上海交通大学2018级《高等数学》第二学期期末考试

J-J-上海交通大学2018级《高等数学》第二学期期末考试一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.设u(x,y)=(x+y)2+x-y+jx+y屮(t)dt，其中：屮(t)具有一阶导数，则()x-yA)B)d2u_d2udx2dA)B)d2u_d2udx2dy2dx2dxdydx2dy2d2u_d2udy2dxdy解u_2(x+y)+1+屮(x+y)-屮(x-y),u_2+屮，(x+y)-屮，(x-y),xxxu_2(x+y)-1+屮(x+y)+屮(x-y),u_2+屮，(x+y)一屮，(x-y),yyy答案：A2.函数z_xy(3-x-y)的极值点是()(A)(0,0)；(B)(1,1)；(C)(3,0)；(D)(0,3).解1z_3y一2xy-y2,z_3x一2xy一x2,A、B、C、D都是驻点,xyz_-2y，z_3-2x-2y，z_-2x，xxxyyyAC-B2_4xy-(3-2x-2y)2>0，仅当(1,1)满足答案：B解2x,y对称，C对，D也对，单选题，故排除C，D,z_xy(3-x-y)«3xy,(x,y)«(0,0),z®3xy可正可负，不是极值点，答案：B3.设有空间区域曾：x2+y2+z2<皿,z>0与:x2+y2+z2<R2,x>0,y>0,z>0，贝0()2(A)JJJxdV_4为xdV；(B)JJJydV_4为ydV；Q1Q2n1Q2

(C)皿zdV=4皿zdV；(D)JJJxyzdV=4皿xyzdV・QiQ2Qio2解答案：C14.一个形如fbsinnx的级数，其和函数S(x)在(0，兀)上的表达式为石(兀-x),,n2n=1TOC\o"1-5"\h\z则S(x)在x=处的值S()=()22兀兀兀兀(A)—；(B)——；(C)—；(D)——.4422解S(孚)=S(普-2)=S(-号)=-S(专)=-訴一2兀)=-4兀答案：B5.若级数f上^收敛，则a的取值范围是()n=2na+(-1)n(A)a>0；(B)a>1；(C)a>1；(D)a>1・32f(-1)n=f(-1)n[na-(-1)n]=f(-1)nna-1n=2na+(-1)nn=2[na+(-1)n][na-(-1)n]n=2n2a一1f匕1竺=f(-1)n_^，a>0时收敛,n=2n2a-1n=2n2a-1fn=fn=2-1n2a-12a>1'即a>2时收敛'解ff解ff(x+1y|)dxdy=4ffydxdyDD1a=4f：dyf；-yydx=4f：y(1-y)dy=3答案：C二、填空题(每小题3分，共15分)6.设D={(x,y)|lxI+1y1<1}'则二重积分ff(x+1yl)dxdy=D7.向量场A=(x2-2y)i+(y2-2z)j+(z2-2x)k'贝0rotA=

解rotA=id解rotA=iddxx2-2ydy2-2zkddzz2一2x=（2,2,2）8.曲面z=4+Jy在点（1,9,4）处的切平面方程是:11解n=（-zx，-令1）=（一走'一右D，nU=（-1-6，1），或（3，1'一6）'切平面：3（x一1）+（y一9）一6（z一4）=0，或3x+y一6z+12=09.设C为球面x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0的交线，则Jx2ds=C112解Jx2ds=—J（x2+y2+z2）ds=—a2Jds=—a2・2a=-兀a33333CCC10.级数I芳的收敛域为:解I営二字+0,Ixl解I営二字+2,ixi=1，收敛域为：[-1'1]+8,1x卜1三、计算下列各题（第1小题6分，第2小题8分,共14分）11•设z=z（x,y）由方程F（2x-3z,2y-z）=0所确定，其中：F是可微函数，求dz.dz.解1dz=zdx+zdyxy2F2F2Fdx+2Fdydx+-Fdy=竺—兰F2dy-3F一F-3F一F丿3F+F121212解2尸1・（2dX—3dz）+F2（2dy一dz）=解212d=2Fdx+2FdyZ=3f1+F；

