复变函数14套题目和答案

第32页共32页复变函数14套题目和答案《复变函数论》试题库《复变函数》考试试题〔一〕一、判断题〔20分〕：1.假设f(z)在z0的某个邻域内可导，那么函数f(z)在z0解析.()2.有界整函数必在整个复平面为常数.()3.假设收敛，那么与都收敛.()4.假设f(z)在区域D内解析，且，那么〔常数〕.()5.假设函数f(z)在z0处解析，那么它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()6.假设z0是的m阶零点，那么z0是1/的m阶极点.()7.假设存在且有限，那么z0是函数f(z)的可去奇点.()8.假设函数f(z)在是区域D内的单叶函数，那么.()9.假设f(z)在区域D内解析,那么对D内任一简单闭曲线C.()10.假设函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，那么f(z)在区域D内恒等于常数.〔〕二.填空题〔20分〕1.__________.〔为自然数〕2._________.3.函数的周期为___________.4.设，那么的孤立奇点有__________.5.幂级数的收敛半径为__________.6.假设函数f(z)在整个平面上处处解析，那么称它是__________.7.假设，那么______________.8.________，其中n为自然数.9.的孤立奇点为________.10.假设是的极点，那么.三.计算题〔40分〕：1.设，求在内的罗朗展式.2.3.设，其中，试求4.求复数的实部与虚部.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：假如在内为常数，那么它在内为常数.2.试证:在割去线段的平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线上岸取正值的那支在的值.《复变函数》考试试题〔二〕1、判断题.〔20分〕1.假设函数在D内连续，那么u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.()2.cosz与sinz在复平面内有界.()3.假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0连续.()4.有界整函数必为常数.()5.如z0是函数f(z)的本性奇点，那么一定不存在.()6.假设函数f(z)在z0可导，那么f(z)在z0解析.()7.假设f(z)在区域D内解析,那么对D内任一简单闭曲线C.()8.假设数列收敛，那么与都收敛.()9.假设f(z)在区域D内解析，那么|f(z)|也在D内解析.()10.存在一个在零点解析的函数f(z)使且.()二.填空题.(20分)1.设，那么2.设，那么________.3._________.〔为自然数〕4.幂级数的收敛半径为__________.5.假设z0是f(z)的m阶零点且m》0，那么z0是的_____零点.6.函数ez的周期为__________.7.方程在单位圆内的零点个数为________.8.设，那么的孤立奇点有_________.9.函数的不解析点之集为________.10..三.计算题.(40分)1.求函数的幂级数展开式.2.在复平面上取上半虚轴作割线.试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点处的值.3.计算积分：，积分途径为〔1〕单位圆〔〕的右半圆.4.求.四.证明题.(20分)1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是在D内解析.2.试用儒歇定理证明代数根本定理.《复变函数》考试试题〔三〕一.判断题.(20分).1.cosz与sinz的周期均为.()2.假设f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件,那么f(z)在z0解析.()3.假设函数f(z)在z0处解析，那么f(z)在z0连续.()4.假设数列收敛，那么与都收敛.()5.假设函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，那么数f(z)在区域D内为常数.()6.假设函数f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某个邻域内可导.()7.假如函数f(z)在上解析,且,那么.〔〕8.假设函数f(z)在z0处解析，那么它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.()9.假设z0是的m阶零点,那么z0是1/的m阶极点.()10.假设是的可去奇点，那么.()二.填空题.(20分)1.设，那么f(z)的定义域为___________.2.函数ez的周期为_________.3.假设，那么__________.4.___________.5._________.〔为自然数〕6.幂级数的收敛半径为__________.7.设，那么f(z)的孤立奇点有__________.8.设，那么.9.假设是的极点，那么.10..三.计算题.(40分)1.将函数在圆环域内展为Laurent级数.2.试求幂级数的收敛半径.3.算以下积分：，其中是.4.求在|z|<1内根的个数.四.证明题.(20分)1.函数在区域内解析.