2021年河北省唐山市汇英中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021年河北省唐山市汇英中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.经过抛物线y2=4x的焦点弦的中点轨迹方程是（

）A．y2=x－1

B．y2=2(x－1)

C．y2=x－

D.y2=2x－1参考答案：B2.已知向量,,且，则的值为(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C3.函数的定义域是（） A．

B．（1，2）

C．（2，+∞）

D．（－∞，2）

参考答案：B略4.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，、，两点，若，则等于（

）

A．4p

B．5pC．6p

D．8p参考答案：A略5.函数在点(0,1)处的切线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是参考答案：D7.=（

）A．1 B．e-1 C．e D．e+1参考答案：C8.在下面的四个图象中，其中一个图象是函f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于(

)．A.

B．－

C.

D．－或参考答案：9.过点的直线被圆所截得的弦长为，则直线的方程为（

）

A.或

B.或

C.或

D.或参考答案：C略10.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。A.假设三内角都不大于60度；B.假设三内角至多有两个大于60度；C.假设三内角至多有一个大于60度；D.假设三内角都大于60度。参考答案：D【分析】根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D.【点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知一个回归直线方程为＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则＝__________.参考答案：58.512.已知，是平面上的两点，若曲线上至少存在一点，使，则称曲线为“黄金曲线”．下列五条曲线：①； ②；

③；④； ⑤.其中为“黄金曲线”的是

．（写出所有“黄金曲线”的序号）参考答案：④⑤13.定积分=

参考答案：略14.过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y－2=0上的圆的方程为__________．参考答案：略15.已知点P是圆x2+y2=1上的动点，Q是直线l：3x+4y﹣10=0上的动点，则|PQ|的最小值为

．参考答案：1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．【解答】解：圆心（0，0）到直线3x+4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：1【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是基础题．16.函数与函数的图象的两个交点为，则

▲

.参考答案：略17.设是双曲线的左右焦点，点P在双曲线上，且,则点P到x轴的距离为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知圆的极坐标方程为：.（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点在该圆上，求的最大值和最小值.参考答案：（1）（2）最大值为6，最小值为2【分析】（1）将先由两角差的余弦公式展开，再化为普通方程。（2）由题可知圆的参数方程为（为参数），因为点在该圆上，所以，所以可得，从而得出答案。【详解】（1）由圆的极坐标方程为：可得，即所以直角坐标方程（2）由（1）可知圆的方程为所以圆的参数方程为，（为参数）因为点在该圆上，所以所以因为的最大值为，最小值为所以的最大值为，最小值为【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点，学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化，与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值。19.求证：++＜2．参考答案：证明：要证成立，只需证成立，即证成立，只需证5×9×8＜192成立，因为5×9×8=360，192=361，显然5×9×8＜192成立，所以，．略20.已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中．（1）求xn与xn+1的关系式；（2）求证：{}是等比数列；（3）求证：（﹣1）x1+（﹣1）2x2+（﹣1）3x3+…+（﹣1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．参考答案：【考点】数列递推式；等比关系的确定；不等式的证明．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据点An的坐标表示出斜率kn，代入求得xnxn+1=xn+2整理后即可求得xn与xn+1的关系式；（2））记，把（1）中求得xn与xn+1的关系式代入可求得an+1=﹣2an推断数列{an}即：{}是等比数列；（3）由（2）可求得的表达式，进而求得xn，进而看n为偶数时，求得（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn=＜，进而可证（﹣1）x1+（﹣1）2x2+（﹣1）3x3+…+（﹣1）nxn＜1；再看n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，则可证出：（﹣1）x1+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn＜＜1，最后综合原式可证．【解答】解：（1）过C：上一点An（xn，yn）作斜率为kn的直线交C于另一点An+1，则，于是有：xnxn+1=xn+2即：．（2）记，则，因为，因此数列{}是等比数列．（3）由（2）知：，．①当n为偶数时有：（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn==，于是在n为偶数时有：．1在n为奇数时，前n﹣1项为偶数项，于是有：（﹣1）x1+（﹣1）2x2++（﹣1）n﹣1xn﹣1+（﹣1）nxn．综合①②可知原不等式得证．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了学生推理能力和基本的运算能力．21.（本小题满分16分）设圆，动圆.（1）求证：圆、圆相交于两个定点；（2）设点P是圆上的点，过点P作圆的一条切线，切点为，过点P作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点P，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由.参考答案：解（1）将方程化为，令得或，所以圆过定点和，……………4分将代入，左边=右边，故点在圆上，同理可得点也在圆上，所以圆、圆相交于两个定点和；……………6分（2）设，则，…………8分，…………………10分即，整理得（*）………………12分存在无穷多个圆，满足的条件为（1）有解，…14分

而（1）无解，故不存在点P，使无穷多个圆，满足.………………16分22.已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．（1）求的极值；（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；（3）当时，对于，试比较与的大小，并加以证明．参考答案：(1)函数的定义域为，．当时，，在上为增函数，没有极值；当时，，