三角函数同步练习及答案

第第页共9页第四章三角函数

一、任意角的三角函数•知识网络弧长与扇形同角三角函数的面积公式的基本关系式一厂任意角—►角度制任意角的-的概念与弧度制三角函数•范例精讲【例1】已知a是第二象限角，试求:a角所在的象限;2a角所在的象限;33)2a角所在范围.nnan解：(1)Ta是第二象限角，.••一+2kn<a<n+2kn,k^Z,即卩+kn<—<—+kn,ku422Z.故当k=2m(m故当k=2m(mUZ)时,nan+2mn<—<—+2mn,422a5a3a因此，一角是第一象限角；当k=2m+1(mUZ)时，一n+2mn<—<—n+2mn，因此，一24222角是第三象限角.a综上，可知一角是第一或第三象限角.2TOC\o"1-5"\h\zn2an2n(2)同理可求得一+—kn<<+kn,keZ,当k=3m(meZ)时，一+2mn\o"CurrentDocument"633336<<+2mn，此时，？角是第一象限角；当k=3m+1(meZ)时，兰+2mn+—n<—<+2m3363335aa3n+—n，即n+2mnv—<n+2mn，此时，一角是第二象限角；当k=3m+2(meZ)时，一6332a5an+2mnv—vn+2mn，此时，一角是第四象限角.333a综上，可知一角是第一、第二或第四象限角.3(3)同理可求得2a角所在范围为n+4kn<2a<2n+4kn，keZ.评注：(1)注意某一区间内的角与象限角的区别.象限角是由无数个区间角组成的，例如0°va<90。这个区间角，只是k=0时第一象限角的一种特殊情况.2要会正确运用不等式进行角的表达，同时会对k取不同值，讨论形如e=a+-k3n(keZ)所表示的角所在象限.对于本题第(3)问，不能说2a只是第三、四象限的角，因为2a也可为终边在3y轴负半轴上的角一n+4kn(keZ)，而此角不属于任何象限.2【例2】求证：tan2a+cot2a+1=(tan2a+tana+1)(cot2a－cota+1).

证法一:右边=(tan2a+tana+1)巳叱沁tan2a=伽2“1）2—血2=tan2a+tan2a+1=tan2a+cot2a+1=左边tan2atan2a证法二：左边=tan2a+cot2a+2tanacota—1=(tana+cota)2—1=(tana+cota+1)(tana+cota－1)=(tana+cota+1)(tana+cota—1)tanacota=[tana(tana+cota+1)]•[cota(tana+cota一1)]=(tan2a+tana+1)(cot2a—cota+1)=右边.11+——cos2asin2a评注：证明三角恒等式的过程，实际上是“化异为同”的过程11+——cos2asin2a［例3】化简:tan2a—cOt2asin2a一cos2axycosa=—，tanaxycosa=—，tana=—rx2r22x2cos2a设点P(x,y)是角a终边上一点，且IOPI=r，则将sina=-rxcota=代入得y（_y）2-（兰）2原式=」L+（r）2-（二）2=（y4一x4）r2+r2（y2一x2）TOC\o"1-5"\h\z£）2-（兰）2xy2rr解法二:(化弦法)sinacosa（）2一（）2.sin2a+cos2asin2a-cos2a+sin2a+cos2asin2a-cos2a+

sin2acos2asin2acos2asin2a-cos2asin2acos2acos2a解法三:（换元法）一aa设cos2a=a，贝I」sin2a=1—a，tan2a=_—，代入原式，得原式==—a1—aH—a（1一a）一aa1（1一a）2一a21一2a11一2a22=+=+==1一aa（1一a）（1一2a）a（1一a）a（1一a）a（1一a）acos2a评注:“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义法、换元法，使三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.【例4】已知sin©、cos©是关于x的方程x2—ax+a=0的两个根(a=R),(1)求sin3©+cos3©的值；(2)求tan©+cot©的值.