证明：假如在内为常数，那么它在内为常数.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，使得当时，证明是一个至多n次的多项式或一常数。《复变函数》考试试题〔四〕一.判断题.(20分)1.假设f(z)在z0解析，那么f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件.〔〕2.假设函数f(z)在z0可导，那么f(z)在z0解析.〔〕3.函数与在整个复平面内有界.〔〕4.假设f(z)在区域D内解析，那么对D内任一简单闭曲线C都有.〔〕5.假设存在且有限，那么z0是函数的可去奇点.〔〕6.假设函数f(z)在区域D内解析且，那么f(z)在D内恒为常数.〔〕7.假如z0是f(z)的本性奇点，那么一定不存在.〔〕8.假设，那么为的n阶零点.〔〕9.假设与在内解析，且在内一小弧段上相等，那么.〔〕10.假设在内解析，那么.〔〕二.填空题.(20分)1.设，那么.2.假设，那么______________.3.函数ez的周期为__________.4.函数的幂级数展开式为__________5.假设函数f(z)在复平面上处处解析，那么称它是___________.6.假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_____________.7.设，那么.8.的孤立奇点为________.9.假设是的极点，那么.10._____________.三.计算题.(40分)1.解方程.2.设，求3..4.函数有哪些奇点？各属何类型〔假设是极点，指明它的阶数〕.四.证明题.(20分)一.证明：假设函数在上半平面解析，那么函数在下半平面解析.2.证明方程在内仅有3个根.《复变函数》考试试题〔五〕二.判断题.〔20分〕1.假设函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，那么它在D内有任意阶导数.〔〕2.假设函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，那么在区域D内恒等于常数.〔〕3.假设f(z)在区域D内解析，那么|f(z)|也在D内解析.〔〕4.假设幂级数的收敛半径大于零，那么其和函数必在收敛圆内解析.〔〕5.假设函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，那么f(z)在z0解析.〔〕6.假设存在且有限，那么z0是f(z)的可去奇点.〔〕7.假设函数f(z)在z0可导，那么它在该点解析.〔〕8.设函数在复平面上解析，假设它有界，那么必为常数.〔〕9.假设是的一级极点，那么.〔〕10.假设与在内解析，且在内一小弧段上相等，那么.〔〕二.填空题.〔20分〕1.设，那么.2.当时，为实数.3.设，那么.4.的周期为___.5.设，那么.6..7.假设函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，那么称它是D内的_____________。8.函数的幂级数展开式为_________.9.的孤立奇点为________.10.设C是以为a心，r为半径的圆周，那么.〔为自然数〕三.计算题.(40分)1.求复数的实部与虚部.2.计算积分：，在这里L表示连接原点到的直线段.3.求积分：，其中0<a<1.4.应用儒歇定理求方程，在|z|<1内根的个数，在这里在上解析，并且.四.证明题.(20分)1.证明函数除去在外，处处不可微.2.设是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，使得当时，证明:是一个至多n次的多项式或一常数.《复变函数》考试试题〔六〕二、判断题〔30分〕：1.假设函数在解析，那么在连续.〔〕2.假设函数在处满足Caychy-Riemann条件，那么在解析.〔〕3.假设函数在解析，那么在处满足Caychy-Riemann条件.〔〕4.假设函数在是区域内的单叶函数，那么.〔〕5.假设在单连通区域内解析，那么对内任一简单闭曲线都有.〔〕6.假设在区域内解析，那么对内任一简单闭曲线都有.〔〕7.假设，那么函数在是内的单叶函数.〔〕8.假设是的阶零点，那么是的阶极点.〔〕9.假如函数在上解析，且,那么.〔〕10..〔〕三、填空题〔20分〕1.假设，那么___________.2.设，那么的定义域为____________________________.3.函数的周期为_______________________.4._______________________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.假设是的阶零点且，那么是的____________零点.7.假设函数在整个复平面处处解析，那么称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10.公式称为_____________________.四、计算题〔30分〕1、.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、求的值.五、证明题〔20分〕2、方程在单位圆内的根的个数为6.3、假设函数在区域内解析，等于常数，那么在恒等于常数.4、假设是的阶零点，那么是的阶极点.《复变函数》考试试题〔七〕一、判断题〔24分〕2.假设函数在解析，那么在的某个领域内可导.