中考数学易错题-圆的综合练习题及答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D,延长AO交O于E,连接CD，CE，若CE是OO的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是OO的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积.答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD,求出/EOC=ZDOC，根据SAS推出△EOC竺△DOC,推出ZODC=ZOEC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2^COD的面积即可求解.试题解析：（1）证明：连接OD,TOD=OA,ZODA=ZA,T四边形OABC是平行四边形，•••OCIIAB,.ZEOC=ZA，ZCOD=ZODA，.ZEOC=ZDOC，在厶EOC和厶DOC中，OE=OD<ZEOC=ZDOCOC=OC.△EOC^△DOC（SAS）,.ZODC=ZOEC=90°，即卩OD丄DC,.CD是OO的切线；（2）由（1）知CD是圆O的切线，.△CDO为直角三角形，1T1CDO=2CD・0D，又:OA=BC=OD=4,=2心4=12‘•••平行四边形OABC的面积S=2S°。。。二24.2.如图，在平面直角坐标系xoy中，E(8,0),F(0,6).当G(4,8)时，则/FGE=°在图中的网格区域内找一点P,使/FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形.要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线(不必说明理由，不写画法).【答案】(1)90；(2)作图见解析，P(7，7)，PH是分割线.【解析】试题分析：(1)根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定厶FEG是直角三角形，且/FGE="90"°.(2)一方面，由于ZFPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而0P是正方形的对角线，即点P在/FOE的角平分线上，因此可得P(7，7)，PH是分割线.试题解析：(1)连接FE，•••E(8,0)，F(0,6)，G(4,8)，••根据勾股定理，得FG=\'',EG=g',FE=10.—「一「，即:=△FEG是直角三角形，且/FGE=90°.2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．3.如图，四边形ABCD内接于O0,对角线AC为OO的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点，连接DB，DF.（1）求证：DF是OO的切线；（2）若DB平分上ADC，AB=5迈,AD:DE=4：丄，求DE的长.【答案】⑴见解析；（2）【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出/FDO=ZFCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用厶ADC〜\ACE,得出AC2=AD・AE,进而得出答案.详解：（1）连接OD.OD=CD，ZODC=AOCD.TAC为OO的直径，.ZADC=ZEDC=90°.T点F为CE的中点，.DF=CF=EF，.ZFDC=ZFCD，.ZFDO=ZFCO.又:AC±CE,•••/FDO=ZFCO=90°,•••DF是OO的切线.(2)TAC为OO的直径,•ZADC=ZABC=90°.TDB平分ZADC,•ZADB=ZCDB,•AB=BC，•BC=AB=5、迈.在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=100.又TAC±CE,•ZACE=90°,ACAE-△ADC~\ACE,..=,•AC2=AD・AE.ADAC设DE为x,由AD：DE=4：1,•AD=4x,AE=5x,•.100=4x・5x,•.x=*'5,•DE=(5.点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD・AE是解题的关键.4.已知：AB是O0直径,C是O0外一点，连接BC交O0于点D,BD=CD，连接AD、AC.⑴如图1,求证:ZBAD=ZCAD(2)如图2,过点C作CF丄AB于点F交O0于点E,延长CF交O0于点G.过点作EH丄AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF；⑶如图3,在⑵的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.AAAH.00GJGEEBCCAAAH.00GJGEEBCCED图1图2图3【答案】⑴见解析(2)见解析⑶y：10【解析】试题分析：(1)由直径所对的圆周角等于90°,得到ZADB=90°,再证明△ABD^△ACD即可得到结论；(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等，得到ZGAB=ZBEG.再证△KFE^△BFE,得到BF=KF=—BK.由OF=OB-BF,AK=AB-BK,即可得到结论.2

