5.2等差数列及其前n项和

**1**1等差数列前n项．等差数列的定义一般地如果一个数列从第二项每一项与它的前一项的差等于同一个常数么这个数列就叫做等差数列这常叫做等差数列的公差常用字母表示定表达式为－a＝(常数)nN，≥或a－a＝常)nN．nn．等差数列的通项式若等差数列{}首项为a公为d则其通项公式为a＝＋－亦可以用数列n1中的第项与差表示为＝a＋(－m)m．等差中项＋若三个数a，，成差数列，则A叫a与的等差中项，且有＝．等差数列的前n项和式＋S＝na＋＝n[探究]等数列前n项公式的推导运用了什么方？提示：序相加法．．等差数列前和公式能否看作关于n的数，该函数否有最值？提示：d≠0时，是关于的常数项为的次函数，(，)是二次函数图象n上的一群孤立的点，由此可得：当d>0时，有小值；当d<0，有大值．n．等差数列的性质已知数列{}等差数列，S是前和．nn(1)若m＝＋q，则a＋＝a＋a，别：若m＝2，则＋＝mmn(2)a，，a，，…仍是等差数，公差为kd.m2m3k(3)数列，－，－，…也是等差数列．mmm辽宁高考)等差数{}知a＋a＝16该列前11项＝)n11A58C．143

B．88D．176在等差数列有关计算问题中，结合整体思想活应用性质可以减少运算量，达到事半功倍的效.(1)(2013·西四校联)在等差数列{}a＋＋＝3＋a＋＝，则此n21820数列前20项和等于()AC．580提示：利用公式1

B．D．600-1-

1nnn11n11nnn11n1技巧利等差数列的性质妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为－d，，ad；选择等数列前n项和公式的选择等差数列前项公式有两个，如果已知项数、项和第项a，利用＝1na，该公式经常和等差数列的性质结合应用．如果已知项数n首项和差，1利用S＝＋，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合使用．n12结论等数列前n项和S的个结论n(1)若等差数列{}项为偶数2，则①＝n(＋)…＝n＋)n1nS②－＝nd＝S1(2)若等差数列{}项为奇数2＋1，①＝＋1)n2n

n

Sn＋；②＝.Sn(3)在等差数列{}<0满

的项数m使S取最值；n若a，d>0则满足

的项数m使取最小值.nm方法等数列的判断方法①定义法；②等差中项法；③通项公式法；④前n项公式法.数学思想—整体思想在数列中应用利用整体思想解数学问题就是从全局着眼由整体入手把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少数列题，其首项、公差无法确定或计算繁琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[典例](2013·城模拟设等差数列{}前项＝m项和S＝(m≠n)它nm的前的和＝mn[解析]法一：{}公差为dn则由＝m，S＝，n得

nS＝na＋d＝m，①mS＝ma＋＝.②m12②－①得(m－n＋d＝－，12mn∵≠，∴＋＝－12-2-

2*222212*22221∴＝mna＋mn12mn－1＝(＋n)＋d＝(＋n．法二：＝Ann

＋(∈

)，Bm＝n，③则Bn＝，④③－④得(m－n＋(－n)＝－.∵≠，∴A(＋)＋＝－∴(＋n＋(m＋n)＝－(mn)，即＝(＋n)．mn[答案]－m＋)[题后悟道]m＋n．本题的两种解法都突出了整体思想，其中法一把a＋看了一个整体1法二把A(n)＋B看了一个整体解起来都很方便．．整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求学生要掌握公式，理解其结构征．．本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，致错误．变式训练．设等差数{}前n项为S，知其前项为，＝324，最后nn项的和为180(n，该数列的项数及＋.9解：由题意知＋a＋＋a＋＋＝，136＋a＋＋