12.求二重积分：J2dx[xeydy+J1dx[xeydy.TOC\o"1-5"\h\z111x422x解I=J1dyJy2eydxy223e11=J1y（e-ey）dy=—e21822四、计算下列各题（每小题10分，共30分）13.设曲面Z为柱面x2+z2=1介于平面y=0和x+y=2之间部分，求JJzdS.分析：求柱面X2+Z2=1部分的面积1.用公式2.用公式I1.用公式2.用公式I=JJZ\；1+zx2+z2dxdy,Dxy用S:z=±\-1-x2求导，VI=JJzJ1+x2+x2dydz，yz用S:x=±\1-z2求导,3.不能用公式：I=JJz3.不能用公式：I=JJz、；1+yx2+yz2dxdz，用Dxz解Z1:z=\1-x2,Z2:z=-\1-x2，D={(x,y)|0<y<2-x,-1<x<1}JJzdS=JJzdS+JJzdSZZ1Z2=JJ\1-x2dS+JJ-X1-x2dSZ1求导=0=0忑丐=J+（千；希尸=吉］14•计算：c汙+畔dy，其中C为上半圆周y=R，方向从3到（0,0），r=、x2+（1-y）2.dP32x(1-y)_dQ32x(1-y)解1=——•——解1[x2+(1-y[x2+(1-y)2]2[x2+(1-y)2]2帰d+专dy吧0_Xd+专勿C刊0孟〃=F解2C:x=1+1cost,y=1sint,t:0t兀，22戶dx+0_ydy=I卩2曲zdCr3r32031C(+cost一sint)2221_11=(2+2cost-sint)2=(1_-=)15•计算：fj(_2xy一y)dydz+(y2_1)dzdx+(x2+z)dxdy,其中，工为曲面z=2-存2+y2在xoy平面上方部分的上侧。解1Gauss公式：取平面域乙』x2+y2-4,1[z=0ff=ff+ff为z+z1_z1+=jffdxdydz+ffx2dxdy=-兀22・2+ffx2dxdy=8兀+1ff(x2+y2)dxdyTOC\o"1-5"\h\z332x2+y2<4x2+y2<4812420=—兀+—2兀•=兀3243解2合一投影法：工在xoy平面上投影区域Dy:x2+y2<4,n=(x,y,1),x2+y2\・x2+y2

JJ(-2xy一y,y2-1,x2+z)-(X,y,1)必労Dxyx2+y2x2+y2=jj(-2x2y-xy+上二+x2+2-宀认yx2+y2V4x2+y2\x2+y2=JJ(x2+2-、：'x2+y2)dxdyx2+y2<4=$d0J；[2+r2cos20-r]rdr=J2[4+=J2[4+41+cos202__]d020=冗3五、(本题8分)16.将函数f(x)=2arctanx+Jxet2dt展开为x的幂级数.02TOC\o"1-5"\h\z解1f\x)=+ex21+x2=2Z(-1)nx2〃+Z1x2"

n=0n=0n!2n+1x2n+1(-1<x<1)f(x)=J2n+1x2n+1(-1<x<1)0n=0n!解2f(x)=Jx2dx+Jxex2dx01+x20=Jx2[Z(-1)nx2n]dx+Jx[Z—x2”]dx0n=00n=0n!=Z[丄+2(-1)n]1x2n+1(-1<x<1)n!2n+1n=0六、(本题10分)17.求数项级数Z(-1)n空的和.n=13n解Z(-1)nn2=Zn2(¥)“,n=13nn=13S（x）=£n2xn=x[Xnxn]'=x[x（£xn），]'n=1n=1n=1=x[x（=x[x（x1^x）']'=x（1+x）（1-x）3-1VxV1n=1七、(本题8分)18.设f(x)在x=0的邻域内具有二阶连续导数lim了(x)=0,f'(x)>m>0。xtOx证明：级数£(-1)n-1f(丄)收敛.n=1⑷设a,b为任意常数，试讨论级数：吋(却-妙(吉)+吋(吉)-妙(令…吋(总1)-妙(吉…的敛散性。解(1)由lim型=0得：f(0)=f'(0)=0，再由f-(x)>m>0得:xt0x当x>0时，f(x)>0，f(x)是单调增函数，且limf(x)=0，xt0故f(-L)单调减且趋于0,所以£(-1)n-1f(丄)收敛。nn（2）当a=b时，级数=a£（-1）n-1f（岂），收敛。n=1Jn当a工b时，2n一1S=a中一bf烷）+“（却一bf