结构力学-位移法

结构力学-位移法第一页，共103页。一、位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系§7.1

位移法的基本概念第二页，共103页。力法：由变形协调条件建立位移方程；位移法：由平衡条件建立的平衡方程。二、位移法与力法的区别1.主要区别是基本未知量选取不同力法：多余未知力作为基本未知量；位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。2.建立的基本方程不同注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而位移法的基本未知量与超静定次数无关。第三页，共103页。1.刚结点所连接的各杆端截面变形后有相同的角位移；2.各杆端之间的连线长度变形前后保持不变，即忽略杆件的轴向变形；3.结点线位移的弧线运动用垂直于杆轴的切线代替，即结点线位移垂直于杆轴发生。三、位移法的基本假定第四页，共103页。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。

结点位移与杆端位移分析

BD伸长：DC伸长：

DA伸长：

杆端位移分析由材料力学可知：杆端力与杆端位移的关系D结点有向下的位移Δ△FPCDAB45o45o四、位移法的基本思路第五页，共103页。建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：由结点平衡：

第六页，共103页。③由结点平衡或截面平衡，建立方程；

⑤结点位移回代，得到杆端力。总结一下直接平衡法解题的步骤：①确定结点位移的数量；②写出杆端力与杆端位移的关系式；④解方程，得到结点位移；第七页，共103页。F1Pql2/12ql2/12θAF115ql2/48ql2/48BllqEI=常数ACθAqABCABCθA4iF11θAABCql2/24第八页，共103页。基本体系法解题要点：（1）位移法的基本未知量是结点位移；（3）位移法的基本方程是平衡方程；（4）建立基本方程的过程分为两步：1）把结构拆成杆件，进行杆件分析；2）再把杆件综合成结构，进行整体分析；（5）杆件分析是结构分析的基础。（2）位移法的基本结构----单跨梁系；第九页，共103页。一、杆端力和杆端位移的正负规定二、形常数和载常数1.杆端转角φ、杆两端相对位移Δ以使杆件顺时针转动为正号。2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转动为正号。形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力载常数：由荷载引起的固端力§7.2

等截面直杆的刚度方程第十页，共103页。MABQBAMBAQABΔφAφB根据力法可求解：其中i=EI/l，称为杆件的线刚度1.由杆端位移求杆端内力（形常数）MABMBAΔφ2Aφ2Bφ1Aφ1B图（1）图（2）第十一页，共103页。1）求图(1)中的φA1,φB1(a)

第十二页，共103页。(b)

(c)

第十三页，共103页。2）求图(2)中φA2和φB23）叠加得到变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）：

第十四页，共103页。由平衡条件得杆端剪力：见图（d)(d)

第十五页，共103页。由力法求得由力法求得1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角。ABMABMBA2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角。ABMABMBA4i2iM第十六页，共103页。由力法求得3.两端固定单元，在B端发生一个向下的位移。△ABMABMBA4.一端固定一端铰结单元，在A端发生一个顺时针的转角。ABMABMBA由力法求得第十七页，共103页。由力法求得由力法求得5.一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。MABABMBA△6.一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。MABMBAAB第十八页，共103页。由单位杆端位移引起的形常数单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1AB10ABθ=13i0ABθ=1i-i0第十九页，共103页。单跨超静定梁简图MABMBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABPAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABl/2l/2P2.由荷载求杆端内力——固端弯矩和固端剪力（载常数）第二十页，共103页。独立的结点位移：包括角位移和线位移结点角位移数：刚结点的数目独立结点线位移数：铰结体系的自由度

§7.3

位移法的基本未知量一、位移法基本未知量●结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。

●杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。●为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。第二十一页，共103页。2.有侧移结构1.无侧移结构基本未知量：所有刚结点的转角二、基本未知量的确定第二十二页，共103页。只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有

只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移ABCABC例1.例2.第二十三页，共103页。例3.

有两个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形，E、F、D、C

点的竖向位移为零，E、F

点及D、C

点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：例4.

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形，B、C点的竖向位移为零，B、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。第二十四页，共103页。

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：

ABCD例5.ABCD例6.桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：第二十五页，共103页。

排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：

EA=∞ABCD

两跨排架结构，有四个结点A、B、C、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：例7.

