几何与代数：第12周第1-2次-特征值-矩阵相似

通知第二次上机实验改为12月9日(本周日)上午9:00-10:30五楼1-4#机房

通知随堂小测验：

2系下周二下午5:15-6:009系下周四中午11:15-12:00关于作业第四章的习题解析参见笔记主要问题错误的说法：线性有关（应该是线性相关）不线性相关（应该是线性无关）习题四(B)101,2,…,t线性无关1,2,…,s线性无关1,2,…,t线性无关1,2,…,s线性无关“当且仅当”其实就是“充要条件”要证两个方向习题四(B)101,2,…,t线性无关1,2,…,s线性无关错误的证法：1,2,…,t线性无关由k1

1+k2

2+…+ks

s=θ

，可得

k1=k2=…=ks=0

.k11+k2(1+2)+…+ks(1+2+…+s)=

θ

(k1+k2+…+ks)1+(k2+…+ks)2+…+kss=

θ

1,

2,…,s

的系数全为0

1,

2,…,s

线性无关

习题四(B)12要求的是“充要条件”向量组

1,

2,

3线性无关由k1

1+k2

2+ks

3

=可推出

k1=k2=k3

=0.k1

1+k2

2+ks

3

=只有零解

(

1,

2,

3)k1k2k3=

只有零解

(a1+b2

,a2+b3,a3+

b1)k1k2k3=

只有零解习题四(B)12

(a1+b2

,a2+b3,a3+

b1)k1k2k3=

只有零解

(1,2,3)k1k2k3=

只有零解a0bba00bak1k2k3=

只有零解a0bba00ba由1,2,3

的线性无关…习题四(B)17

与第12题类似习题四(B)20(1)

xyz=2y-3zyz=210-301y+z基向量:(210),(-3,0,1)习题四(B)20(2)

236924520001000基向量行变换23692450030020-1是基向量(参见引理4.1和例4.15)列变换不是基向量习题四(B)231T

2T1T

2T=C1=

c111+

c212,2=c121+

c222.C=

c11

c12

c21

c22因为此时1

,2

,1,

2是行向量，所以1212=CT

或者等价地，

第5章特征值与特征向量第1节矩阵的特征值与特征向量(eigenvalue,eigenvector)特征值、特征向量内容见上次课PPT

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量二.特征值的性质a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…ann(a11)(a22)…(ann)f(0)=|A|=(1)n|A|.A的迹,记为tr(A)

f()=

|E

A|==n(a11+a22+…+ann)n1+…定理5.1.设n阶方阵A=(aij)n×n,则|E–A|是n次多项式,其n次项的系数为1;|E–A|的n-1次项的系数为|E–A|的常数项为(-1)n

|A|.-aii;

n

i=1第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量推论5.1.若|EAnn|=(1)(2)…(n),则1+2+…+n=tr(A),

12…n=|A|.

例6设A是2阶方阵，E–A和3E+2A不可逆.试求A的迹和行列式.推论5.2.Ann可逆A的特征值均不为零.

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

特征值

特征向量

A2=A(A)=

=A()=A

=2

An=n

(anAn+…+a1A

+a0E)

=anAn

+…+a1A

+a0

=ann

+…+a1

+a0

=(ann

+…+a1

+a0)

(A)==()

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

特征值

特征向量

An=n,(A)

=()

()=

O=

()=0(A)

=O

=

A1

A1

=1

A可逆

An

=n

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量A=

特征值

特征向量

An=n,(A)

=()

(A)

=O

()=0A可逆

An

=n

(2)设0是方阵A的一个特征值,f是一个多项式,则f(0)是方阵f(A)的一个特征值.(3)

若A是一个方阵,f是多项式使f(A)=O

(这时称f为A的一个化零多项式),则A的任一特征值0必满足f(0)=0.性质(1)设0是可逆矩阵A的一个特征值,

则

0≠0，且0-1是A-1的特征值.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量注：性质(3)告诉我们A的特征值有可能是

哪些值例7.若A33的特征值为1,1,2,则|A|=2.

A*的特征值为注:A的化零多项式的根未必都是A的特征值.例如f(x)=x21,A1=1001,A2=1001,A3=0110.A*A=

A*

0|A|E=|A|=A*=1|A|

2,2,1.

第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量分析例8

设A是3阶方阵，E–A,

E+A,2E-A不可逆.A*

是A的伴随矩阵.f(x)=x2+x+3.试求

f(A*)的迹和行列式.第一步求出A*的特征值；第二步求出f(A*)的特征值.(与课本例5.5步骤稍有不同)第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量解：注：事实上，可以证明设1,2,…,n是方阵A的所有特征值,f是一个多项式,则f(1),f(2),…,f(n)是方阵f(A)所有的一个特征值.作业习题五（B）

1(1,2),2,4,5,6,8,13;上交时间：12月11日（周二）思考：设是n维非零列向量，计算：(1)r(T);

(2)T的特征值.

第5章特征值与特征向量第2节相似矩阵§5.2相似矩阵§5.2相似矩阵一.相似矩阵的定义和性质设A,B都是n阶方阵,若有可逆矩阵P,使得B=P1AP,则称矩阵A相似于B.记为A~B.P称为相似变换矩阵.易见,矩阵间的相似关系满足反身性:A~A;

对称性:A~B

B~A;

传递性:A~B,B~CA~C.即矩阵间的相似关系是一种等价关系.第5章特征值与特征向量1.A~B

A与B等价.但反之未必.注

2.A~B,并且A可逆A-1

~B-1.3.

