计量经济学：第2章 线性回归的基本思想：双变量模型

第2章线性回归的基本思想：双变量模型

TheTwo-VariableModel2目录

IntroductiontoRegressionAnalysis2.1回归的含义2.2总体回归函数（PRF）:假想一例2.3总体回归函数的统计或随机设定2.4随机误差项的性质2.5样本回归函数2.6“线性”回归的特殊含义2.7从双变量回归到多元线性回归2.8参数估计：普通最小二乘法OLS2.9综合2.10一些例子2.11小结32.1回归的含义4（1）变量间的关系

确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。

统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。△经济变量之间的关系，大体可分为两类：5△对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlationanalysis)或回归分析(regressionanalysis)来完成的：

正相关

线性相关

不相关

相关系数：统计依赖关系

负相关

11££-XYr

有因果关系

回归分析

正相关

无因果关系

相关分析

非线性相关

不相关

负相关6△几点注意

不线性相关并不意味着不相关；有相关关系并不意味着一定有因果关系；

回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系；

相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）。7

回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。这里前一个变量被称为被解释变量（ExplainedVariable）或应变量（DependentVariable），后一个（些）变量被称为解释变量（ExplanatoryVariable）或自变量（IndependentVariable）。（2）回归分析的基本概念8由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：（1）根据样本观察值对计量经济模型参数进行估计，求得回归方程；（2）对回归方程、参数估计值进行检验；（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。92.2总体回归函数

（PRF：PopulationRegressionFunction）:假想一例

图2-1家庭年收入与数学S.A.T(ScholasticAssessmentTest)分数

12因此，给定收入X的值Xi，可得数学S.A.TY的条件均值（conditionalmean）或条件期望（conditionalexpectation）：该例中：E（Y|Xi=5000）=45213

从散点图发现：随着收入的增加，数学S.A.T分数“平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。14

在给定解释变量iX条件下被解释变量iY的期望轨迹称为总体回归线（populationregressionline），或更一般地称为总体回归曲线（populationregressioncurve）。相应的函数（方程）：

)()|(iiXfXYE=

（2.1）称为（双变量）总体回归函数（方程）（PRF）（populationregressionfunction）。15

总体回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。函数形式可以是线性或非线性的。

iiXXYE10)|(bb+=

为一线性函数。其中，0b与2b为未知,然而固定的参数，称为回归系数（regressioncoefficients）。162.3总体回归函数的统计或随机设定17

总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，数学S.A.T分数的平均分数。但对某一个学生，其数学S.A.T分数可能与该平均水平有偏差。记

)|(iiiXYEY-=u

)(10iiXYbb+-=

（2.2）称iu为观察值iY围绕它的期望值)|(iXYE的离差（deviation），它是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项（stochasticdisturbance）或随机误差项（stochasticerror）。19由（2.2）式，个别学生的数学S.A.T分数为：

Yi=E(Y|Xi)+ui=b0+b1Xi+ui(2.3)即，给定收入水平Xi,个别学生的数学S.A.T分数可表示为两部分之和：该收入水平下所有学生的平均数学S.A.T分数E(Y|Xi),称为系统性(systematic)或确定性(deterministic)部分。其他随机或非确定性（nonsystematic)部分ui。20（2.3）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。2.4随机误差项的性质211． 误差项代表了未纳入模型变量的影响。2． 即使模型中包括了决定数学分数的所有变量，其内在随机性也不可避免，这是做任何努力都无法解释的。3． 还代表了度量误差。4． “奥卡姆剃刀原则”——即描述应该尽可能简单，只要不遗漏重要的信息。232.5样本回归函数（SRF）26该样本的散点图（scatterdiagram)：

样本散点图近似于一条直线，画一条直线以尽可能好地拟合该散点图，由于样本取自总体，可以该线近似地代表总体回归线。该线称为样本回归线（sampleregressionlines），其函数形式记为：

iiiXXfY10ˆˆ)(ˆbb+==

（2.4）称为样本回归函数（sampleregressionfunction）SRF。27

注意：这里

将（2.4）看成（2.1）的近似替代。

28(2.5)称为样本回归模型。

同样地，对某一个体iY，有

iiiiieXYY++=+=10ˆˆˆˆbbû

（2.5）式中，ie称为（样本）残差或剩余项(Residual),代表了其他影响iY的随机因素的集合体，可看成为iu的估计量。29根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。即，根据

iiiiieXeYY++=+=10ˆˆˆbb估计

iiiiiXXYEYubbu++=+=10)|(30322.6“线性”回归的特殊含义解释变量线性E(Y|X)=b0+b1

X参数线性E(Y|X)=b0+b1

log(X)E(Y|X)=b0+b1

X2非线性回归E(Y|X)=b0+

exp(b1X)变量线性：线性的第一种、也是最“本质”的含义是应变量的条件均值是自变量的线性函数。

参数线性：线性的第二种解释是应变量的条件均值是参数的线性函数，而变量之间并不一定是线性的。

342.7从双变量回归到多元线性回归很容易将双变量回归推广到多元线性回归，即解释变量包含多个，共同影响因被解释变量，基本形式为E(Y|X1i,X2i,X3i)=b0+b1

X1i+b2X2i+b3X3i多元线性回归模型可以写成Yi=b0+b1

X1i+b2X2i+b3X3i+ui更为一般的形式为Yi=b0+b1

X1i+b2X2i+…+bkXki+uui352.8参数估计：OLS对于双变量总体回归方程：Yi=b0+b1

Xi+ui我们用样本回归方程来估计总体回归方程Ŷi=b0+b1

Xi或写成Yi=b0+b1

Xi+ei那么，残差项可以写成ei=Yi–Ŷi=OLSMin:Sei2=S()2(RSS)＾＾＾＾36OLS37函数、一阶导数、二阶导数图例38OLS39402.9综合应用对数学S.A.T分数回归结果的解释对数学S.A.T分数回归结果的解释2.10一些例子例2.1受教育年限与平均小时工资例2.2奥肯定律

=失业率的变化（百分数）