线性系统理论.南航讲义学习库

系统分析系统综合性能指标：系统特性：控制方法：系统分析与系统综合常用的控制策略－－反馈状态反馈，输出反馈1Ts

1H1Ts

1x

x

2x

3x

0,第一节 状态反馈的特征配置一、状态反馈系统的可控性与可观性BADCKu定理5-1：任何实常值状态反馈阵K不改变系统状态反馈不改变可控子空间.B

In

0

x

3 4

x

0

u

,

y

3 4

x4

x

0

u

,

y

1 4

x不能控、不能观不能控、能观能控不能观y说明：二、单变量系统的极点配置定理5-2：动态方程(5-4)的全部极点可以用线性状态反馈(5-5)任意配置的充要条件是系统(5-4)完全可控。det(sI

A

bK

)

det(sTIT

1

TAT

1

TbKT

1

)K

KT充分性:由(A

bK

)的可控标准形知,单变量系统极点配置的算法(3)构造变换阵T

(p101,公式(3-8))例5-3：给定单变量系统为第三步,构造变换阵T为第四步，计算系统原状态反馈阵K0

0

1s

k1k

2

1

k

3k1

k2

2

6三、多变量系统的极点配置定理5-3：若系统(5-10)完全可控,其中K

[b

,

Ab

,,

A1

1b

,

b

,

Ab

,,

A2

1b

,b

,

Ab

,,

A

p

1b

]定理5-4：线性系统(5-10)可以利用线性状态反馈律u=K

x+v任意配置闭环系统全部极点的充要条件是系统完全可控。引入第二次线性状态反馈，uˆ

K2xvK2K1BACx多变量系统极点配置的算法第四步由可控对(A+BK1，b1)构造变换阵T第五步计算构造第一次状态反馈阵K2注：如果存在bi使(A，bi)可控，则可省去求K1，直接用(A，bi)构造T，计算K＝

K2。例5-4：给定完全可控系统为(1)计算(4)构造变换阵T(5)计算K2算法II

（举例）希望的闭环特征值为（-1，-2，-3，-4，-5，-6）。算法III由AT

TF

BK

得A

TFT

1

BKT

1算法Ⅳ例5-5:

某飞行控制系统在H=14KM,

M=0.9时的纵向姿态运动方程为第1步

根据已知系统状态系数阵计算式由此可得式(5-22)为试选取完全可控对m

(s

),

o

(s2

),

o

(s3

)R(s1

)b,R(s

)b,R(s

)b四、系统的可镇定问题定理5-5：系统(5-24)可用状态反馈使闭环系统稳定充要条件是系统的不可控极点均在左半平面。可镇定：不可镇定：可控系统不可控系统系统按镇定分类六、状态反馈的特征结构配置特征根互异i1

A

BK

iS

0np0

1

0

0

0第1步，列出线性方程组确定线性组合系数1＝3＝5＝1，

2＝4＝6＝0y

t

3et

1.5e2t

0.5e3t第五章线性系统时域中的反馈控制和第二节、输出反馈的特征配置由于状态可完全表征系统的结构信息，一般称状态反馈为全信息反馈。采用状态反馈往往可以在理论上得到完美的结果。BAKC定理5-7：输出反馈律(5-61)不改变系统的可观测性,也不改变系统的可控性。记Ｎ1=KerV1,Ｎ2=KerV2分别为系统(5-60)和类似地可证N2

N1。因此必有N1＝N2

。因为可观测子空间是不可观测子空间的正交静态输出反馈不改变系统的可观测性。证法2：输出反馈不能任意改变系统极点。输出反馈和状态反馈的区别设A为n

n常数阵，若rank[b,Ab,

An1b]

n循环矩阵的最小多项式与它的特征多项式一致。循环矩阵A的若当形中一个特征值只有一个若当块。定理5-9:

若(A,C)完全可观测,A为循环矩阵,1例5-11:

设系统(A,B,C)为二、常值输出反馈配置极点的基本定理设A和A+BKC特征方程式分别为△o(s)和△c(s)，这时闭环系统矩阵为c

T

KT

a

a无法利用输出反馈任意地配置n个极点。可配置条件：对于给定的d，上式有解的条件是它们相容，亦即当C

的秩为q

时，q

个方程的唯一解应满足剩下的nq个方程。这时，这nq个等式给出了加在a

0

,a

1

,

,a

n

1

上的约束，这意味着K

l

m注意到A+BKC与其对偶系统(AT

,CT

,BT

)例5-12:

设多变量线性定常系统(A,

B,

C)为不难验证系统(A,

B,

C)完全可控、可观,其次,选定于是c

(s)

det(sI

A

BKC)a

tr(RT

AT

)

61

3

几乎所有(１)

rankB2

min(

p,

n

t)rankB2

min(

p,

n

t),

rankm2C2

1例5-13：给定系统(A,B,

C)为三、常值输出反馈配置极点的算法第1步

将系统(A,

B,

C)的(p

-

1)个极点配置在s1,s2

,

sp1

处。由式(5-75)有并通过K1，使系统(p-1)个极点配置在预先指定的s1,s2

,

sp1（c

s）

（o

s）m2W（2s）l2W21

(s1

)l2

0所以，选定l2中的任一元素，如l21，通过方程(5-80)可求的l2中剩余的(p-1)个元素。从而求得向量l2。为了使系统另外q个极点配置在指定的sp，例5-14：给定系统(A,B,C)为可以验证，系统完全可控、可观测。且rank

