几何与代数：第一章 行列式和线性方程组的求解

几何与代数

东南大学线性代数课程温故而知新第一章行列式和线性方程组的求解§1.1二阶,三阶行列式a11a12a21a22记D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,则当D=a11a22a12a210时,,=D1D=D2D.a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一确定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21

=a11a22a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.第一章行列式和线性方程组的求解§1.1二阶,三阶行列式对角线法则a11a12a21a22=a11a22

a12a21

a11

a12

a13

a21

a22

a23a31

a32

a33a13

a21

a32a11a22a33a12

a23

a31a11

a23

a32a12

a21

a33

a13

a22

a31

第一章行列式和线性方程组的求解§1.1二阶,三阶行列式a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

记D=,则当D0时,a11x1+a12x2+a13x3

=b1

a21x1

+a22x2+a23x3

=b2

a31x1

+a32x2+a33x3

=b3

,D1Dx1

=有唯一确定的解b1

a12

a13

b2a22

a23

b3

a32

a33

D1=,a11

b1

a13

a21

b2

a23

a31

b3

a33

D2=,a11

a12

b1a21

a22

b2a31

a32

b3D3=,,D2Dx2

=.D3Dx3

=

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

§1.2n阶行列式的概念

1

1001

200001

1

001

2仿照三阶行列式的对角线法则可得1212

11(1)1

=4+1=5.3

1005

200001

1

301

23212

15(1)1

=12+5=17.但方程组x1+x2=3x1+2x2=5x3x4=0x3+2x4=3有唯一解x1=1x2=2x3=1x4=1175

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序数对所有不同的三级排列j1

j2

j3求和a11a12a21a22

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

2.n阶行列式的定义a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:当n=1时,一阶行列式|a11|=a11,这与绝对值符号的意义是不一样的.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

3.几个特殊的行列式10…00

2…0…………00…n0…010

…2

0…………n…00=12…n

,(1)对角行列式12…n

.=(1)n(n1)2

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

(2)上(下)三角形行列式a11a12…a1(n-1)a1n

0a22…a2(n-1)a2n……………0

0

…a(n-1)(n-1)a(n-1)n0

0

…0ann=a11a22…ann

.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

例2.确定四阶行列式中a

a

a

a

前面的符号.i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

a

a

a

a

a

a

a

a

i4

j4

i3

j3

i2

j2

i1

j1

1j1

2

j2

3

j3

4

j4

(i1i2i3i4)+(j1j2j3j4)=(1)(j1j2j3j4)(1)第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

4.n阶行列式的另外一种定义a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann

第一章行列式和线性方程组的求解§1.2n阶行列式的概念

性质1.DT=D.记D=a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=5.行列式的转置

第一章

行列式和线性方程组的求解

第一节

二阶,三阶行列式

第二节

n阶行列式的概念

第三节

行列式的性质

第四节

线性方程组的求解

行列式的性质计算方法一：化成三角形行列式行列式的按行（列）展开计算方法二：降阶本次课内容概要第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

§1.3行列式的性质

一.行列式的基本性质a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…anna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

§1.3行列式的性质

一.行列式的基本性质a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…anna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=k性质2.行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式记号外.a11ka12…a1n

a21

ka22…a2n…………an1

kan2…ann.a11

a21…an1

ka12

ka22…kan2…………a1n

a2n

…ann=a11

a21…an1

a12a22…an2…………a1n

a2n

…ann__ka11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann例ka11ka12…ka1n

ka21

ka22…ka2n…………kan1

kan2…kanna11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=___.kn

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a11+b11

a12…a1n

a21+b21a22…a2n…………an1+bn1

an2…ann

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a11+b11

a12…a1n

a21+b21a22…a2n…………an1+bn1

an2…annb11

a12…a1n

b21a22…a2n…………bn1

an2…ann+.a11

a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=

性质3.行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和.第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a+u

b

+v

c

+

x

d+y

=[].+a

b

c

d

(A)u

v

x

y

例3.+u

b

x

d

(B)u

v

x

y

+a

b

c

d

a

v

c

y

+a

b

+vc

d+yu

b+v

x

d+y

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a31

a32

a33a21a22

a23

a11a12

a13a11a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33b11

b12

b13b21b22

b23

b31b32

b33

:======第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a31

a32

a33a21a22

a23

a11a12

a13a11a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33b11

b12

b13b21b22

b23

b31b32

b33

:======性质4.互换行列式中的两行(列),值变号.第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