(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设/GAB=a.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM,ZAGC+AGCM=90°.再证/GAF=AGCM=a.通过证明△AGB^△CMG,得到1BG=GM=2AG.再证明ZBGC=ZMCG=a.设BF=KF=a,可得GF=2a,AF=4a.由0K=1，得到0F=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得到3a+2=4a,解出a的值，得到AF,AB,GF,AB,GF,FC的值.AK=6，可以求出AH的长.再由tana=tanZHAK=-AH2tanZBAD-tanZBAD-tanZBCF-1,3利用公式tanZGAD=tanZGAF+tanZBAD1-tanZGAF-tanZBAD得到ZGAD=45°,则AL=、:‘2AH,即可得到结论.试题解析：解：⑴TAB为O0的直径,•••ZADB=90°,「.ZADC=90°.TBD=CD,ZBDA=ZCDA,AD=AD,•△ABD^△ACD,•ZBAD=ZCAD.(2)连接BE.TBG=BG,•ZGAB=ZBEG.TCF丄AB,•ZKFE=90°.TEH丄AG,•ZAHE=ZKFE=90°,ZAKH=ZEKF,•ZHAK=ZKEF=ZBEF.TFE=FE,ZKFE=ZBFE=90°,•△KFE里△BFE,•BF=KF=—BK.2TOF=OB-BF,AK=AB-BK,•AK=20F.AndAnd(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设ZGAB=a.TAC=CG,•••点C在AG的垂直平分线上.TOA=OG,•点O在AG的垂直平分线上,•CM垂直平分AG,•AM=GM,ZAGC+ZGCM=90°.TAF丄CG,•ZAGC+ZGAF=90°,•ZGAF=ZGCM=a.TAB为OO的直径ZAGB=90°,•ZAGB=ZCMG=90°.1TAB=AC=CG,.•△AGB=△CMG,•BG=GM=—AG2

GB1在RtAAGB中，tanZGAB=tana==—AG2设BF=KF=a，tanZBGF=tana=BFGFAGF=2a,tanZGAF=tana设BF=KF=a，tanZBGF=tana=BFGFAGF=2a,tanZGAF=tanaHK1ttana=tanZHAKHK1ttana=tanZHAK==AH2m=空5,AAH=2m=仝5.5在RtABFC中,BF1tanZBCF二二一FC3TZBAD+ZABD=90°,ZFBC+ZBCF=90°,AZBCF=ZBAD,AF=4a．TOK=1,AOF=a+1,AK=2OF=2(a+1),AAF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,A3a+2=4a,Aa=2,AK=6,AAF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=6．tanZBAD=tanZBCF11+_tanZGAF+tanZBAD231,AtanZGAD===1,-tantanZBAD=tanZBCF11+_tanZGAF+tanZBAD231,AtanZGAD===1,-tanZGAF-tanZBADA113AHL=AH,7ah^51-AZGAD=45°，5.如图，已知BC是OO的弦，A是OO外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M为OO上一点，并且ZBMC=60°.（1（1）求证：AB是OO的切线；（2）若E,F分别是边AB,AC上的两个动点，且/EDF=120°,OO的半径为2,试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF的值是定值，为等边厶ABC边长的一半.【解析】试题分析：（1）连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得0D丄BC,ZBOD=ZCOD，即可得到上BOD=ZM=60°，则上OBD=30°，所以上ABO=90°，于是得到AB是OO的切线；（2）作DM丄AB于M,DN丄AC于N,连结AD,如图2,由厶ABC为正三角形，D为BC的中点，得到AD平分ZBAC,ZBAC=60°,利用角平分线性质得DM=DN,得ZMDN=120°，由ZEDF=120°，得到ZMDE=ZNDF,于是有△DME竺△DNF,得至I」ME=NF,111得到BE+CF=BM+CN，由BM=3BD,CN=-OC,得至I」BE+CF=3BC,即可判断BE+CF的值是定值，为等边厶ABC边长的一半.试题解析：（1）连结OB、OD,如图1,TD为BC的中点，「.OD丄BC,ZBOD=ZCOD,1ZODB=90°,TZBMC=ZBOC,AZBOD=ZM=60°,AZOBD=30°,T△ABC为正三2角形，AZABC=60°,AZAB0=60°+30°=90°,AAB丄OB,AAB是OO的切线;(2)BE+CF的值是为定值．作DM丄AB于M,DN丄AC于N,连结AD,如图2,T△ABC为正三角形，D为BC的中点，AAD平分ZBAC,ZBAC=60°,ADM=DN,ZMDN=120°,TZEDF=120°,AZMDE=ZNDF,在厶DME和厶DNF中，TZDME=ZDNF.DM=DN,ZMDE=ZNDF,A△DME竺△DNF,AME=NF,ABE+CF=BM-EM+CN+NF=BM+CN,在RtADMB中，TZDBM=60°,1ABM=—TZDBM=60°,1ABM=—bd,3同理可得CN=-OC,ABE+CF=-OB+-OC=-BC,ABE+CF乙乙乙乙的值是定值，为等边厶ABC边长的一半.S1图2考点：1.切线的判定；2.等边三角形的性质；3.定值问题；4.探究型；5.综合题;6．压轴题．6.如图，△ABC是OO的内接三角形，点D,E在O0上，连接AE,DE,CD,BE,CE,ZEAC+ZBAE=180°,ab—CD.判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由;求证：△ABE竺△DCE；(3)若ZEAC=60°,BC=8,求OO的半径.【答案】(1)BE=CE，理由见解析；(2)证明见解析;【解析】分析：(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得：ZBCE+ZBAE=180°,则ZBCE=ZEAC,所以BECE，则弦相等；(2)根据SSS证明△ABE竺△DCE；(3)作BC和BE两弦的弦心距，证明RtAGBO竺RtAHBO(HL)，则ZOBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长.本题解析：(1)解：BE=CE,理由：TZEAC+ZBAE=180°,ZBCE+ZBAE=180°,ZBCE=ZEAC,…BECE，.BE=CE；(2)证明：TAB—CD,.AB=CD,TBECE，AE—ED，.AE=ED，由(1)得：BE=CE，

