六年级奥数定义新运算与答案解析

六年级奥数定义新运算与答案解析六年级奥数定义新运算与答案解析六年级奥数定义新运算与答案解析V:1.0精细整理，仅供参考六年级奥数定义新运算与答案解析日期：20xx年X月定义新运算1.规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5=。2.如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时,a=。3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=。4.已知a,b是任意有理数,我们规定:a⊕b=a+b-1,,那么。5.x为正数,<x>表示不超过x的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是。6.如果a⊙b表示,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=。7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5=。8.规定一种新运算“※”:a※b=.如果(x※3)※4=421200,那么x=。9.对于任意有理数x,y,定义一种运算“※”，规定:x※y=,其中的表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是。10.设a,b为自然数,定义a△b。(1)计算(4△3)+(8△5)的值；(2)计算(2△3)△4；(3)计算(2△5)△(3△4)。11.设a，b为自然数，定义a※b如下:如果a≥b，定义a※b=a-b，如果a<b，则定义a※b=b-a。(1)计算:(3※4)※9；(2)这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a※b=b※a;②(a※b)※c=a※(b※c)。12.设a,b是两个非零的数,定义a※b。(1)计算(2※3)※4与2※(3※4)。(2)如果已知a是一个自然数，且a※3=2,试求出a的值。13.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b。比如:10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。(1)求12⊙21,5⊙15；(2)说明，如果c整除a和b,则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；(3)已知6⊙x=27,求x的值。答案一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）规定：a※b=（b+a）×b，那么（2※3）※5=100．考点：定义新运算。分析：根据a※b=（b+a）×b，得出新的运算方法，再根据新的运算方法解答（2※3）※5的值．解答：解：因为，2※3=（3+2）×3=15，所以，（2※3）※5=15※5=（5+15）×5=100，故答案为：100．点评：解答此题的关键是，根据所给的等式，找出新的运算方法，再运用新的运算方法，解答出要求式子的值．2．（3分）如果a△b表示（a﹣2）×b，例如3△4=（3﹣2）×4=4，那么，当a△5=30时，a=8．考点：定义新运算。分析：根据“a△b表示（a﹣2）×b，3△4=（3﹣2）×4=4，”得出新的运算方法，再用新的运算方法计算a△5=30，即可写成方程的形式，解此方程得出a的值．解答：解：因为，a△5=30，所以，（a﹣2）×5=30，5a﹣10=30，5a=40，a=8，故答案为：8．点评：解答此题的关键是根据题意找出新运算方法，再根据新运算方法解答即可．3．（3分）定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b．例如：4△6=（4，6）+[4，6]=2+12=14．根据上面定义的运算，18△12=42．考点：定义新运算。分析：根据新运算知道，求18△12，就是求18和12的最大公约数与最小公倍数的和，由此即可解答．解答：解：因为，18和12的最大公约数是6，最小公倍数是36，所以，18△12=（18，12）+[18，12]=6+36=42；故答案为：42．点评：解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可．4．（3分）已知a，b是任意有理数，我们规定：a⊕b=a+b﹣1，a⊗b=ab﹣2，那么4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]=98．考点：定义新运算。分析：根据a⊕b=a+b﹣1，a⊗b=ab﹣2，得出新的运算方法，再运用新的运算方法计算4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]的值．解答：解：4⊗[（6⊕8）⊕（3⊗5）]，=4⊗[（6+8﹣1）⊕（3×5﹣2）]，=4⊗[13⊕13]，=4⊗[13+13﹣1]，=4⊗25，=4×25﹣2，=98，故答案为：98．点评：解答此题的关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，用新运算方法解答即可．5．（3分）x为正数，＜x＞表示不超过x的质数的个数，如＜5.1＞=3，即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞的值是11．考点：定义新运算。分析：根据题意，先求出不超过19的质数的个数，再求出不超过93的质数的个数，而不超过1的质数的个数是0，所以＜4＞×＜1＞×＜8＞的值是0，因此即可求出要求的答案．解答：解：因为，＜19＞为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，＜93＞为不超过的质数，共24个，并且，＜1＞=0，所以，＜＜19＞+＜93＞+＜4＞×＜1＞×＜8＞＞，=＜＜19＞+＜93＞＞，=＜8+24＞，=＜32＞，=11，故答案为：11．点评：解答此题的关键是，根据题意，找出新的符号表示的意义，再根据定义的新运算，找出对应量，解答即可．6．（3分）如果a⊙b表示3a﹣2b，例如4⊙5=3×4﹣2×5=2，那么，当x⊙5比5⊙x大5时，x=6．考点：定义新运算。分析：根据所给的运算方法，将x⊙5比5⊙x大5写成方程的形式，解答方程即可．解答：解：由x⊙5﹣5⊙x=5，可得：（3x﹣2×5）﹣（3×5﹣2x）=5，5x﹣25=5，x=6，故答案为：6．点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可．7．（3分）如果1※4=1234，2※3=234，7※2=78，那么4※5=45678．考点：定义新运算。