EA=∞ABDCEFG例8.第二十六页，共103页。该题的未知量为

对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE例9.第二十七页，共103页。结点转角的数目：7个独立结点线位移的数目：3个123第二十八页，共103页。

刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何不变，无结点线位移。

ABCDEABCD

刚架结构，有两个刚结点C、D，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×3－2×4=1，铰结体系几何可变，有一个线位移。

第二十九页，共103页。ABDCEABDCE

刚架结构，有两个刚结点D、E，故有两个角位移，结点线位移由铰结体系来判断，W=3×4－2×6=0，铰结体系几何瞬变，有一个线位移。

第三十页，共103页。第三十一页，共103页。分析方法：

该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平移至B’C’，然后它绕B’转至D点。结论：该题有两个未知量：其中BA杆的线位移为：△BC杆的线位移为：△例10.

B’

C’

A

B

C

D第三十二页，共103页。注意：(1)铰处的转角不作基本未知量。(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。aΔ(3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行，则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。

A

B

C

D

E

ΔΔ第三十三页，共103页。§7.4

位移法举例杆长为：l

BA杆BC杆解：1.确定未知量未知量为:2.写出杆端力的表达式3.建立位移法方程取B结点，由,得:AEIBCEIq例1:第三十四页，共103页。4.解方程，得:5.把结点位移回代，得杆端弯矩6.画弯矩图ql28ql214ql228ABCM图

第三十五页，共103页。4I4I5I3I3I1110.750.5i=1110.750.5ABCDEF5m4m4m4m2m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓20kN/m例2.1、基本未知量θB、θC2、列杆端力表达式令EI=1BAqlm·==8420822mkN=.40BCqlm·-=-=125201222CBmkNm=.7.41mkN-=.7.41CCCFMqq=·=25.04BBEBMqq=·=5.175.02CBCBMqq++=7.4142CBBCMqq-+=7.4124BBAMq+=403CCFCMqq=·=5.02BBBEMqq=·=375.04CCDMq=33、列位移法方程0=++=åCFCDCBCMMMM0=++=åBEBCBABMMMM07.1210=-+CBqq07.4192=++CBqq4、解方程θB=1.15θC=－4.89=43.5=－46.9=24.5=－14.7=－9.78=－4.89MCBMCDMCF=3.4=1.7ABCDEF5m4m4m4m2m43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)位移不是真值!!5、回代6、画M图MBAMBCMBE第三十六页，共103页。例3.1.位移法未知量未知量：

2.杆端弯矩表达式3.建立位移方程取出B结点:……①……②LLqFP2EIEIABC第三十七页，共103页。求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得：……②后面的工作就省略了。

第三十八页，共103页。例4.1.未知量2个：—位移法方程①2.BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆：端弯矩表达式：3.建立位移法方程取B结点由:qEI2EIABCFPLL/2L/2第三十九页，共103页。求FQBA,取BA杆,由把FQBA代入②式,得:----位移法方程②……②取BC截面由:FQBAqFQABMABMBABA第四十页，共103页。小结（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移)思路与方法基本相同；（2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，在具体作法上增加了一些新内容：

▲在基本未知量中，要含结点线位移；

▲在杆件计算中，要考虑线位移的影响；

▲在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。第四十一页，共103页。§7.5

基本体系和典型方程法2.建立基本体系（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂，

阻止刚结点转动（不能阻止移动）；（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆，阻止结点线位移（移动）。一、位移法基本体系1.基本体系——单跨超静定梁的组合体用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待。经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。第四十二页，共103页。例.建立图示结构位移法的基本体系。

未知量2个：基本体系

在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。在有线位移的结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生线位移。EIEIABCLqLq原结构第四十三页，共103页。第四十四页，共103页。第四十五页，共103页。二、利用基本体系建立位移法方程锁住——将原结构转换成基本体系。把原结构“拆成”孤立的单个超静定杆件；放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁住”的结点发生与原结构相同的转角或线位移。2.位移法典型方程的建立与求解1.基本原理——先锁、后松。第四十六页，共103页。EIEIABCqLL

原结构EIEIABCq

基本体系3i4i2i

M1图×Z1

M2图×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP图==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有约束反力产生，而三个图中的反力加起来应等于零。qL28第四十七页，共103页。++=k11k21F1PF2Pk12附加刚臂和链杆上产生的反力EIEIABCq

