2023年新高考一轮复习讲义第35讲 等差数列及其前n项和含答案

试卷第=page77页，共=sectionpages77页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2023年新高考一轮复习讲义第35讲等差数列及其前n项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（

）A．10 B．11 C．12 D．132．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（

）A． B．-1 C．1 D．3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒4．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（

）A．9 B．8 C．7 D．66．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.97．（2022·重庆·二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（

）A．3 B．6 C．9 D．128．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．9．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（

）A．351 B．353 C．531 D．53310．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（

）A． B．C． D．11．（多选）（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则12．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．13．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则___________.a1a2a3a4a5a6a7……14．（2022·辽宁·抚顺一中模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则______，______．15．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺16．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．17．（2022·广东·模拟预测）已知和均为等差数列，若，则的值是__________.18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．19．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．20．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，且__________．(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和为，求证：．【素养提升】1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（

）A．依次可组成等差数列 B．依次可组成等差数列C．依次可组成等差数列 D．依次可组成等差数列2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且3．（多选）（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（）A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为4．（多选）（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列的前n项和（a为常数），则________；设函数且，则__________.试卷第=page2828页，共=sectionpages2121页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第35讲等差数列及其前n项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根据等差数列的通项的性质和前项和公式求解.【详解】因为，又，所以，所以，故选：B．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（

）A． B．-1 C．1 D．【答案】C【分析】利用等差中项，及等差数列前n项和的性质即可求解.【详解】解：在等差数列中，，，故，又，故，则，故.故选：C.3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（

）A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒【答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列，结合等差数列的前项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列，则是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有，解得．故选：D.4．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式，求得，结合等差数列的性质，化简得到，即可求解.【详解】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，则.故选：C.5．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根据等差数列的前项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为，又，所以，所以，即，设等差数列的公差为，则，所以，又，所以，所以．故选：C.6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【答案】D【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D7．（2022·重庆·二模）等差数列的公差为2，前项和为，若，则的最大值为（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前项和公式和一元二次函数求其最值.【详解】设等差数列的首项为，因为，且，所以，解得，则，即取最大值为9.故选：C.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列的公差分别为和,即,即①,即②由①②解得故选：C9．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列满足，，，数列的前n项和为，则（

）A．351 B．353 C．531 D．533【答案】B【分析】根据题意讨论的奇偶，当为奇数时，可得，按等差数列理解处理，当为偶数时，可得，按并项求和理解出来，则按奇偶分组求和分别理解处理．【详解】依题意，，显然，当n为奇数时有，即有，，…，，令，故，所以数列是首项为1，公差为3的等差数列，故；当n为偶数时有，即，，…，，于是，，故选：B．10．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】由条件可得当为奇数时，；当为偶数时，，然后可逐一判断.【详解】因为，所以当为奇数时，；当为偶数时，.所以，选项错误；又因为，所以，选项B正确；故C正确，选项D正确.故选：BCD11．（多选）（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列是等差数列，下列结论中不恒成立的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则对于A，由数列是等差数列及，所以可取，所以不成立，故A正确；对于B，由数列是等差数列，所以，所以恒成立，故B不正确；对于C,由数列是等差数列，可取，所以不成立，故C正确；对于D，由数列是等差数列，得，无论为何值，均有所以若，则恒不成立，故D正确.故选：ACD.12．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．【答案】4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为，则，解得：，所以故答案为：413．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n行共有个数，若，且该数阵中第5行第6列的数为42，则___________.a1a2a3a4a5a6a7……【答案】【分析】利用等比数列前项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.【详解】解：设公差为，因为该数阵第n行共有个数，则前4行共有个数，所以第5行第6列数为，则，所以．故答案为：．14．（2022·辽宁·抚顺一中模拟预测）已知等差数列的前n项和为，若，则______，______．【答案】

0

0【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得，代入即可求出，根据等差数列的通项公式和求和公式，即可求出答案.【详解】等差数列中，，所以，即，所以，故答案为：①0；②0.15．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺【答案】60【分析】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，所以夏至到立冬的日晷长的和可以用等差数列求和公式得到.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，设冬至日晷长13.5尺为，则芒种日晷长2.5尺为，所以，所以夏至日晷长为1.5尺，记夏至日晷长1.5尺为，小暑为，大暑为，……，立冬为则.故答案为：60.16．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．【答案】【分析】由等差数列的通项公式得，再代入求和公式可求得答案.【详解】解：设等差数列的公差为d，因为，，，则，故答案为：．17．（2022·广东·模拟预测）已知和均为等差数列，若，则的值是__________.【答案】6【分析】利用等差数列的性质计算即可得解.【详解】解：因为和均为等差数列，所以，所以，即，所以.故答案为：6.18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第___项．【答案】10【分析】根据题意判断等差数列{}的，，，由此可判断数列的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：，∴，，∴，，∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于，∴{||}最小的项是第10项，故答案为：1019．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列的前n项和为，，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【解】(1)由题意得：由题意知，则又，所以是公差为2的等差数列，则；(2)由题知则20．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在“①，，；②，；③”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．已知等差数列的前n项和为，且__________．(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和为，求证：．【解】(1)若选择①，因为，，，，解得，，设公差为d，则有，，解得，，所以．若选择②，设公差为d，，即，结合，解得，，所以．若选择③，当时，；当时，，当时亦满足上式，所以．(2)证明：由（1）得，所以，因为，（），所以，所以．【素养提升】1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（