3210156201733210例4.=_____.3210

156201733210

3210

156201733210

=3210321032103210推论.若行列式D中有两行(列)完全相同,

则D=0.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

6420156201733210例5.=_____.3210

156201733210

=2性质5.若行列式D中有两行(列)成比例,

则D=0.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

ka11

a12

a13

a21a22

a23

a31+ka11

a32+ka12

a33+ka13

=a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

+0=a11

a12

a13

a21a22

a23

a31

a32

a33

+a11

a12

a13

a21a22

a23

ka11

ka12

ka13

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

性质6.将行列式中某一行(列)的k倍加到另一行(列),所得的行列式与原行列式的值相等.a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

k=a11

a12

a13

a21a22

a23

a31+ka11

a32+ka12

a33+ka13

注:通常将上述转化过程用

rkrj

,

ckcj

,

ri+krj,

ci+kcj

等记号表示,并写在等号的上方或下方.第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

例6(1)552353

21=2(21-53)=-64.2253

211153

21=2r1-

r2=(2)123456789=123333789=123333666=0.r2-

r1r3-

r1化成容易求解的行列式第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(3)1+x1y11+x1y21+x1y31+x2y11+x2y21+x2y3

1+x3y11+x3y21+x3y3

解法一D=11+x1y21+x1y311+x2y21+x2y3

1

1+x3y21+x3y3

x11+x1y21+x1y3x21+x2y21+x2y3

x31+x3y21+x3y3

+y1

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

11+x1y21+x1y311+x2y21+x2y3

1

1+x3y21+x3y3

=1x1y2x1y31x2y2

x2y3

1

x3y2

x3y3

c2-c1c3-c1=0x11+x1y21+x1y3x21+x2y21+x2y3

x31+x3y21+x3y3

c2–y2c1c3–y3c1=x11

1

x21

1x31

1=0D=0+y10=0第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(3)1+x1y11+x1y21+x1y31+x2y11+x2y21+x2y3

1+x3y11+x3y21+x3y3

解法二D=r2-r1r3-r11+x1y11+x1y21+x1y3(x2-x1)y1(x2-x1)y2(x2-x1)y3

(x3-x1)y1(x3-x1)y2(x3-x1)y3

=1+x1y11+x1y21+x1y3y1

y2

y3

y1y2

y3

(x2-x1)(x3-x1)=0第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(4)111121113=111010113=111010002=2.r2-

r1r3-

r1化成上（下）三角行列式(5)023440-1134022340r1

r2=40-11023434022340r1-r3=1-4-1-102340163501162r3-3r1=r4-2r1(-1)(-1)1-4-1-1023434022340(-1)第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

r3–r2=r4–2r21-1-4-1032400141007-6r3

r4=1-4-1-102340163501162c2

c3=1-1-4-103240316506112(-1)1-1-4-10324007-600141r4–2r3=1-1-4-10324007-600013=-273(-1)第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(6)3125+2310+110+15+23312=

r1r310+10+25+2312=

r2

+5r1r3

+(3)r110+10+25+2012+2+1=第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

10+10+25+2012+2+1=

=3.

10+1012+2+10+25+2=r2r310+1012+2+1003

=r3

+(2)r2第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(7)11…11a…1

11…a

=(a+n1)…………a+n1a+n

1

…

a+n1

1a…1

11…a

…………nn

a1…11a…1

11…a

…………本解法参见教材14页，还有另外的解法。

1

1

…10a-1

…0

0

0…a-1

(a+n1)

…………=r1+rii=2,…,nri-r1i=2,…,n=第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(参见教材20页)

Dn=

a11

1…11a2

1

a3

1

an(8)

计算n阶行列式(其中a1a2…an

0).

解：Dn

=0a2

0

a3

0

ani=2nai1cic1

-

nai1i=2a1-1

1…1………i=2n=(a1-)ai1…第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

Dn=

a1c

c…cba2

b

a3

b

an思考:

计算n阶行列式“伞形”行列式=

ri–r1i=2,3,…,na1…11-a

a-1

1-a

a-1

…………例:

第(4)题的另一种解法a1…11a…1

11…a

……第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

(其中a1a2…an

0).Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an(9)

计算n阶行列式解:

Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an

ri

–r1

i=2,3,,n=…第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

解:

Dn=1+a11…111+a2…1…………11…1+an1+a111…1a1

a20…0a10a3…0……………a100…anIlveit!=

ri

–r1

i=2,3,,n…

“伞形”行列式第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

=(1+a1)+(a1/ai)11…10

a20…000a3…0……………000…an=[1+(1/ai)]a1a2

an.