基本体系Z1Z2k22

M2图×Z2Z2=16EIL26EIL2qL28

MP图qL28

M1图×Z1Z1=13i4i2i第四十八页，共103页。

位移法典型方程由反力互等定理可知：在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加反力。第四十九页，共103页。求系数和自由项：取各个弯矩图中的结点或截面利用平衡原理求得。由M1图：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA由M2图：第五十页，共103页。由MP图：把系数和自由项代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0第五十一页，共103页。用基本体系求内力的计算步骤:1、确定未知量，画出位移法的基本体系，2、建立位移法的典型方程，3、画出M1、…MP图，4、求出系数和自由项，5、代入解方程，得到结点位移，6、按下式画弯矩图：第五十二页，共103页。如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：其中：是主系数，永远是正的。是副系数，有正有负。由反力互等定理可知：——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移后，在第i个结点位移处产生的反力。第五十三页，共103页。【例1】用位移法计算图(a)所示结构，并作内力图。已知各杆EI为常数。【解】（1）在结点B加一刚臂得基本结构(图(b))，只有一个未知量Z1。（2）位移法典型方程为k11Z1+F1P=0（3）求系数和自由项绘M1图(图(c))，求得k11=3i+4i=7i绘MP图(图(d))，求得F1P=5-40=-35kN·m第五十四页，共103页。第五十五页，共103页。（4）求未知量Z1

将k11、F1P之值代入典型方程，得

7iZ1-35=0故Z1=5/i（5）用叠加法绘最后弯矩图(图(e))。（6）绘制剪力、轴力图。第五十六页，共103页。【例2】用位移法计算图(a)所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为l，EI为常数。【解】（1）基本结构如图(b)所示。（2）位移法方程为k11Z1+F1P=0

（3）求系数和自由项绘M1图(图(c))，求得k11=4i+4i+3i=11i如图(d)所示，结点D被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即MP=0。第五十七页，共103页。第五十八页，共103页。截取结点D(图(d))，由结点力矩平衡条件∑MD=0，得

F1P+m=0故F1P=-m若外力偶m是逆时针方向的，则F1P=+m写成一般式，当结点受外力偶作用时：F1P=m当外力偶为顺时针时m取负号，为逆时针时m取正号。解方程，求Z1：

Z1=-F1P/k11=m/11i第五十九页，共103页。按叠加法绘最后弯矩图(图(e))：

M=M1Z1+MP=M1Z1当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：

F1P=∑M固端+m式中：外力偶为顺时针时，m取负号；反之，m取正号。第六十页，共103页。第六十一页，共103页。第六十二页，共103页。第六十三页，共103页。【例3】用位移法计算图(a)所示排架，并绘M图【解】基本结构如图(b)所示，有一个基本未知量Z1。位移法方程为k11Z1+F1P=0绘M1图如图(c)所示，得k11=∑3i/l2=12i/l2绘MP图如图(d)所示。得F1P=-3ql/4将k11、F1P之值代入位移法方程，解得

Z1=-F1P/k11=ql3/16i按叠加法绘最后弯矩图。第六十四页，共103页。第六十五页，共103页。第六十六页，共103页。【例4】用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图。【解】此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移，其基本结构如图(b)所示。列位移法典型方程：

k11Z1+k12Z2+F1P=0

k21Z1+k22Z2+F2P=0分别绘出M1图(c)、M2图(d)和MP图(e)。各系数和自由项分别计算如下：第六十七页，共103页。第六十八页，共103页。

k11=4i+8i=12i

k21=k12=4i

k22=8i+6i+4i=18i

F1P=-26.67-10=-36.67kN·m

F2P=26.67-30=-3.33kN·m将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得Z1=3.23/iZ2=-0.53/i按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图(f)所示。第六十九页，共103页。【例5】用位移法计算图(a)所示刚架，并绘M图【解】此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移Z2。基本体系如图(b)所示。根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立位移法方程如下：

k11Z1+k12Z2+F1P=0

k21Z1+k22Z2+F2P=0分别绘出M1图(c)、M2图(d)和MP图(e)。第七十页，共103页。第七十一页，共103页。由M1图：k11=3i+4i=7i由M2图：k12=-3i/2由MP图:F1P=0

求k21可在M1图上经二柱顶引截面，根据柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图2(a))，由∑X=0

k21-QCD=0故k21=QCD=k12第七十二页，共103页。图2第七十三页，共103页。为求k22，可在M2图上引截面，由隔离体(图2(b))的平衡条件∑X=0，可推出计算公式如下：

对于本例：同理可求得F2P，由MP图：F2P=-60kN第七十四页，共103页。将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得

Z1=20.87/iZ2=97.39/i按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图(f)所示。第七十五页，共103页。小结（1）确定基本未知量，取基本体系。位移法的解题步骤与方法同力法相比较：力法：多余未知力；位移法：未知角位移、线位移。未知量力法——静定结构；位移法——单跨超静定梁的组合体。基本体系第七十六页，共103页。（3）作MP、Mi图，求系数和自由项力法：先作出静定结构分别在载荷FP、多余未知力作用下的弯矩图MP、Mi

