余弦函数的性质

余弦函数的图像和性质一、教学目标1.知识与技能（1）能根据诱导公式sin（a+三）=cosa，利用正弦函数的图像，2画出余弦函数的图像.（2）会利用余弦函数的图像进一步理解和研究余弦函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质..过程与方法通过利用类比正弦函数性质研究余弦函数性质的学习过程，体会类比的思想方法..情感、态度与价值观通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的类比，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系.二、教材分析教材中通过类比正弦函数，展开了对余弦函数相关内容的学习.这样编写突出了正弦函数与余弦函数的联系，体现了研究问题的一般思路和方法.余弦函数图像既可以通过诱导公式由正弦函数图像得到，又可以通过描点法得出，教材中淡化了对后者的讲解.三、重点和难点本节的重点：余弦函数的图像和性质.本节的难点：由正弦函数图像得到余弦函数的图像.四、教学方法与手段教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳教学手段：多媒体辅助教学.五、教学过程(一)创设情境，揭示课题教师引出课题在上节课中，我们知道正弦函数y=sinx的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到.那么，对于余弦函数丫=。0$乂的图像，是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图像与性质.(二)探究新知1.余弦函数y=cosx的图像由诱导公式有：y=cosx=cos(-x)=sin[——(—x)]=sin(x+—)22结论：(1)y=cosx,x^R与函数y=sin(x+—)x^R的图像相同2(2)将丫=$也乂的图象向左平移巴个单位，即得y=cosx的图像2(3)也同样可用五点法作图：y=cosx,x£[0,2扪的五个点关键是(0,1)一3几(囚，0)(兀-1)(31,0)(2兀，1)22y－1(4)类似地，由于终边相同的三角函数性质y=cosxx£[2k兀,2(k+1)扪k£Z,kM的图像与y=cosxxe[0,2i]图像形状相同只是位置不同(向左右每次平移2n个单位长度)1y1y=cosx,xeR2.余弦函数y=cosx的性质观察上图，师生共同讨论余弦函数y=cosx的基本性质，得到以下结论:(1)定义域：y=cosx的定义域为R(2)值域:y=cosx的值域为[—1,1],即有|cosx|W1(有界性)(3)最值：1。对于y=cosx当且仅当x=2ki,k^Z时y=1当且仅当时x=2k兀+n,k^Z时ymj：—12°当2k兀--<x<2k兀+—(k^Z)时y=cosx>022当2k-+-<x<2k-+9(k£Z)时y=cosx<022教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？通过学生充分讨论后确定，学生若选取区间L-,-1教师应追问，为什么选区间L-,-1而不是选区间0,2-1引导学生思考.(4)周期性:y=cosx的最小正周期为2-⑸奇偶性cos(—x)=cosx(x£R)c：二一>y=cosx(x£R)是偶函数(6)单调性增区间为[(2k—1)n,2kn](k£Z),其值从一1增至1；减区间为[2kn,(2k+1)n](k£Z),其值从1减至一1.(三)巩固深化，发展思维引导学生分析对比正弦函数、余弦函数的图像，思考这两个函数图像的异同点，思考函数图像的平移对函数性质的影响.

Y=sinXY=COSX备注定义或RR值域［-14］当且仅当x=n/2十之口时y=l当且仅当乂=-n/2+”n时尸t卜中］当且仅当x=2kn时y=l当且仅当x=0kfl+1)时y=-i周期性2kn最小正周期2n2kn最小正周期2n周期函数满足：f(X+T)=f(X)T为周期奇偶性奇函数即sin(-x)=-sinx偶函数即8s(=X)=8SX单调性£[-n/2+2knfn/2+2kn]上是增函数在[n/2+2kn,3n/2+2kn]上是减函数在［QkFnzkn］上是增函数在［2kn,(2k+l)n］上是减函数例1.请画出函数y=cosx—1的简图，并根据图像讨论函数的性质。解：按五个关键点列表，根据表中数据画出简图x0n/222y=cosx10-101y=cosx-10-1-2-10

观察图像得出y=cosx—1的性质函数y=cosx-1定义域R值域L2,01奇偶性偶函数周期性21单调性当xe(2k-1)1,2k兀*eZ)时，函数是增加的；当xe12k兀,(2k+1)1(keZ)时，函数是减少的最大值与最小值当x=2k兀(keZ)时，y取得最大值为0；当x=(2k+1)1(keZ)时，y取得最小值-2对称性.一一...6,i).对称中心坐标为ki+—，—1,keZ；I2J对称轴方程为x=k兀,keZ2.课堂练习教材33页的练习1、2、3、4、5(四)思考交流根据余弦函数的图像，求满足cosx>1的X的集合.分析：先在一个周期［兀，兀］内解cosx>1，得—鼻4x我233再考虑周期性，可得满足cosX>1的X的集合为2k兀-1,2k兀+-,keZ.233（五）归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不明白的地方，请向老师提出.（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？（六）课后作业作业：课本34页A组第2,3,4,5题六、教学反思：本节课，由正弦函数的图像通过平移得出余弦函数的图像，再根据余弦函数的图像得出其性质，使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用