立体几何教学建议

立体几何授课建议密云二中王德臣一、课时安排（共约45课时）第一节平面3课时第二节空间直线5课时第三节直线与直线平行的判断与性质3课时第四节直线与直线垂直的判断与性质4课时第五节两个平面平行的判断与性质3课时第六节两个平面垂直的判断与性质3课时第7节棱柱4课时第8节棱锥4课时研究性学习欧拉定理2（3）课时第9节球4课时小结与复习3课时空间向量法及其应用7课时其中空间直角坐标系、向量的加法、减法、向量的平行于垂直的坐标运算、向量的內积、a在b上的投影等约1课时。直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行约2课时异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角约2课时异面直线间的距离、点到直线的距离、直线与平面的距离约2课时。二、立体几何要点解决两个方面的问题：1、线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的平行与垂直关系的判断与证明。2、空间角（包括异面直线，直线与平面、平面与平面）所成的角与距离（点到线、点到面、两条异面直线，直线与平面间、两个平行平面、球面上两点）间的距离胸怀。密云二中王德臣第1页共9页三、学习立体几何的难点（授课过程中注意培养）1、在平面内怎样表示空间图形（绘图、空间想象）2、数学语言丰富（文字、图形、符号语言间的变换）3、逻辑关系（正确、合适地表述定理）4、证明方法众多（直接法、反证法、解析法、同一法、等价转变）四、知识梳理平行公义线面平行性质定理线线平行线面垂直性质定理面面平行质定理平行关系线面平行判判断理线面平行面面平行质定理面面平行的判判断理面面平行同垂直一条直线的两个平面平行地点关系定义三垂线定理(异面直线垂直）线线垂直三垂线定理的逆定理线面垂直的性质定理定义垂直关系线面垂直的判判断理线面垂直线面垂直的判判断理面面垂直的性质定理定义面面垂直面面垂直的判判断理密云二中王德臣第2页共9页线线角角线面角面面角胸怀关系点线距线线距距离点面距线面距面面距五、授课建议：1、定义（或看法）、定理、公义、法例等，要修业生要正确表达出来，分清它们的条件与结论，能娴熟地用符号语言表述，并能画出正确的图形。对课本上一些重要题目也要修业生能用文字语言表述清楚，用数学符号语言表示正确，画出立体感比较显然的几何图。例：直线与平面平行的性质定理（图形、文字表达、数学符号表示）2、精讲多练，一题多解。例：已知矩形ABCD所在的平面外一点P,PA平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点，求证：EF//平面PAD解法一：取PD的中点G,连结FG,AG则四边形PAEFG是平行四边形，所以EF//AG,进而结论得证解法二：经过结构含EF的平面与平面PAD平行。再利用面面平行的性质定理证得。F解法三：利用空间向量的方法，找平面PADAD的法向量（AB），再证ABEFE解法四：利用空间向量的方法，证EFAPADBC再说明点E（或直线EF）在平面PAD外即可证得。3、在解题的过程中，注意思虑总结。对各样角、距离的定义与解题过程要仔细总结概括。1）求异面直线所成的角主要方法：依据其定义，可概括为“选点——作平行线——解三角形”。一般用“三点定面法”即在异面的两线段的4个端点中，适入选其中三点确定平面，此后在其确定的平面上先考虑能否平移其中一条线段与另一条订交，假如不可以，则可以考虑另两种做法：（Ⅰ）找线段中点或图形上的特别点，来作两异面直线的中位线或其他平行线；（Ⅱ）经过补形来达到平移其中一条直线与另一条直线订交。自然选点原则是所获取的三角形好解，如直角三角形等。②采用向量代数法，已知基向量的模长和夹角。③采用向量坐标法，成立空间直角坐标系，分别求出两异面直线上的密云二中王德臣第3页共9页方向向量的坐标；此后用数量积公式求出其夹角的余弦值。例；如图，M、N分别是棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中点．(1)求异面直线MN与CD'所成的角．（600）(2)求直线MN与平面'‘所成的角。DBC(2)求二面角常用以下方法：先判断能否可能为直二面角（要证明），其次可用以下方法：①定义法：在二面角棱上取一点分别向两个半平面作垂直于棱的射线.