；然后应用图乘法求出系数和自由项：ΔiP、δij、δii；（2）建立典型方程建立方程条件力法：去掉多余约束处的位移条件；位移法：附加约束上约束反力的平衡条件。方程的性质力法：变形协调方程；位移法：平衡方程。

第七十七页，共103页。位移法：先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（Zi=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表）；然后利用结点或截面的平衡，求出附加刚臂中的反力矩和附加链杆中的反力，即位移法的系数和自由项：Fip、k

ij、k

ii。（4）解典型方程，求基本未知量。（5）绘制最后内力图——采用叠加法。力法：位移法：第七十八页，共103页。§7.6

对称结构的计算对于对称结构用位移法求解时，可以取半边结构进行计算，所以下面先介绍半边结构的取法。以单跨刚架为例，对称点C的位移和内力如下：1.奇数跨对称结构在对称荷载作用下变形正对称，对称轴截面不能水平移动，也不能转动，但是可以竖向移动。取半边结构时可以用滑动支座代替对称轴截面。对称轴截面上一般有弯矩和轴力，但没有剪力。第七十九页，共103页。2.偶数跨对称刚架在对称荷载作用下以双跨刚架为例，对称点C的位移和内力如下：CB变形正对称，对称轴截面无水平位移和角位移，又因忽略竖柱的轴向变形，故对称轴截面也不会产生竖向线位移，可以用固定端支座代替。中柱无弯曲变形，故不会产生弯矩和剪力，但有轴力。对称轴截面对梁端来说一般存在弯矩、轴力和剪力，对柱端截面来说只有轴力。第八十页，共103页。3.奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下以单跨刚架为例，对称点C的位移和内力如下：FPFP变形反对称，对称轴截面左半部分梁向下弯曲，右半部分梁向上弯曲，由于结构是一个整体，在对称轴截面C处不会上下错开，故对称轴截面C在竖直方向不会移动，但是会发生水平移动和转动，故可用链杆支座代替。对称轴截面C上无弯矩和轴力，但一般有剪力。第八十一页，共103页。4.偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下以两跨刚架为例：图1FPFP变形反对称，中柱在左侧荷载作用下受压，在右侧荷载作用下受拉，二者等值反向，故总轴力等于零，对称轴截面不会产生竖向位移，但是会发生水平移动和转动，是由中柱的弯曲变形引起的。中柱由左侧荷载和右侧荷载作用产生的弯曲变形的方向和作用效果相同，故中柱有弯曲变形并产生弯矩和剪力，取半边结构时可取原结构对称轴竖柱抗弯刚度的一半来计算。第八十二页，共103页。小结（1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；（2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；（3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；（4）在对称结构计算中，对取的半边结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。第八十三页，共103页。例1.利用对称性计算图示结构，EI为常数。解：由于有两根对称轴，可以取1/4

刚架进行计算。原结构1.未知量：2.杆端弯矩表达式：LqqLACBD基本体系qAEFL/2L/2第八十四页，共103页。……①3.建立位移法方程4.解方程，得：5.回代，得杆端弯矩：6.画弯矩图qL224qL224qL224qL224qL212M图

第八十五页，共103页。例2.利用对称性计算图示结构。所有杆长均为L，EI也均相同。原结构解：1.由于该结构的反力是静定的，求出后用反力代替约束。

2.该结构有两根对称轴，因此把力变换成对称与反对称的。==原结构=对称+反对称FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+第八十六页，共103页。

对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。

反对称情况，梁发生相对错动，因此会产生弯矩，但左右两半是对称的，可取半刚架计算。由于对称，中柱弯矩为零，因此可以不予考虑。原结构FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2FP/2FP/2FP/2第八十七页，共103页。反对称情况的半刚架：

此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继续可取半刚架。

对此进行求解……①

…②1.未知量：2.杆端弯矩：3.建立位移法方程：反对称=FP/4FP/4FP/4ABCFP/4FQAB第八十八页，共103页。§7.6

其它各种情况的处理一、支座移动时的计算例：图示结构的A支座发生了一个转角，用位移法求解。1.未知量：解：

未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把支座移动看作是一种广义的荷载。2.杆端弯矩：LBACEIEIL第八十九页，共103页。3.建立位移法方程……①取BC截面：……②FQBABC第九十页，共103页。二、温度发生变化时的计算例.图示结构的温度较竣工时