）A．依次可组成等差数列 B．依次可组成等差数列C．依次可组成等差数列 D．依次可组成等差数列【答案】B【分析】取，即可判断A；利用反证法，假设依次可组成等差数列，则有，，两式相加，整理即可判断B；取，从而可判断CD.【详解】解：对于A，当时，此时依次组成严格递增的等差数列，则依次组成等差数列，故A正确；对于B，假设依次可组成等差数列，则有，又因，两式平方相加得，则，故，所以，所以，与题意矛盾，所以依次不可能组成等差数列，故B错误；对于C，当时，若，则为等差数列，故C正确；对于D，当时，若，则为等差数列，故D正确.故选：B.2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】C【分析】根据题意构造函数，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据的关系即可确定答案.【详解】设函数，则为奇函数，且，所以在R上递减，由已知可得，，有，，所以，且，所以，且，所以，.故选：C.3．（多选）（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列说法正确的是（）A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则C．若为等差数列，则 D．若，则也为等差数列，且公差为【答案】ABD【分析】对于A，利用化简可得答案；对于B，利用化简可得答案；对于C，利用化简可得答案；对于D，根据可得答案.【详解】对于A，因为为等差数列，所以，即，所以，化简得，所以，故A正确；对于B，因为为等差数列，所以，所以，所以，故B正确；对于C，因为为等差数列，所以，所以，化简得，所以或，故C不正确；对于D，因为，且，所以，所以，所以，所以也为等差数列，且公差为，故D正确.故选：ABD4．（多选）（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且.记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为.则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由图观察可知第圈的个点对应的这项的和为0，则，同时第圈的最后一个点对应坐标为，设在第圈，则圈共有个数，可判断前圈共有个数，所在点的坐标为，向前推导，则可判断A，B选项；当时，所在点的坐标为，即可判断C选项；借助与图可知，即项之和，对应点的坐标为，，…，，即可求解判断D选项.【详解】由题，第一圈从点到点共8个点，由对称性可知；第二圈从点到点共16个点，由对称性可知，即，以此类推，可得第圈的个点对应的这项的和为0，即，设在第圈，则，由此可知前圈共有个数，故，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故A正确；，故B正确；所在点的坐标为，则，所在点的坐标为，则，故C错误；，对应点的坐标为，，…，，所以，故D正确.故选：ABD5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列中，，，，则_______；的前2022项和为_______．【答案】

3

1023133【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可.【详解】由，得，又，所以，，，，，，，，，，，，，；因为，所以，明显可见，规律如下：，成各项为1的常数数列，其和为，，成首项为2，公差为的等差数列，其和为，，成各项为0的成常数数列，其和为，，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为，故.故答案为：①3；②1023133.6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列的前n项和（a为常数），则________；设函数且，则__________.【答案】

2；

【分析】根据数列前n项和与第n项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】当时，，当时，显然成立，因为当时，，数列为等差数列，且公差，所以.又因为.令，因为，所以为奇函数，因为，所以在R上单调递增.由题意得，因为数列是公差不为0的等差数列，其中，则，假设，.因为所以.假设，同理可得，综上，.故答案为：2；试卷第=page3535页，共=sectionpages77页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第36讲等比数列及其前n项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．42．（2022·山东·模拟预测）已知等比数列满足：，，则的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．3．（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．864．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．35．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．5127．（2022·山东菏泽·一模）已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（

）A．36 B．35 C．34 D．338．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则9．（2022·江苏南通·模拟预测）设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（

）A． B．1 C． D．210．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，其前项和为，且，则数列的前项和为（

）A． B．C． D．11．（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列12．（多选）（2022·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.15．（2022·江苏徐州·模拟预测）设各项均为正数的数列的前n项和为，写出一个满足的通项公式：_________．16．（2022·湖北·模拟预测）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为__________.17．（2022·山东聊城·三模）某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）18．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．19．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．20．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【素养提升】1．（2022·河北秦皇岛·三模）北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（

）（参考数据，）A． B． C． D．2．（2022·湖南·模拟预测）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（

）A． B． C． D．3．（多选）（2022·湖南·雅礼中学二模）著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（

）A． B．C． D．4．（多选）（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（

）A．数列的最大项为 B．数列的最小项为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列5．（2022·江苏南京·模拟预测）若等比数列满足，，则的最大值为____．6．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：①的第2项小于3；