由于棱上选点的随意性对下一步计算不利,所以我们常先在一面内选一特别点作棱的垂线交棱于一点。再过这一点在另一面作垂直于棱的射线，进而获取二面角的平面角。再解三角形。三垂线定理法：过一平面内一点分别作棱的垂线和另一面的垂线，连结两个垂足，可得二面角的平面角。再解直角三角形。以上方法是已知了二面角的棱，可概括为“选点一—作平面角—一证明——解三角形”。求解时，先要解析能否为直角三角形。③向量代数法：成立合适的空间直角坐标系，分别取这两个平面的法向量n1,n2，依据条件分别取n1,n2一组详细坐标，再用公式cosθn1n2求出θ，这里有一个难点是判断向量的方向，进而确|n1||n2|定二面角的大小为θ仍是πθ。1的侧棱长和底例1、如图，已知正三棱柱ABC-A11CB面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N.（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。解法1：（Ⅰ）由于M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMCC1,所以AM面BCC1B1，进而AMB1M,AMNM，所以B1MN为二面角，B1—AM—N的平面角。又B1M=B1B2BM2115,MN=MC2CN2145,42496密云二中王德臣第4页共9页连B1N，得B1N＝B1C12C1N21110，在B1MN中，由余弦定理93B1M2MN2B1N2525105。得cosB1MN43692B1MMN255526故所求二面角B1—AM—N的平面角的余弦值为5。5（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1HMN，H为垂足。又AM平面BCC1B1，所以AMB1H。于是B1H平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离。在R1B1HM中，B1H＝B1MsinB1MH511。故215点B1到平面AMN的距离为1。解法2：（Ⅰ）成立以下列图的空间直角坐标系，则B1（0，0，1），M0，1，0）,2C(0,1,0),N(0,1,2),A(3,1,0)，所以，322AM(3,0,0)，MB1(0,1,1),MN(0,1,2)。2223由于MB1AM300(1)010所以1AM,同法可得22MBMNAM。故﹤MB1,MN﹥为二面角B1—AM—N的平面角MB1MN55∴cos﹤MB,MN﹥＝12.MB1MN55526故所求二面角B1—AM—N的平面角的余弦值为5。（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN5的一个法向量，则由nAM,nMN得3x0x0324故可取n(0,12yz,1)34yz023MB1n525。设MB1与n的夹角为a，则cosa3MB1n55323密云二中王德臣第5页共9页525所以B1到平面AMN的距离为MB1cosa125其他，假如没有给出二面角的棱，可将图形中的某些线段或平面延伸，延拓或平移获取二面角棱。或将原几何体补成（或平移）特别几何体，使之出现二面角的棱。例：正三棱柱中，侧棱AA'=2AB求平面AB'E与平面A'B'C'所成的锐二面角的大小。例：正四棱锥M-ABCD中，MA=AB，求平面MAC与平面MBD所成的锐二面角的大小。ACBMEBDC'A'ACB'(3)求点到面的距离有四种方法：①依据定义，直接作垂线，找垂线段；A②转变成线面距离或面面距离；③三棱锥等积法；④向量代数法：如图，点A到平面的距离是|AO|，BO则向量BA在直线OA方向上的投影是OABAn则有|OA||BA|cosBA,OA。|n|2．重视提高学生的空间想象能力，培养学生识图、绘图和对图形的理解能力。打破绘图、读图、识图、用图的道道难关。(1)加强绘图能力的培养：要修业生掌握基本图形的画法；如异面直线的几种画法、二面角的几种画法等等；对线面的地点关系，所成的角，所有的定理、公义都要画出其图形，而且要画出拥有较强的立体感，除此之外，还让学生意会到用语言表达的图形，画哪一个面在水平面上，产生的视觉完好不同样，经常从一个方向上看不清的图形，从其他密云二中王德臣第6页共9页的方向上可能如数家珍。