2018年高三最新 高三排列、组合和概率 精品

本章知识总结一、两个基本原理（一）本章知识总结一、两个基本原理（一）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m种不同1的方法，在第2类办法中有m种不同的方法……在第n类办法中有m2n种不同的方法，那么完成这件事共有N二m+m+……+m种不同12n的方法。（二）分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同1的方法，做第2步有m种不同的方法……做第n步有m种不同的方法，那么

2n完成这件事共有N二mxmx……xm种不同的方法。12n分类计数原理和分步计数原理使用方法：（1）单独使用；（2）联合使用（一般的解题步骤是：整体上先分类，局部上再考虑分步或再次分排列、组合和概率类）。例题精讲：例1：书架共有三层，上层有6本不同的数学书，中层有5本不同的物理书，下层有4本不同的生物书。1）从中任取一本书，有多少种不同的取法？2）从中任取数、理、生各一本书，有多少种不同的取法？（3）若从中选出两本不同学科的书，有多少种不同的取法？解：（1）完成的事是取一本书，无论是数学、物理、生物均完成，从而应用分类计数原理，其结果是：6+5+4=15种。（2）完成的事是取3本不同的书，只有从数学、物理、生物都各取1本后，才完成这件事，因此应用分类计数原理，其结果是：6x5x4二120种。（3）“从中选出两本不同学科的书”。既分类又分步：取1本数学书和1本物理书用分步计数原理，有6x5二30种取法；同理，取1本数学书和1本生物书有6x4二24种取法；取1本物理书和1本生物书有5x4二20种取法。应用分类计数原理，共有30+24+20=74种取法。二、排列（一）定义：排列是分步计数原理的特殊情况，即从n个不同的元素中每次取一个元素，分m步，共取m个元素（有顺序），因此取法共有nx（n-1）x（n-2）xx（n-m+1）种，这就是排列数公式Am。n（二）排列数公式：Am=—————=nx（n一1）x（n一2）xx（n一m+1）n（n-m）!（n,meN*,m<n）（三）全排列数公式：An=n!=nx（n-1）x（n-2）x……x3x2x1n四）记住下列n个阶乘数：0！=1，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5!二120,6!二720。三、组合组合与排列的区别：在于组合是不计顺序的，而排列可以看作先组合后作全排列，因此那么组合数为6上利用这一思路，求nnmnm组合就是求排列的一部分。(二)组合数公式:nl72X(72-1)X(72-2)XX(72-m+1)(二)组合数公式:Cm=—nml(n-m)lmx(m-1)x(m-2)xx2x1(三)组合数的性质(1)Cm(1)Cmn(2)Cr-l+Cr=Crnnn+1四、解排列、组合题的基本策略与常用方法元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素。位置分析法：先考虑特殊位置要求，再考虑其他位置插入法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。“捆绑”法：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。排除法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数。分类法：把各种可能发生的情况全部列举，并把所有可能的结果进行求和。注意既不能重复，也不能遗漏。例题精讲：例2：三个女生和五个男生排成一排如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有出种不同排法。6对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有A3种不同的排法，因此共有3A6-A3=4320种不同的排法。63(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有A5-A3=14400种不同的排法。56（3）解法一（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2人，有念种不同的排法对于其中的任意一种排法，其余6位5都有A6种排法，因此共有A2-A6=14400种不同的排法。656解法二（元素分析法）从中间6个位置中挑出3个来让3个女生排入，有加6种不同的排法，对于其中任意一种排法，其余5个位置又都有出种不同的5排法，因此共有A3-A5=14400种不同的排法。TOC\o"1-5"\h\z65（4）解法一（分类法）因为只要求两端不都能排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有Ai-Av种不同的排57法：如果首位是女生，有如种排法，这时末位就只能排男生，共有A1-A1-A63356种不同的排法，所以共有Ai-Av+Ai-Ai-A6=36000种不同的排法。57356解法二（排除法）3个女生和5个男生排成一排共有加种排法，从8中扣去两端都是女生的排法人2-A6,就能得到两端不都是女生的排法种数，36因此共有As-A2-A6=36000种不同的排法。836五、二项式定理（一）二项展开式：（Q+b）n=Coan+++Cran-rbr++Cn-labn-i+C4（FlGN*）nnnnn（二）通项：T=Cran-rbr（0<f<Zl）r+1n（三）正确理解二项式展开式中的第r+1项，第r+1项的二项式系数，第r+1项的系数之间的差别.（四）二项系数的性质问题：求二项式系数最大的项，可直接根据二项式系数的增减性与最大值性质，当为n奇数时，中间两项的二项式系数最大;当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.若求系数最大的项，则要根据各项系数的正、负变化情况并采用列不等式组、比较系数法求解.（五）赋值法在二项展开式中的运用赋值法的模式是：对任意的xWA,某式子恒成立，那么对A中的特殊值，该式子一定成立.特殊值如何选取？视具体问题而定，没有一成不变的规律，它的灵活性较强，一般xQ=0,1,—1取较多.