程的数字特征的充分依据，即对样本函数取时

间平均来代替统计平均？即 平稳过程的各态历经性。232013-10-20为该过程的时间均值和时间相关函数。242013-10-20TTtt

l.i.m

1

ttdt

T

2T

TtdtT

1t

l.i.mT

2T定义

设t,

t

为均方连续的平稳过程，则分别称若

t

Et

，即：以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。tdt

T

12Tl.i.mT

定义

设t,

t

为均方连续的平稳过程，TPr.

1

12T252013-10-20T

t

tdt

R

r

.t

t

，即：若

t

t

E

P

1Tl.i.mT

以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。定义 若均方连续的平

稳过程t,t

T

的均值和相关函数都具有各态历经性，则

称该平稳过程具有各态

历经性。问题：如何判断一个平稳过程是否具有各态历经性？定理：设t,

t

是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各11其中：B