分析：根据“1※4=1234，2※3=234，7※2=78”，得出新的运算方法：※的前一个数字是等号后面数的第一个数字，※后面的数字表示连续数的个数，是从※前面的数开始连续，然后运用新的运算方法计算4※5的值即可．解答：解：由于1※4=1234，2※3=234，7※2=78，所以4※5=45678；故答案为：45678．点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可．8．（3分）我们规定：符号○表示选择两数中较大数的运算，例如：5○3=3○5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3．请计算：=．考点：定义新运算。分析：根据符号○表示选择两数中较大数的运算，符号△表示选择两数中较小数的运算，得出新的运算方法，用新的运算方法，计算所给出的式子，即可得出答案．解答：解：○=○=，0.625△=△=，△=△=，О2.25=О=，所以：==；故答案为：．点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，解答即可．9．（3分）规定一种新运算“※”：a※b=a×（a+1）×…×（a+b﹣1）．如果（x※3）※4=421200，那么x=2．考点：定义新运算。分析：先根据“a※b=a×（a+1）×…×（a+b+1）”，知道新运算“※”的运算方法，由于（x※3）※4=421200，这个式子里有两步新运算，所以令其中的一步运算式子为y，再根据新的运算方法，由此即可求出要求的答案．解答：解：令x※3=y，则y※4=421200，又因为，421200=24×34×52×13=24×25×26×27，所以，y=24，即x※3=24，又因为，24=23×3=2×3×4，所以，x=2；故答案为：2．点评：解答此题的关键是，根据新运算方法的特点，只要将整数写成几个自然数连乘的形式，即可得出答案．10．（3分）对于任意有理数x，y，定义一种运算“※”，规定：x※y=ax+by﹣cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1※2=3，2※3=4，x※m=x（m≠0），则m的数值是4．考点：定义新运算。分析：根据x※y=ax+by﹣cxy，找出新的运算方法，根据新的运算方法，将1※2=3，2※3=4，x※m=x写成方程的形式，即可解答．解答：解：由题设的等式x※y=ax+by﹣cxy及x※m=x（m≠0），得a•0+bm﹣c•0•m=0，所以bm=0，又m≠0，故b=0，因此x※y=ax﹣cxy，由1※2=3，2※3=4，得，解得a=5，c=1，所以x※y=5x﹣xy，令x=1，y=m，得5﹣m=1，故m=4；故答案为：4．点评：解答此题的关键是，根据题意找出新的运算方法，再根据新的运算方法，列式解答即可．二、解答题（共4小题，满分0分）11．设a，b为自然数，定义a△b=a2+b2﹣ab．（1）计算（4△3）+（8△5）的值；（2）计算（2△3）△4；（3）计算（2△5）△（3△4）．考点：定义新运算。分析：根据“a△b=a2+b2﹣ab”得出新的运算方法，然后运用新的运算方法进行计算即可．解答：解：（1）（4△3）+（8△5），=（42+32﹣4×3）+（82+52﹣8×5），=1++49，=62；（2）（2△3）△4，=（22+32﹣2×3）△4，=7△4，=72+42﹣7×4，=37；（3）（2△5）△（3△4），=（22+52﹣2×5）△（32+42﹣3×4），=19△13，=192+132﹣19×13，=283；答：（1）62，（2）37，（3）283．点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法解答即可．12．设a，b为自然数，定义a※b如下：如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a．（1）计算：（3※4）※9；（2）这个运算满足交换律吗满足结合律吗也是就是说，下面两式是否成立①a※b=b※a；②（a※b）※c=a※（b※c）．考点：定义新运算。分析：（1）根据“如果a≥b，定义a※b=a﹣b，如果a＜b，则定义a※b=b﹣a，”得出新的运算方法，再利用新的运算方法计算（3※4）※9的值即可；（2）要证明这个运算是否满足交换律和满足结合律，也就是证明①和②这两个等式是否成立．解答：解：（1）（3※4）※9=（4﹣3）※9=1※9=9﹣1=8；（2）因为表示a※b表示较大数与较小数的差，显然a※b=b※a成立，即这个运算满是交换律，但一般来说并不满足结合律，例如：（3※4）※9=8，而3※（4※9）=3※（9﹣4）=3※5=5﹣3=2，所以，这个运算满足交换律，不满足结合律；答：这个运算满足交换律，不满足结合律．点评：解答此题的关键是，根据所给出的式子，找出新的运算方法，再根据新的运算方法解答即可．13．设a，b是两个非零的数，定义a※b=．（1）计算（2※3）※4与2※（3※4）．（2）如果已知a是一个自然数，且a※3=2，试求出a的值．考点：定义新运算。分析：（1）根据a※b=，找出新的运算方法，再根据新的运算方法，计算（2※3）※4与2※（3※4）即可；（2）根据新运算方法将a※3=2，转化成方程的形式，再根据a是自然数，即可求出a的值．解答：（1）按照定义有2※3=，3※4=，于是（2※3）※4=※4=，2※（3※4）=2※；（2）由已知得①若a≥6，则≥2，从而与①矛盾，因此a≤5，对a=1，2，3，4，5这5个可能的值，一一代入①式中检查知，只有a=3符合要求．点评：解答此题的关键是根据所给的式子，找出新运算的运算方法，再用新运算方法计算要求的式子即可．14．定义运算“⊙”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b．比如：10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70﹣2=68．（1）求12⊙21，5⊙15；（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；（3）已知6⊙x=27，求x的值．考点：定义新运算。分析：（1）根据新的定义运算，先求出12与21的最小公倍数和最大公约数，5与15的最小公倍数和最大公约数，问题即可解决；（2）根据整除的定义及公约数、最大公约数与最小公倍数之间的关系进行说明；（3）由于运算“⊙”没有直接的表达式，解这个方程有一些困难，我们设法逐步缩小探索范围，即根据6与x的最小公倍数不小于27+1，不大于27+6，由此即可得出答案．解答：解：（1）因为，12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84，3，所以，12⊙21=84﹣3=81，同样道理5⊙15=15﹣5=10；（2）如果c整除a和b，那么c是a和b的公约数，则c整除a，b的最大公约数，显然c也整除a，b最小公倍数，所以c整除最小公倍数与最大公约的差，即c