〔〕3.假设函数在处解析，那么在满足Cauchy-Riemann条件.〔〕4.假如是的可去奇点，那么一定存在且等于零.〔〕5.假设函数是区域内的单叶函数，那么.〔〕6.假设函数是区域内的解析函数，那么它在内有任意阶导数.〔〕7.假设函数在区域内的解析，且在内某个圆内恒为常数，那么在区域内恒等于常数.〔〕8.假设是的阶零点，那么是的阶极点.〔〕二、填空题〔20分〕1.假设，那么___________.2.设，那么的定义域为____________________________.3.函数的周期为______________.4._______________.5.幂级数的收敛半径为________________.6.假设是的阶零点且，那么是的____________零点.7.假设函数在整个复平面处处解析，那么称它是______________.8.函数的不解析点之集为__________.9.方程在单位圆内的零点个数为___________.10._________________.三、计算题〔30分〕1、求.2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分：，.四、证明题〔20分〕1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、假设函数在区域内解析，等于常数，那么在恒等于常数.3、假设是的阶零点，那么是的阶极点.五、计算题〔10分〕求一个单叶函数，去将平面上的上半单位圆盘保形映射为平面的单位圆盘《复变函数》考试试题〔八〕一、判断题〔20分〕1、假设函数在解析，那么在连续.〔〕2、假设函数在满足Cauchy-Riemann条件，那么在处解析.〔〕3、假如是的本性奇点，那么一定不存在.〔〕4、假设函数是区域内解析，并且，那么是区域的单叶函数.〔〕5、假设函数是区域内的解析函数，那么它在内有任意阶导数.〔〕6、假设函数是单连通区域内的每一点均可导，那么它在内有任意阶导数.〔〕7、假设函数在区域内解析且，那么在内恒为常数.〔〕9.存在一个在零点解析的函数使且.〔〕10.假如函数在上解析，且，那么.〔〕11.是一个有界函数.〔〕二、填空题〔20分〕1、假设，那么___________.2、设，那么的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、假设，那么_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、函数的幂级数展开式为______________________________.7、假设是单位圆周，是自然数，那么______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、假设，那么的孤立奇点有_________________.三、计算题〔30分〕1、求2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.四、证明题〔20分〕1、方程在单位圆内的根的个数为7.2、假设函数在区域内连续，那么二元函数与都在内连续.4、假设是的阶零点，那么是的阶极点.六、计算题〔10分〕求一个单叶函数，去将平面上的区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题〔九〕一、判断题〔20分〕1、假设函数在可导，那么在解析.〔〕2、假设函数在满足Cauchy-Riemann条件，那么在处解析.〔〕3、假如是的极点，那么一定存在且等于无穷大.〔〕4、假设函数在单连通区域内解析，那么对内任一简单闭曲线都有.〔〕5、假设函数在处解析，那么它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.〔〕6、假设函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，那么在区域内恒为常数.〔〕7、假设是的阶零点，那么是的阶极点.〔〕8、假如函数在上解析，且，那么.〔〕9、.〔〕10、假如函数在内解析，那么〔〕二、填空题〔20分〕1、假设，那么___________.2、设，那么的定义域为____________________________.3、函数的周期为______________.4、_______________.5、幂级数的收敛半径为________________.6、假设是的阶零点且，那么是的____________零点.7、假设函数在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，那么称它是______________.8、函数的不解析点之集为__________.9、方程在单位圆内的零点个数为___________.10、_________________.三、计算题〔30分〕1、2、设，其中，试求.3、设，求.4、求函数在内的罗朗展式.5、求复数的实部与虚部.6、利用留数定理计算积分.四、证明题〔20分〕1、方程在单位圆内的根的个数为6.2、假设函数在区域内解析，等于常数，那么在恒等于常数.7、假设是的阶零点，那么是的阶极点.五、计算题〔10分〕求一个单叶函数，去将平面上的带开区域保形映射为平面的单位圆盘.《复变函数》考试试题〔十〕一、判断题〔40分〕：1、假设函数在解析，那么在的某个邻域内可导.〔〕2、假如是的本性奇点，那么一定不存在.