…i=1ni=2nc1

+(a1/ai

)cjj=2,3,…,n第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

注:为了不引起混淆,开始的时候，每步最好只进行一个操作.例如:abcda+cb+dcda+cb+d

abr1+r2abcdabcadbcdcadbr1+r2r2r1r2r1

熟练了以后，可以写成如下形式：abcda+cb+d

abr1+r2abcdcdcadbr2r1r2r1r1+r2第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

一般地,在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去,留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij.中a32的余子式为a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代数余子式A32

=(1)3+2M32=M32.令Aij

=(1)i+jMij,并称之为aij的代数余子式.例如,四阶阶行列式

二.行列式按行(列)展开

例假设D=,求

M21,A21,M24,A24.第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

023440-1134022340M21=解234402340A21=-M21M24=A24=M24023340234第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

定理1.2.n阶行列式D等于它的任意一行(列)

的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

det(aij)4×4

=

a11a12

a13

a14a21a22

a23

a14a31a32

a33

a340

0

0

a44证明：以四阶行列式为例，证明四阶行列式的按行展开定理，即对任意的1≤i≤4,

det(aij)4×4=ai1

Ai1+ai2

Ai2+···+ai4

Ai4

,其中

Aij

为aij的代数余子式。证明分为三种情形：

(1)i=4，并且

a41=a42=a43=0.此时det(aij)4×4=

a11a12

a13

a14a21a22

a23

a14a31a32

a33

a340

0

0

a44由行列式的定义，

det(aij)4×4=第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

(2)在行列式的第i行，除了一个元素aij外，其余3个元素均为零。例如，det(aij)4×4=

a11a12

a13

a1400

a230

a31a32

a33

a34a41a42

a43

a44a11a12

a14

a13a31a32

a34

a33a41a42

a44

a4300

0

a23a11a12

a13

a14a31a32

a33

a34a41

a42

a43

a4400

a230

==(-1)将第二行逐次与其下面一行进行调换，直至第二行被调至最后一行将第三列逐次与其后面一列进行调换，直至第三列被调至最后一列由情形(1)=

(-a23)

a11a12

a14

a31a32

a34

a41a42

a44

=a23

A23

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

类似可证，如果在行列式的第i行，除了一个元素aij外，其余3个元素均为零，那么有det(aij)4×4

=

aij

Aij.det(aij)4×4=∑

a11a1j

a140

a2j

0

a31a3j

a34a41a4j

a44……………………j=14∑a2j

A2j.=由情形(2)j=14(3)一般情形。将det(aij)4×4

的第i行元素ai1,ai2,ai3,ai4中的每个元素改写成4个数之和(

以i=2为例

)

a21+0+0+0，

0+a22+0+0，0+0+a23+0，0+0+0+a24

。由行列式的性质1.3，det(aij)4×4

可写成4个行列式之和。第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

推论1.3

n阶行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即当i≠j时，

ai1

Aj1+ai2

Aj2+···+ain

Ajn

=0,

(1.8)

a1i

A1j+a2i

A2j+···+ani

Anj

=0.(1.9)a11

a12

…a1n

…

…

……ai1ai2…ain…

………ai1ai2…ain…

………

an1

an2

…

ann第i行第j行=(1.8)式左端（注:按第j行展开）0=因为有两行相同第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

例求D=。第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

023440-1134022340解274422340=a21A21+a24A24027342234D=0274400134222340c3+c4=(-4)+例求D=。第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

023440-1134022340或者，-1627-542234D=0274400134222340c3+c4=

=-162740001-54222340c1-4c4例求10213-12201314212-31043-14-25D=§1.3行列式的性质

第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

第一章行列式和线性方程组的求解例7(1)

计算n阶三对角行列式(参见教材18页)Dn=21

12

1

1

2

1,

1

2

1

1

2

D3=21

12

1

，

1

2D2=

21

12

，

…其中D1=2,§1.3行列式的性质

第一章行列式和线性方程组的求解解：按第一行展开得Dn=21

12

1

1

2

1

1

2

1

1

2

=

2Dn-111

02

1

1

2

1

1

2

1

1

2

+

(-1)2+1=2

Dn-1

-

Dn-2,

因此，

Dn

-

Dn-1=

Dn-1

-

Dn-2=…=D2

-

D1=1,即

Dn

=

Dn-1+

1，即

Dn

=

Dn-1+

1=

Dn-2

+

2

=…=D1

+

n-1=n+1.思考:按第一列展开呢？§1.3行列式的性质

第一章行列式和线性方程组的求解(2)计算n阶行列式（参见教材24页）Dn=53

2

5

3

2

5

3

2

5

3

2

5思考：

Dn=

a+bb

a

a+b

b

a

a+b

b

a

a+b

b

a

a+b第一章行列式和线性方程组的求解§1.3行列式的性质

注:三对角行列式

Dn=pDn1+qDn2

按第一行展开得令Dn+xDn1=y(Dn1+xDn2),则y

x

=p,xy=q.

§1.3行列式的性质

第一章行列式和线性方程组的求解(3)计算n阶行列式(n≥2)Dn=

a+bab

1a+b

ab

1a+b

ab,