②为等比数列；③为递减数列；

④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号是__________．7．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k的值__________.8．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知是公差为3的等差数列，是公比为2的等比数列，且.(1)求和的通项公式(2)若数列满足对于任意的，且.①求的通项公式；②数列满足，求.试卷第=page11页，共=sectionpages33页第36讲等比数列及其前n项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.【详解】设的公比为q，则，解得，所以，故选：C．2．（2022·山东·模拟预测）已知等比数列满足：，，则的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．【答案】B【分析】利用等比数列的性质可得：，对进行化简后求值即可.【详解】在等比数列中，由等比数列的性质可得：.所以．故选：B3．（2022·山东日照·三模）在公差不为0的等差数列中，成公比为3的等比数列，则（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【分析】根据题意求得，得到，再由等差数列的通项公式，求得，列出方程，即可求解.【详解】因为成公比为3的等比数列，可得，所以又因为数列为等差数列，所以公差，所以，所以，解得.故选：C.4．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.5．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设等比数列的首项为，公比为q，则“，且”是“对于任意都有”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质分析判断即可【详解】若，且，则，所以，反之，若，则，所以，且或，且，所以“，且”是“对于任意，都有”的充分不必要条件.故选：A6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可.【详解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.故选：A.7．（2022·山东菏泽·一模）已知等比数列各项均为正数，且满足：，，记，则使得的最小正数n为（

）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知条件判断出的取值范围，即可判断使得的最小正数n的数值.【详解】由得：，.，又，，，，则使得的最小正数n为35.故选：B.8．（2022·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【分析】A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.【详解】A选择中，由即，解得B选项中，C选项中，由，，D选项中，故选：B9．（2022·江苏南通·模拟预测）设数列，均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为，若，则＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据给定等式，可得，再求出数列，的公比即可计算作答.【详解】由得，，设{}的公比为，{}的公比为，当时，，即，当时，，即，联立两式解得，此时，，则，，所以.故选：C10．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列满足，其前项和为，且，则数列的前项和为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据与的关系可知数列从2项开始是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得，则均小于0，均大于0.结合等比数列前项和公式计算即可.【详解】由①，得，解得，当时，②，由①②，得，则，两式相减，得，即，又不符合上式，所以数列从2项开始是以为首项，3为公比的等比数列，则，所以.得，，所以均小于0，均大于0.所以当时，数列的前项和为.故选：A.11．（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）若数列是等比数列，则（

）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C．数列是等比数列 D．数列是等比数列【答案】AD【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的定义结合特例法可判断各选项的正误.【详解】设等比数列的公比为，，则是以为公比的等比数列，A对；时，，则不是等比数列，B错；，时，，此时不是等比数列，C错；，所以，是公比为的等比数列，D对.故选：AD．12．（多选）（2022·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（

）A．是等比数列 B．是等比数列C． D．【答案】BC【分析】由条件变形，先求的通项公式，再判断选项【详解】由题意得，故是首项为2，公比为2的等比数列，，则．故B，C正确，A错误,,两式相减得：，故D错误．故选：BC13．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．【答案】【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】由已知条件得，解得，∴；故答案为：.14．（2022·福建省福州第一中学三模）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.【答案】5【分析】根据，求得公比，再由求解.【详解】解：在等比数列中，，，所以，解得，又，即，解得，故答案为：515．（2022·江苏徐州·模拟预测）设各项均为正数的数列的前n项和为，写出一个满足的通项公式：_________．【答案】（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需填写符合要求的答案即可，不妨令，根据等比数列求和公式代入验证即可；【详解】解：当时，，，∴满足条件．故答案为：（答案不唯一）16．（2022·湖北·模拟预测）已知为等比数列，且，，，为其前项之积，若，则的最小值为__________.【答案】4【分析】求出的通项，再求出，从而可求的解的最小值.【详解】设等比数列的公比为，则，而，故，故，所以即，故，故，由可得即，所以，因为，且当时，，故使得成立的最小值为4，故答案为：4.17．（2022·山东聊城·三模）某牧场2022年年初牛的存栏数为1200，计划以后每年存栏数的增长率为20%，且在每年年底卖出100头牛，按照该计划预计______年初的存栏量首次超过8900头.（参考数据：，）【答案】2036【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立相邻两年的关系，用待定系数法构造等比数列，求出通项公式即可求解.【详解】设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…，，…，其中，由题意得，并且，设，则，则0.2x＝100，则x＝500，∴，即数列{}是首项为，公比为1.2的等比数列，则，则，令，则，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存栏数首次突破8900，故答案为：203618．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知等比数列{}各项均为正数，，、为方程(m为常数)的两根，数列{}的前n项和为，且，求数列的前2022项和为_________．【答案】【分析】首先根据条件求得等比数列{}的前n项和为，代入中可看出可以通过裂项相消法求和．【详解】等比数列{}中、为方程的两根，设数列{}的公比为，则，且又，所以，所以∴∴∴数列的前2022项和，故答案为：.19．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．（1）解：因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）解：由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时．20．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【解】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．【素养提升】1．（2022·河北秦皇岛·三模）北京年冬奥会开幕式用“一朵雨花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（

）（参考数据，）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知“次分形”后线段的长度为，可得出关于的不等式，解出的取值范围即可得解.【详解】图1的线段长度为，图2的线段长度为，图3的线段长度为，，“次分形”后线段的长度为，所以要得到一个长度不小于的分形图，只需满足，则，即，解得，所以至少需要次分形．故选：C.2．（2022·湖南·模拟预测）在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解