2）加强识图能力的培养：对峙体几何题，既要由复杂的几何图形体看出基本图形，如点、线、面的地点关系；又要从点、线、面的地点关系想到复杂的几何图形，既要看到所画出的图形，又要想到未画出的部分。能实现这一些，可使有些问题一眼看破。例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；Ⅱ）求二面角AA1DB的大小；ACB（Ⅲ）求点C到平面CABAA1BD的距离．A1DDC1CC1B1DA1B1C1A1BB13.加强审题能力的培养。一般地方法是：已知条件------性质定理-----判判断理----性质或由数量关系-----地点关系应重视让学生掌握解题方法中的通法公则，特别是类比及化归思想，向量代数法。在授课时，让学生不只理解而且能娴熟应用。如线面和面面关系的转变；三棱锥等积法要娴熟掌握；面面平行转变成线面平行，可再转变成线线平行来办理。再如，点到面距离，可转变成线到面距离，又可转变成面面距离；证明两线平行，可转变成两直线同时垂直于一个平面的证明。又如求二面角的向量代数法、三垂线定理法，求点到面的距离的向量代数法和等体积法等这些都是立体几何中的通法；5．引导学生多积累。如（1）注意平面几何和立体几何看法的差别与联系，如：空间的垂直未必订交；正棱锥不只需底面是正多边形形，且极点在底面上的射影是底面多边形的中心；三棱锥极点在底面上的射影是底面三角形的外心、心里、垂心的条件各是什么等问题。（2）记着一些特别图形的线面关系和相关量。如：正方体中对角线与侧面对角线异面时，它们互相垂直；正周围体相对棱互相垂直等等；6．严抓解题的表述与书写的规范性。在传统的逻辑推理方法中的基本步骤是：“一作图，二证明，三求解”；在用向量代数法时，必然依据密云二中王德臣第7页共9页“一建系，二求点的坐标，三求向量的坐标，四运用向量公式求解”；如在证明线面平行时，学生简单只证线与平面内一条直线平行就下结论，这里应重申诉明线在面外，三个条件缺一不可以；用空间向量解决问题时，需要用成立坐标系时，必然要讨情楚；用三垂线定理作二面角的平面角时，必然要点明斜线在平面上射影；书写解题过程的最后都必然写结题语。7.计算方法。解三角形、相关圆的计算，三棱锥的体积，向量的计算等。要抓住基本图形中的基本量，长方体的长、宽、高；正棱锥中的两个直角三角形的三条边、两个角；球内接长方体的对角线等于球的直径；球内接正周围体的棱长与球的直径的关系则可以经过相应的球内接正方体来作中间桥梁，即正周围体的棱长等于正方体的侧面对角线长；球与截面的问题可类比于圆与弦的问题。8.培养学生两种意识：特别化意识。很多线面关系的问题要特别注意它们的特别地点关系，在一些计算问题在一般地点（图形）和特别地点（图形）的答案是不变的，从特别中找寻快捷的解题思路。例、若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则cos=

63例、求棱长为a正周围体相对的两条棱间的距离。（2a）22）运动的看法。平移不改变角的大小，在立体几何中，所有角的求解都可做平行线（平移）来解决，这样我们可将不订交的线的夹角转变成订交线的夹角；直线不可以挪动，但其方向向量可以按需要随意平移。10、空间向量的应用。空间向量在立几中的应用，特别是用数量积求异面直线所成的角、斜线和平面所成的角、二面角的平面角；用向量在法向量上的投影求点到平面的距离，异面直线间的距离；确实表现了它的兴盛功能。但不可以否定，传统方法也有它的优越性，一旦空间的地点关系搞清楚了，计算量较小，正确率高。六、题型举例：例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；AA1（Ⅱ）求二面角AA1DB的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．CC1(ⅳ)求异面直线CC1与A1B的距离。DBB1密云二中王德臣第8页共9页六、考刚要求：（A版本）1、掌握平面的基本性质。会用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图。可以画出空间两条直线、直线和平面的各样地点关系的图形。可以依据图形想象它们的地点关系。2、掌握两条直线平行、垂直的判判断理和性质定理。掌握两条直线所成的角和距离的看法（对于异面直线的距离，只需求会计算已给出公垂线时的距离）。3、掌握直线和平面平行的判判断理和性质定理。掌握直线和平面垂直