分析:涉及实系数一元二次方程的实根问题，欲求两根的某种组合式的值，则韦达定理必被用上•此题的解题关键在于借助韦达定理和同角三角函数基本关系式先求出实数a.解:依题意，方程判别式氐三0，即（一a）2—4a三0，解得a三4或aW0，且sina+cos。sina+cos。=a,sin0cos0=a.由(sin。+cos0)2=l+2sin&cos©，得a2=1+2a.解得a=1+<2(舍去)或即sin©+cos©=sin©cos©=1—、：2.(1)sin3©+cos3©=(sin©+cos©)(sin2©—sin©cos©+cos2©)=(1—J2)[1一(1一i：2)]2)tan©+cot2)tan©+cot©=sin0cos0cos011sin0sin0cos01一、2=—€2—1.评注：对a=1+V2的舍去，既可依据判别式大于等于零的条件考虑，也可根据sin©cos1©=21©=2sin2©2]来确定.对于sina+cosa、sina—cosa、sinacosa三个式子,2只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.•试题详解高中同步测控优化训练（一）三角函数（一）（A卷）说明：本试卷分为第I、II卷两部分，请将第I卷选择题的答案填入题后括号内，第II卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第I卷（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）若角a与角0的终边相同，则角a—0的终边（）A.在x轴的非负半轴上B.在x轴的非正半轴上C.在y轴的非负半轴上D.在y轴的非正半轴上解析：由角a与角0的终边相同，得a=k•360°+0，k=Z，所以，a—0=k•360°，kuZ.所以，a—0的终边在x轴的非负半轴上.答案：A已知点P（tana，cosa）在第三象限，则角a的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为点P（tana，cosa）在第三象限，所以tana<0且cosa<0.由tana<0得a在第二或第四象限;由cosa<0得a在第二或第三象限以及x轴的负半轴，所以a为第二象限角.答案:Bknnkn集合M={xlx=^土—，kuZ}与N={xlx=2，kuZ}之间的关系是（）厶II