一般地，多项式/（X）二（1+X）n=Co'X0+Cl-X1+C2-X2++Cr•++C—X"的各项nnnnn系数和为f（l）,奇次项系数和为2,偶次项系数和为-[/W+A-1）]^如二项式系数性质镖+觉+/+及镖…+戌+诗+—=沪的证明就是赋值法在二项展开式中运用的典范.六、概率（一）注意区分随机事件、必然事件、不可能事件。（二）随机事件的概率：在大量重复进行同一实验时，事件A发生的概率是注意：(l)n代表一次实验中可能出现的结果的总数，m代表事件A中所含的结果数；(2)0<P(A)<1,特别地必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0。互斥事件有一个发生的概率不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。当A,B是互斥事件时，P(A+B)=P(A)+P(B)o其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件。当A,B是对立事件时，P(B)二1-P(A)o相互独立事件同时发生的概率如果一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，那么这两个事件叫做相互独立事件。当A,B是相互独立事件时，P(AxB)=P(A)xP(B)如果事件在一次实验中发生的概率是P,那么它在次独立重复实验中恰好发生瓦次的概率P(k)=CkPk(l-P)n-k,实际nn上，它就是二项展开式I(1-P)+p1的第(k+1)项。排列、组合和概率练习题(2)3个班分别从5个风景点中选择1处游览，不同的选法有种。3、(1)由数字1、2、3、4、5可以组成个没有重复数字的正整数；可以组成个没有重复，并比13000大的正整数。4、学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序。除第1个节目和最后的1个节目已确定外，音乐节目要求排在第2、5、7、10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3、6、9的位置，2个曲艺节目要求排在第4、8的位置，共有种不同的排法。5、从数集M=£,2,3）到数集N=£,2,3,4｝的不同的映射的个数是O6、有两条平行线Q和b,直线Q上有4个点，直线b上有5个点，现在要以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有8、某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个。准备在7月1日至7月5日中每天播出一个。若新闻报道不小于3个，则不同的播出方法共有种o9、某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01号至10中选出3个连续的号，从11号至20中选出2个连续的号，从21号至30中选出1个号，从31号至36中选出1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花yu010、为宣传党的十六大会议的精神，一文艺团下基层进行宣传演出，准备的节目表中原有4个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添加2个小品节目，则不同的排列方法有种。11、四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个是空盒的放法有种o12、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的。”从这个回答分析，5人的名次排列共有种不同的情况。13、马路上有10盏路灯，为了节约用电而又不影响照明，可以将其中三盏TOC\o"1-5"\h\z路灯熄掉，但不能同时熄掉相邻的两盏或三盏路灯，而满足条件的熄灯方法有种o14、从5名男生和4名女生中选出3人，分别承担三项不同的工作，那么3人中既有男生又有女生的概率是o15、有一批蚕豆种子，如果每一粒种子发芽的概率为0.9,那么播下15粒种子恰有14粒种子发芽的概率是o16、甲、乙两球队实力相当，在5局3胜制比赛当中，打完4局甲队才取胜的概率是o17、打靶时，甲每打10次可以中靶8次，乙每打10次可以中靶7次，丙每打10次可以中靶6次，若三人同时射击一个目标，则能中靶的概TOC\o"1-5"\h\z率是o18、在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每三个点可以构成一三角形，如果随即选择三个点，刚好构成直角三角形的概率是o19、某数量较大的产品的次品率是10%,从中任意的连续取出4件，则至少含有3件次品的概率是o20、两个大学生一起到一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试的时候说：“我们公司要从参加面试的人中招3人，你们两个同时被招聘进来的概率是丄。”根据他的话可推断去公司面试的人有100个。21、在随机组成的50个人的一个班级中，至少有两人的生日相同的概率是22、某人有一串8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门，一次该人醉酒回家每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加计号放TOC\o"1-5"\h\z回，则该人第三次打开家门的概率是o23、C0+C1+C2+C3++6=o23451024、若(3x-lX(neA^)展开式中各项系数的和为128,则展开式中兀2项的系数是。25、(l+X+X2)(l-X)10的展开式中工4项的系数是o(1\n26、在3x2—丄的展开式中含有常数项，则正整数〃的最小值是oV2x3)(1\n27、设二项式3#匚+丄的展开式的各项系数的和为P,所有二项式系数Ix丿的和为S。若有P+S=212,则"等于o28、在(1+x)"("为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为P,偶数项的和为Q,则X2)的值为O,(1\29、求证：2<1+-<3(ne2V,n>2)In)30