在厶ABE和厶DCE中,'AE=DE•••<AB=CD,BE=CE△ABE竺△DCE(SSS)；(3)解：如图，T过O作OG丄BE于G,OH丄BC于H,BH=11BG=2BEBH=1TBE=CE,ZEBC=ZEAC=60°,.△BEC是等边三角形,.BE=BC,.BH=BGTOB=OB,RtAGBO竺RtAHBO(HL),1ZOBH=ZGBO=_ZEBC=30°,2设OH=x,则OB=2x,4运由勾股定理得：(2X)2=X2+42,x=3.OB=2x=屋，•.OO的半径为竺3.33E点睛：本题是圆的综合题,考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质,难度适中,第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线,利用勾股定理列方程是关键.7.7.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点B(0,，点O(0,0).△AOB绕（I）如图1,A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角a的度数，并求出点B'的坐标；（口）如图2,若0°VaV90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证：AA'丄BB'；（皿）若0°VaV360。，求（口）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）.【答案】（I）a=60°,B'（3,'）；（n）见解析；（皿）点P纵坐标的最小值为「-2.【解析】【分析】（I）作辅助线，先根据点A（2,0），点B（0A/'）,确定/ABO=30°,证明△AOA是等边三角形，得旋转角a=60°,证明△COB是30°的直角三角形，可得B的坐标；（口）依据旋转的性质可得ZBOB=ZAOA'=a,OB=OB',OA=OA',即可得出/OBB=ZOA'A1=（180°-a），再根据/BOA'=90°+a，四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到/BPA=90°,即AA'±BB';1（皿）作AB的中点M（1八；）,连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=.AB=2为半径的圆，即可得到当PMIIy轴时，点P纵坐标的最小值为」-2.【详解】解：（I）如图1,过B作B'C丄x轴于C,冒1TOA=2,OB=2、\乙AOB=90°,ZABO=30°,ZBAO=60°,由旋转得：OA=OA',ZA'=ZBAO=60°,.△OAA'是等边三角形，.a=ZAOA'=60°,OB=OB'=2「:,ZCOB'=90°-60°=30°,.B「C=、OB，=•[■,.OC=3,.B'(3,J■),(口)证明：如图2,TZBOB'=ZAOA'=a,OB=OB',OA=OA',1ZOBB'=ZOAA=(180°-a),•ZBOA'=90°+a，四边形OBPA的内角和为360°,

AZBPA'=360°-(180°-a)-(90°+a)=90°,即AA'±BB';（皿）点P纵坐标的最小值为「-2.理由是:如图，作AB的中点M（1,「），连接MP,TZAPB=90°,1•••点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=AB=2为半径的圆,除去点（2,2「：），•••当PM丄x轴时，点P纵坐标的最小值为「-2.【点睛】本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用，解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心，以MP为半径的圆.&如图①，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.点P是y轴上的一个动点，连接PA,试求5PA+4PC的最小值；如图②，若直线丨经过点T(-4,0),Q为直线丨上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式.33【答案】(1)y=一§x2+x+3；(2)5PA+4PC的最小值为18；(3)直线丨的解析式8433