A~B,f是一个多项式f(A)~f(B).§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量命题:设A~B,f是一个多项式,

则f(A)~f(B).证明:设P1AP=B,f(x)=anxn+…+a1x+a0,则P1f(A)P=anP1AnP+…+a1p1AP+a0P1EP

=an(P1AP)n+…+a1P1AP+a0E

=P1(anAn+…+a1A+a0E)P

=anBn+…+a1B+a0E

=f(B).§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量例1.若先将n阶矩阵A的第i行第j行对换，再将第i列第j列对换得到矩阵B，证明:A与B相似.AP(i,j)AP(i,j)AP(i,j)=B注意：P(i,j)-1=P(i,j)§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.2.设n阶方阵A与B相似,则有相同的特征多项式.(从而有相同的特征值,迹和行列式.)事实上,设P–1AP=B,则

|E–A|=|P–1|·|P|·|E–A|=|P–1|·|E–A|·|P|=|P–1(E–A)P|=|E–B|.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量注:特征多项式相同的矩阵未必相似.例如A=1011,B=1001,它们的特征多项式都是(1)2.但是若有P

–1AP=B,则A=PBP

–1=E.矛盾!§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量问题1

若A和B都相似于同一个对角阵A~B

§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量问题2

若A相似于对角阵diag(1-11),则

A2=E.问题3

若A相似于对角阵diag(111),则

A=E.计算An.如果存在可逆矩阵P使得

A=PDP-1，D是对角阵，则

An=(PDP-1)n=PDP-1PDP-1...PDP-1=PDnP-1本章的任务§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量二.方阵与对角矩阵相似的充要条件P=(p1,p2,…,pn),D=diag(d1,d2,…,dn)A=PDP-1AP=PDA(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn

)d1

d2dn…=(d1p1,d2p2,…,dnpn)Api=dipi,i=1,2,…,n.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.3.n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.从定理5.3的证明中可看出，如果A相似于对角矩阵那么任意调整的主对角元素(即A的特征值)，所得新的对角矩阵与A也是相似的.1

0002000n=§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.4.假设η1,η2,,ηs是n阶方阵A的属于不同特征值1,

2,

,s的特征向量,则η1,η2,,ηs

线性无关.推论5.4.若n阶方阵A有n个互不相同的特征值,

则A与对角矩阵相似.注：推论5.4的逆命题不成立！§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.5.假设值1,

2,

,s(s≤n)是n阶方阵A的互不相同的特征值,ηi1,ηi2,,ηi

是A相应于特征值

i的线性无关的特征向量,则

η11,η12,,η1,

η21,η22,,η2,

,

ηs1,ηs2,,ηs

线性无关.titst2t1对应1对应2对应s注：特征值i对应的线性无关特征向量的最大个数是ti

=nr(A-iE).

称之为i的几何重数.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量定理5.6.n阶方阵A与对角矩阵相似

A的每个ki重特征值i有ki个线性无关的特征向量,i=1,2,…,s.特征值的重数k称为的代数重数定理5.6’.n阶方阵A与对角矩阵相似

A的每个特征值的代数重数等于几何重数.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量三.方阵的相似对角化对于n阶方阵A,求可逆矩阵P,使P–1AP为对角矩阵的这件事称为矩阵A的相似对角化.步骤如下：§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量求|E–A|=0的根有重根吗?无A可以相似对角化有代数重数=几何重数?否Jordan化A不能相似对角化是求n个线性无关的特征向量p1,…,pn,令P=[p1,…,pn]P–1AP=diag[1,…,n]§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量例2.A=100243分析：A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，并求对角矩阵及相应的相似变换矩阵.4-34.求A100.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量=P1APA=PP1

A100=P100P1

例2.A=1002434-34.求A100.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量解:|E–A|=(–1)(–5)(+5).

所以A的特征值为1=1,2=5,3=-5.

对于1=1,

000-2-4-2-44-4(E–A)=0000-60200对应于1=1的特征向量:p1=(1,0,0)T.例2.A=1002434-34.求A100.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量解:|E–A|=(–1)(–5)(+5).

所以A的特征值为1=1,2=5,3=-5.

对于2=5,

400-2-42-48-4(5E–A)=200-1-10-220对应于2=5的特征向量:p2=(2,1,2)T.200-2-10020例2.A=1002434-34.求A100.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量解:|E–A|=(–1)(–5)(+5).

所以A的特征值为1=1,2=5,3=-5.

对于3=-5,

-600-2-4-8-4-2-4(-5E–A)=300-320010对应于3=-5的特征向量:p3=(-1,2,-1)T.例2.A=1002434-34.求A100.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量解:对应于3=-5的特征向量:p3=(-1,2,-1)T.对应于1=1的特征向量:p1=(1,0,0)T.对应于2=5的特征向量:p2=(2,1,2)T.令P=[p1

p2

p3]=100-12-1212=10000-5050,则成立P-1AP=.例3.A=-123022问：x,y取何值时A与B相似？0x

1

,B=00000y030§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量分析：A与B相似tr(A)=tr(B),|A|=|B|x,y的取值验证A与B确实相似例4.假设2是矩阵A=1x-31y5-14-3的二重特征值,若A相似于对角矩阵，求x,y及可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量分析：A相似于对角矩阵2是二重特征值3-r(2E-A)=2求x,y特征值之和等于tr(A)另一个特征值例4.假设2是矩阵A=1x-31y5-14-3的二重特征值,若A相似于对角矩阵，求x,y及可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵.§5.2相似矩阵第5章特征值与特征向量解：1-x

3-1-y

-31-23(2E–A)=3