B

+rankC-1=4。所以可以通过输出反馈配置系统的所有极点。现设计K1=l1m1，使系统有p

-1=2个极点配置在0 0

（2）对系统（A+BK1C，B，C)，再按-

公式得再设计K2=l2m2,有为了使另外两个极点配置在－2，－4，则依式

0

0第五章线性系统时域中的反馈控制和第三节、动态输出反馈补偿器B

0D1A0C

0C

1B1A1考虑到则方程(5-113)可写成BeAeKeCev

u

0

0I

0定理5-17:动态方程(5-114)所表示的充要条件定理5-18:定理5-19:任何一个完全可控、可观测系统，如果需要设计动态补偿器来构成输出反馈闭环系统，那么，总可以将动态补偿器的设计转化为等效静态输出反馈阵的设计。且动态补偿器的维数l可由下式确定。则等效的开环系统为如此,得等效的闭环系统阵为第3步直接计算A+BKC的特征多项式得b1b1b1b1直接比较c

(s)和c

(s)s同次幂的系数得第五章第四节、解耦控制问题第四节 解耦控制问题一、解耦控制问题的提法p

=

qu

Kx

HvHBCK(sIA)1x解耦系统使得控制器的设计大大简化。可以对每一个变量的控制单独进行。二、系统状态反馈解耦的充要条件(sI

A

BK

)

BK又因为(sI

A

BK

)1

(sI

A

BK

)传递函数阵的特征量例如，对于如下的G(s)因为Gi(s)中各元分母、分子阶次差的最小值为di+1，所以上式中sn-1,…,sn-di项的系数应为零。即，对于闭环传递函数阵GKH·(s)同样可以定义引理5-3:

对于式(5-143)中任意的K和非奇异的H,有k

di定理5-23:

传递函数阵为G(s)的系统,可以用充要条件证明:

必要性.

若G(s)可解耦,则GＫ·Ｈ(s)是对角非奇异阵。故充分性.式中

E1FE1对此解耦系统有例5-20:

设动态系统为第1步求该系统的传递函数阵和特征量第2步判断可否解耦,并构成解耦控制律。由第1步,显然构成解耦控制律uC

C

11s1s211s1s3

1s1s

1s本节介绍的解耦方式，由于其对角元都是积分器，故被称为积分器解耦系统。它不满足稳定性要求，故在实际中不能使用。但是在理论上，它提供了可解耦系统的一种中间形式，可供进一步研究解耦问题时使用。四、稳态解耦问题非稳态解耦只适用于参考输入为单位阶跃的情况。定理5-25:系统(5-140)能稳态解耦的充要条件是该系统可用状态反馈镇定,并且成立有证明:

充分性。因为系统镇定，必有Re

(A

BK

)

0

及(A

BK

)1det

A+

BK

B例5-22：给定动态系统为经计算系统的传递函数阵G(s)为可见矩阵不能动态解耦第五章线性系统时域中的反馈控制和第六节、状态观测器和带状态观测器的动态系统第六节 状态观测器和带观测器的动态系统状态反馈相对于输出反馈有明显的优越性。系统的任意极点配置、镇定、解耦控制、无静差等，均有赖于引入适当的状态反馈方能实现。但一般说来，直接获得（测量）全部的状态变量是 的，这使得状态反馈的物理实现成为问题。状态重构状态观测器状态渐近估计器渐近等价全维观测器和降维观测器。u致，因此，很难1)模型系统的A、B

难与真实系满足误差开环估值一、全维状态观测器CCAGABBuCAGAGCBBu定理

5-30：

(观测器存在定理)

线性定常系统(A,B,C)的全维状态观测器存在充要条件是(A,C)可检测。另一方面,对x2

(A21

G2C1)x1

A22

x2定理5-31：（观测器极点任意配置的条件）充要条件算法：设计方法Ⅱxˆ

T

1

z充要条件充分性。记e

x

xˆ

x

T

1zFTA

FT

GCTB

H必要条件也是充分条件算法例5-26:

给定动态系统为第3步列写矩阵方程TA

FT

GC二、降维状态观测器令

x

Txy

Iq

0

x（2）x222

2212

A

x

(

A

y

B

u)(A22,A12)完全可观测的充要条件是(A,C)完全可观测。（3）对(n-q)维子系统(5-232)构造全维观测器，观测器方程为引入变换z

(A22

G2

A12

)z

[(A22

G2

A12

)G2

(A21

G2

A11)]y

(B2

G2B1)u1

2

2xˆG21IC

1

(I

C

G

)C

1C

2

z

y例5-27:

给定动态系统为1

0

00

1

1z

(1

g2

)z

g1u1

(1

2g2

)u2

(2g

g

g

)

y

g

y设计方法Ⅱ充要条件(1).

Re

i

(F

)

0,

i

1,2,,

(n

q)定理5-36:若A和F不具有公共特征值,则方程TA-FT=GC存在满秩矩阵解T,使必要条件也是充分条件第4步构成矩阵P。z

Fz

Gy

Hu结论1分离特性结论2：观测器的引入不改变系统的闭环传递函数。结论3：带观测器的状态反馈系统的鲁棒性较直接状态反馈为差，所以，在设计闭环系统时通常使观测器的特征值的负实部较直接状态反馈闭环系统的特征值远2

～3倍。即0

0

01

0001

k

1

k

2

k

3

k

4

10

14

51

5,

2

6A

G

A

G

A

G

A

0Gs

C

sI

A1

Bz

Fz

Gy

Huxˆ

Q1y

Q2zKv

G(s)

C(sI

A)1

BG1

(s)G2

(s)v

G

sG1

sG2