〔〕3、假设函数在内连续，那么与都在内连续.〔〕4、与在复平面内有界.〔〕5、假设是的阶零点，那么是的阶极点.〔〕6、假设在处满足柯西-黎曼条件，那么在解析.〔〕7、假设存在且有限，那么是函数的可去奇点.〔〕8、假设在单连通区域内解析，那么对内任一简单闭曲线都有.〔〕9、假设函数是单连通区域内的解析函数，那么它在内有任意阶导数.〔〕10、假设函数在区域内解析，且在内某个圆内恒为常数，那么在区域内恒等于常数.〔〕二、填空题〔20分〕：1、函数的周期为_________________.2、幂级数的和函数为_________________.3、设，那么的定义域为_________________.4、的收敛半径为_________________.5、=_________________.三、计算题〔40分〕：1、2、求3、4、设求，使得为解析函数，且满足。其中〔为复平面内的区域〕.5、求，在内根的个数《复变函数》考试试题〔十一〕一、判断题.〔正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分〕1．当复数时，其模为零，辐角也为零.〔〕2．假设是多项式的根，那么也是的根.〔〕3．假如函数为整函数，且存在实数，使得，那么为一常数.〔〕4．设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，那么对任意的，有.〔〕5．假设是函数的可去奇点，那么.〔〕二、填空题.〔每题2分〕1．_____________________.2．设，且，当时，________________.3．函数将平面上的曲线变成平面上的曲线______________.4．方程的不同的根为________________.5．___________________.6．级数的收敛半径为____________________.7．在〔为正整数〕内零点的个数为_____________________.8．函数的零点的阶数为_____________________.9．设为函数的一阶极点，且，那么_____________________.10．设为函数的阶极点，那么_____________________.三、计算题〔50分〕1．设。求，使得为解析函数，且满足.其中〔为复平面内的区域〕.〔15分〕2．求以下函数的奇点，并确定其类型〔对于极点要指出它们的阶〕.〔10分〕〔1〕；〔5分〕〔2〕.〔5分〕3．计算以下积分.〔15分〕〔1〕〔8分〕，〔2〕〔7分〕.4．表达儒歇定理并讨论方程在内根的个数.〔10分〕四、证明题〔20分〕1．设是上半复平面内的解析函数，证明是下半复平面内的解析函数.〔10分〕2．设函数在内解析，令。证明：在区间上是一个上升函数，且假设存在及〔〕，使，那么常数.〔10分〕《复变函数》考试试题〔十二〕二、判断题。〔正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分〕1．设复数及，假设或，那么称与是相等的复数。〔〕2．函数在复平面上处处可微。〔〕3．且。〔〕4．设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，那么存在，使得对任意的，有。〔〕5．假设函数是非常的整函数，那么必是有界函数。〔〕二、填空题。〔每题2分〕1．_____________________。2．设，且，当时，________________。3．假设，那么其关于变量的表达式为__________。4．以________________为支点。5．假设，那么_______________。6．________________。7．级数的收敛半径为________________。8．在〔为正整数〕内零点的个数为_______________。9．假设为函数的一个本质奇点，且在点的充分小的邻域内不为零，那么是的________________奇点。10．设为函数的阶极点，那么_____________________。三、计算题〔50分〕1．设区域是沿正实轴割开的平面，求函数在内满足条件的单值连续解析分支在处之值。〔10分〕2．求以下函数的奇点，并确定其类型〔对于极点要指出它们的阶〕，并求它们留数。〔15分〕〔1〕的各解析分支在各有怎样的孤立奇点，并求这些点的留数〔10分〕〔2〕求。〔5分〕3．计算以下积分。〔15分〕〔1〕〔8分〕，〔2〕〔7分〕。4．表达儒歇定理并讨论方程在内根的个数。〔10分〕四、证明题〔20分〕1．讨论函数在复平面上的解析性。〔10分〕2．证明：。此处是围绕原点的一条简单曲线。〔10分〕《复变函数》考试试题〔十三〕一、填空题．〔每题２分〕１．设，那么_____________________．２．设函数，，，那么的充要条件是_______________________．３．设函数在单连通区域内解析，那么在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________．４．设为的极点，那么____________________．５．设，那么是的________阶零点．６．设，那么在的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设，其中为正常数，那么点的轨迹曲线是_________________．８．设，那么的三角表示为_________________________．９．___________________________．