为y=x+3或y二-4x-3.【解析】【分析】(1)设出交点式，代入C点计算即可(2)连接AC、BC,过点A作AE丄BC于点E,过PCPD4点P作PD丄BC于点D,易证△CDP-△COB，得到比例式二，得到PD=^PC，所BCOB54以5PA+4PC=5(PA+5PC)=5(PA+PD)，当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=518(PA+PD)=5AE最小，利用等面积法求出AE=y，即最小值为18(3)取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆，当/BAQ=90°或/ABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线I不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使/BAQ=90°或/ABQ=90°,即乙AQB=90°时，只有一个满足条件的点Q,二直线l与OF相切于点Q时，满足ZAQB=90°的点Q只有一个；此时，连接FQ,过点Q作QG丄x轴于点G,利用cosZQFT求出QG,分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可【详解】解：(1)T抛物线与x轴交点为A(-2,0).B(4,0)y=a(x+2)(x-4)把点C(0,3)代入得：-8a=33•a———8TOC\o"1-5"\h\z33•抛物线解析式为y—--(x+2)(x-4)—-—x2+x+3884连接AC、BC,过点A作AE丄BC于点E,过点P作PD丄BC于点DZCDP—ZCOB—90°

•••ZDCP=ZOCB△CDP〜△COBPCPD••—11BCOB•••B(4,0),C(0,3).OB=4,OC=3,BC=JOB?+OC2=5.PD=4pc4.5PA+4PC=5(PA+—pc)=5(PA+PD)5•••当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC=5(PA+PD)=5AE最小•••A(-2,0),OC丄AB,AE丄BC.S△ABC.S△ABC11=2AB・OC=2BC・AE...ae=ab°C=6x318•5AE=18•5PA+4PC的最小值为18.取AB中点F,以F为圆心、FA的长为半径画圆当ZBAQ=90°或ZABQ=90°时，即AQ或BQ垂直x轴，•只要直线I不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使ZBAQ=90°或ZABQ=90°•ZAQB=90°时，只有一个满足条件的点QT当Q在OF上运动时(不与A、B重合)，ZAQB=90°•直线I与OF相切于点Q时，满足ZAQB=90°的点Q只有一个此时，连接FQ,过点Q作QG丄x轴于点GZFQT=90°TF为A(-2,0)、B(4,0)的中点F(1,0),FQ=FA=3TT(-4,0)•TF=•TF=5,cosZQFT=FQTFTRfFGQ中,cosZQFT=FG=3FQ5•FG=3fq=955xQFQG32、丿9-xQFQG32、丿9-5

/J-212①若点Q在x轴上方，则Q(-5，丁)设直线l解析式为：y=kx+b—4k+b=—4k+b=01-4k+b=12I55解得：<k=4b=3二直线Ly=3x+34412②若点Q在x轴下方，则Q（-—，—）3-直线l：y=一一x一3433综上所述，直线I的解析式为y=-x+3或y=——x-344【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论9.如图，已知ABAC,AB=AC,O为AABC外心，D为O上一点，BD与AC的交点为E，且BC2=ACCE.Q求证：CD=CB；若ZA=300，且O的半径为3+J-，I为ABCD内心，求OI的长.【答案】①证明见解析；②2打解析】分析】①先求出BCACCE二，然后求出△BCE和厶ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得BC厶A=ZCBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得/A-AD,然后求出ZD=ACBE,然后根据等角对等边即可得证;②连接OB、0C,根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出ZBOC=60°，然后判定厶OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点/,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出/F,然后求出C/,最后根据O/-OC-CI计算即可得解.【详解】①•••BC2=AC・CE,ZBCE-ZECB,△BCE-△ACB,AZCBE-ZA.ZA=ZD,AZD=ZCBE,ACD-CB；②连接OB、OC.TZA=30°,AZBOC-2ZA=2x30°=60°.VOB-OC,A△OBC是等边三角形.TCD-CB,/是厶BCD的内心，AOC经过点/,设OC与BD相交于点F,则CF=BCxsin30°_2BC,BF=BC・cos30°_弓BC,所以，BD-2BF-2xBC_、3BCaBCD211内切圆的半径为r,则Sabcd_2BD・CF_2（BD+CD+BC）・r,即1•运BC・1BC_122232'33（打BC+BC+BC）・r,解得：r_（^3BC_厂BC,即IF_宁BC,所以,]2—3一__C/-CF-/F_2BC—BC-（2—爲）BC,O/-OC-C/-BC-（2—爲）BC-（爲-1）BC.VOO的半径为3+J3,ABC-3+耳3,AO/-U;，3一1）（3+\.；3）-3\.：3+3-【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定