A.解NB.隠MC.M=ND.MGN=0解法一:通过对k取值，找出M与N中角x的所有的终边进行判断.n解法二:•.•M={xlx=・（2k±l）,kuZ},而2k±l为奇数，:MN.4答案:ATOC\o"1-5"\h\z4•已知下列各角①787°;②一957°;③一289°:④1711°，其中在第一象限的角是（）A.①②B.②③C.①③D.②④解析:787°=2X360°+67°,—957°=—3X360°+123°,—289°=—1X360°+71°,1711°=4X360°+271°,・•・在第一象限的角是①③.答案:CAA.25.角a的终边上有一点P（a,a）,aUR且aM0,则sina的值是（AA.2J2B.—2C.2或—2C.2或—2D.1解析：r=a2+a2=、：2|a|,.sina=.sina=a=亠r21a|~2「T(a>0),(a<0),72・sina的值为±亍.答案：C136.136.若cos(n+a)=—,22n<a<2n,则sin(2n—a)等于(A』2B.1CA』2B.1C・2D.±21解析:TcosCn+a)=—cosa=23又•一n<a<2n,.sina=—22故sin(2n故sin(2n—a)=—sina2答案:B7•若a是第四象限角，则n—a是（A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角n解法一:Ta是第四象限角,：・2kn——<a<2kn（k^Z）.2(ke(keZ).：.—2kn<—a<—2kn+—：.—2k：.—2kn+n<n—a<—2kn+—n(kGZ).:»n—a是第三象限角.故选C.解法二:J角a与角一a的终边关于x轴对称，角a的终边在第四象限，：.角一a的终边在第一象限.又角一a与n—a的终边关于原点对称，：•角n—a的终边在第三象限.故选C.n7解法三:特殊值法.令a=—，贝i」n—a=—n是第三象限角.故选C.66答案:C8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，贝这个圆心角所对的弧长是（）2B.-sin11解析:T圆的半径r=，a=2,sin122B.-sin11解析:T圆的半径r=，a=2,sin12:•弧长l=r•a=.sin1A.2C.2sin1D.sin2答案:B9.已知sinacosa=1nni'且=4<a气'则cosa—sina的值为C.43D•一4解析：Tsinacosa=—13：.(cosa—sina)2=cos2a+sin2a—2sinacosa=1—2X=84nn灯3乂T—<a<，:.cosa<sina,：cosa—sina=—.422答案：B10.若实数x满足log2x=2+sine，则lx+ll+lx—101的值等于(A.2x—9B.9—2xC.11解析:T—Ksin©W1,：.1W2+sin&W3.：.1Wlog2xW3.：.2WxW8」x+1|+|x—10|=x+1+10—x=11.答案:CD.9第II卷（非选择题共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.tan300°+cot765。的值是.解析:原式=tan(360°—60°)+cot(2X360°+45°)=—tan60°+cot45°=1—<3.答案：1—打若角0的终边与60°角的终边相同，在】0°,360°)内，终边与y角的终边相同的角为.分析：用终边相同的角表示0，然后求苛，同时考虑到角的范围和k为整数的限制条件.解析:•.•0=k・360°+60°(kuZ),P.•・m=k・120°+20°(kuZ).P又—u[0°,360°),.0°Wk・120°+20°V360°(kuZ).TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"117PPA-<k<..k=0，1，2.此时分别得上为20°，140°，260°.故与终边相同6633的角为20°，140°，260°.答案：20°，140°，260°不等式(lg20)2c°sx>1(xu(0,n))的解集为.解析：(lg20)2cosx>1,即(lg20)2cosx>(lg20)o,•Ig20>lg10=1,.・2cosx>0,即cosx>0.Ax在第一或第四象限以及x轴的非负半轴上.n又xU(0,n),AxU(0,—).厶n答案：(0，2)x14.已知函数f(x)=cos2，下面四个等式:TOC\o"1-5"\h\z①f(2n—x)=f(x);®f(2n+x)=f(x);®f(—x)=—f(x);®f(—x)=f(x).其中成立的个数是.解析：f(2n—x解析：f(2n—x)=cos①错;=cos(n——)=—cos=—f(x),22f(2f(2n+x)=cos②错;n+—)=—cos=—f(x),22—x)=cos—x)=cos(—)=cos=f(x),2③错.故只有④正确.答案：1三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)设一扇形的周长为C(C>0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？解:设扇形的中心角为a，半径为r，面积为S,弧长为l,则l+2r=C，即l=C—2r.211..S=Ir=22CC2(C11..S=Ir=22CC2(C—2r)•r=—(r—)2+.4165分故当r=|时，Smax=T6，此时，°=I=C-cC2=2..•.当a=2时，S:maxC2168分n16.(本小题满分10分)已知6sin2a+sinacosa—2cos2a=0,au[—,n)，求2cot(-acot(-a一n)-sin(2n+a)cos(-a)-tana的值.分析：本题考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式等基础知识和基本运算技能.解法一：由已知得(3sina+2cosa)(2sina—cosa)=0,3sina+2cosa=0或2sina—cosa=0.2分nn由已知条件知cosa工0,“工2，即aG(I，n•tana<0..tan•tana<0..tana=—原式=cot(-a)-sina

cosa-tana-cota-sina=—cota=sina1=3tana26分9分10分nTOC\o"1-5"\h\z解法二：由已知条件知cosa工0,则a工一.1分2.••由6sin2a+sinacosa—2cos2a=0,可得6tan2a+tana—2=0,3分n即(3tana+2)(2tana—1)=0.又au(—,n),22tana<0.tana=——.6分3以下同解法一.17.(本小题满分12分)如下图，动点P、Q从点(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆nn时针方向每秒钟转a弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转-弧度，求P、Q第一次相遇时所36用的时间、相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长.

分析：解答本题的思维步骤是：（1）利用方程思想，结合题意，求出第一次相遇的时间；（2）利用解直角三角形的知识，根据点所处位置，确定C点坐标；（3）利用弧长公式求弧长.解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是t,则t・+t・I—l=2n.36所以t=4（秒），即第一次相遇的时间为4秒.4分n4n设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在n・4=一的位置，33n贝n贝I」x=—cos•4=—2,c3ny=—sin・4=—2耳3.c3所以C点的坐标为（一2,—2"3）,16P点走过的弧长为3n・4=T812Q点走过的弧长为—n.12分18.(本小题满分12分)已知0°<a<45°，且lg(t