１０．设，那么在处的留数为________________________．二、计算题．１．计算以下各题．〔９分〕(1)；(2);(3)2．求解方程．〔７分〕３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．〔８分〕４．计算积分．〔10分〕(1)，其中是沿由原点到点的曲线．(2)，积分途径为自原点沿虚线轴到，再由沿程度方向向右到．５．试将函数分别在圆环域和内展开为洛朗级数．〔８分〕６．计算以下积分．〔８分〕(1)；(2)．７．计算积分．〔８分〕８．求以下幂级数的收敛半径．〔６分〕(1)；(2)．９．讨论的可导性和解析性．〔６分〕三、证明题．１．设函数在区域内解析，为常数，证明必为常数．〔５分〕２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．〔５分《复变函数》考试试题〔十四〕一、填空题．〔每题２分〕１．设，那么___________________．２．设函数，，，那么的充要条件______________________．３．设函数在单连通区域内解析，那么在内沿任意一条简单闭曲线的积分_________________________．４．设为的可去奇点，____________________．５．设，那么是的________阶零点．６．设，那么在的邻域内的泰勒展式为_________________．７．设，其中为正常数，那么点的轨迹曲线是_________________．８．设，那么的三角表示为_________________________．９．___________________________．１０．设，那么在处的留数为________________________．二、计算题．１．计算以下各题．〔９分〕(1)；(2);(3)2．求解方程．〔７分〕３．设，验证是调和函数，并求解析函数，使之．〔８分〕４．计算积分，其中途径为〔１〕自原点到点的直线段；(2)自原点沿虚轴到，再由沿程度方向向右到．〔10分〕５．试将函数在的邻域内的泰勒展开式．〔８分〕６．计算以下积分．〔８分〕(1)；(2)．７．计算积分．〔６分〕８．求以下幂级数的收敛半径．〔６分〕(1)；(2)．９．设为复平面上的解析函数，试确定，，的值．〔６分〕三、证明题．１．设函数在区域内解析，在区域内也解析，证明必为常数．〔５分〕２．试证明的轨迹是一直线，其中为复常数，为实常数．〔５分〕试卷一至十四参考答案《复变函数》考试试题〔一〕参考答案8、判断题1．×2．√３．√４．√５．√6．√７．×８．×９．×10．×二．填空题1.；2.1；3.，；4.；5.16.整函数；7.；8.；9.0；10..三．计算题.1.解因为所以.2.解因为,.所以.3.解令,那么它在平面解析,由柯西公式有在内,.所以.4.解令,那么.故,.四.证明题.1.证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入(2)那么上述方程组变为.消去得,.1)假设,那么为常数.2)假设,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明的支点为.于是割去线段的平面内变点就不可能单绕0或1转一周,故能分出两个单值解析分支.由于当从支割线上岸一点出发,连续变动到时,只有的幅角增加.所以的幅角共增加.由所取分支在支割线上岸取正值,于是可认为该分支在上岸之幅角为0,因此此分支在的幅角为,故.《复变函数》考试试题〔二〕参考答案一.判断题.1．√２．×３．√４．√５．×6．×７．×８．√９．×10．×.二.填空题1.1，，；2.；3.；4.1；5..6.，.7.0；8.；9.；10.0.三.计算题1.解.2.解令.那么.又因为在正实轴去正实值，所以.所以.3.单位圆的右半圆周为,.所以.4.解=0.四.证明题.1.证明(必要性)令,那么.(为实常数).令.那么.即满足,且连续,故在内解析.(充分性)令,那么,因为与在内解析,所以,且.比拟等式两边得.从而在内均为常数,故在内为常数.2.即要证“任一次方程有且只有个根”.证明令,取,当在上时,有..由儒歇定理知在圆内,方程与有相同个数的根.而在内有一个重根.因此次方程在内有个根.《复变函数》考试试题〔三〕参考答案一.判断题1．×２．×３．√４．√５．√6．√７．√８．√９．√10．√.二.填空题.1.;2.;3.;4.1;5.;6.1;7.;8.;9.;10..三.计算题.1.解.2.解.所以收敛半径为.3.解令,那么.故原式.4.解令,.那么在上均解析,且,故由儒歇定理有.即在内,方程只有一个根.四.证明题.1.证明证明设在内.令.两边分别对求偏导数,得因为函数在内解析,所以.代入(2)那么上述方程组变为.消去得,.1),那么为常数.5.假设,由方程(1)(2)及方程有,.所以.(为常数).所以为常数.2.证明取,那么对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至屡次多项式或常数.《复变函数》考试试题〔四〕参考答案一.判断题.1．√２．×３．×４．×５．×6．√７．×８．×９．√10．√.二.填空题.1.,;2.;3.;4.;5.整函数;6.亚纯函数;7.0;8.;9.;10..三.计算题.1.2.解,.故原式.3.解原式.4.解=，令，得，而为可去奇点当时，而为一阶极点.四.证明题.1.证明设,在下半平面内任取一点,是下半平面内异于的点,考虑.而,在上半平面内,在上半平面解析,因此,从而在下半平面内解析.2.证明令,,那么与在全平面解析,且在上,,故在内.在上,,故在内.所以在内仅有三个零点,即原方程在内仅有三个根.《复变函数》考试试题〔五〕参考答案一.判断题.1．√２．√３．×４．√５．×6．×７．×８．√９．√10．√.二.填空题.1.2,,;2.;3.,;4.;5.0;6.0;7.亚纯函数;8.;9.0;10..三.计算题.1.解令,那么.故,.2.解连接原点及的直线段的参数方程为,故.3.令,那么.当时,故,且在圆内只以为一级极点,在上无奇点,故,由残数定理有.4.解令那么在内解析,且在上,,所以在内,,即原方程在内只有一个根.四.证明题.1.证明因为,故.这四个偏导数在平面上处处连续,但只在处满足条件,故只在除了外处处不可微.2.证明取,那么对一切正整数时,.于是由的任意性知对一切均有.故,即是一个至屡次多项式或常数.《复变函数》考试试题〔六〕参考答案一、判断题：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.×二、填空题：1.2.3.4.15.16.阶7.整函数8.9.010.欧拉公式三、计算题：1.解：因为故.2.解：因此故.3.解：4.解：5．解：设,那么.6．解：四、1.证明：设那么在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有一样个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2.证明：设，那么,由于在内解析，因此有,.于是故，即在内恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.《复变函数》考试试题〔七〕参考答案一、判断题：1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.×二、填空题：1.2.3.4.15.16.阶7.整函数8.9.010.三、计算题：1.解：2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，从而.因此在内有5．解：设,那么.6.解：设，那么，，故奇点为.四、证明题：1.证明：设那么在上，即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有一样个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为7.2.证明：设，那么在区域内解析，从而有将此代入上上述两式得因此有于是有.即有故在区域恒为常数.3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、计算题解：根据线性变换的保对称点性知关于实轴的对称点应该变到关于圆周的对称点，故可设《复变函数》考试试题〔八〕参考答案一、判断题：1.√2.×3.√4.×5.√6.√7.√8.×9.√10.×二、填空题：1.2.3.4.5.16.7.8.9.510.三、计算题：1.解：由于在解析，所以而因此.2.解：因此故.3.解：因此4.解：由于，从而因此在内有5．解：设,那么.6．解：设,那么在内只有一个一级极点因此.四、证明：1.证明：设那么在上，即有.根据儒歇定理知在内与在单位圆内有一样个数的零点，而在内的零点个数为7，故在单位圆内的根的个数为72.证明：因为，在内连续,所以,当时有从而有即与在连续，由的任意性知与都在内连续3.证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、解：1.设，那么将区域保形映射为区域2.设,那么将上半平面保形变换为单位圆.因此所求的单叶函数为.《复变函数》考试试题〔九〕参考答案一、判断题〔20分〕1、×2、×3、√4、√5、√6、√7、√8、√9、×10、√二、填空题〔20分〕1、2、3、4、15、16、7、整函数8、9、810、三、计算题〔30〕1、解：2、解：因此故.3、解：4、解：由于，从而.因此在内有5、解：设,那么.6、解：设那么在内有两个一级极点，因此，根据留数定理有四、证明题〔20分〕1、证明：设那么在上，即有.根据儒歇定理，与在单位圆内有一样个数的零点，而的零点个数为6，故在单位圆内的根的个数为6.2、证明：设，那么,由于在内解析，因此有,.于是故，即在内恒为常数.3、证明：由于是的阶零点，从而可设，其中在的某邻域内解析且，于是由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故为的阶极点.五、计算题〔10分〕解：1、设那么将区域保形变换为区域.2、设,那么将区域保形变换为区域3、设那么将保形变换为上半平面,因此,所求的单叶函数为《复变函数》考试试题〔十〕参考答案一、判断题〔40分〕：1.√2.√3.√4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.√二、填空题〔20分〕：1.2.3.4.5.三、计算题〔40分〕1.解：在上解析，由积分公式，有2.解：设，有3.解：4.解：，故，5.解：令，那么，在内均解析，且当时由定理知根的个数与根的个数一样.故在内仅有一个根.《复变函数》考试试题〔十一〕参考答案一、1．×2．√３．×４．√５．√二、1．12．３．４．５．６．７．８．159.10.三、1．解：.又.故.2.解:(1)奇点为对任意整数,为二阶极点,为本性奇点.