人教A版新教材必修第一册《3.4 函数的应用(一)》教案（定稿）

学习目标1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．一、一次函数模型的应用例1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．解(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝eq\f(1,6)，k2＝eq\f(1,2).∴y1＝eq\f(1,6)x＋30(x≥0)，y2＝eq\f(1,2)x(x≥0)．(2)令y1＝y2，即eq\f(1,6)x＋30＝eq\f(1,2)x，则x＝90.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜．反思感悟一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．跟踪训练1某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大．解设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x＋10×250)份；每月退回报社报纸共10×(x－250)份．依题意得，y＝(0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250)．即y＝0.16(20x＋2500)－0.16(10x－2500)，化简得y＝1.6x＋800，其中250≤x≤400，因为此一次函数的k＝1.6>0，所以y是一个在定义域内单调递增的函数，再由250≤x≤400知，当x＝400时，y取得最大值，此时y＝1.6×400＋800＝1440(元)．所以买进400份报纸所获利润最大，获利1440元．二、二次函数模型的应用例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)．(2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125.所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．跟踪训练2据市场分析，某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解(1)设y＝a(x－15)2＋17.5(a≠0)，将x＝10，y＝20代入上式，得20＝25a＋17.5，解得a＝eq\f(1,10).所以y＝eq\f(1,10)(x－15)2＋17.5(10≤x≤25)．(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)＝1.6x－y＝1.6x－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)x－152＋17.5))＝－eq\f(1,10)(x－23)2＋12.9(10≤x≤25)．所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．三、分段函数模型的应用例3中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台需要另投入成本C(x)(万元)．当年产量不足80台时，C(x)＝eq\f(1,2)x2＋40x，当年产量不小于80台时，C(x)＝101x＋eq\f(8100,x)－2180，若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．解(1)当0<x<80时，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋40x))－500＝－eq\f(1,2)x2＋60x－500；当x≥80时，y＝100x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(101x＋\f(8100,x)－2180))－500＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))，于是y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋60x－500，0<x<80，,1680－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))，x≥80.))(2)由(1)可知当0<x<80时，y＝－eq\f(1,2)(x－60)2＋1300，当x＝60时，y取得最大值为1300，当x≥80时，y＝1680－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8100,x)))≤1680－2eq\r(x·\f(8100,x))＝1500，当且仅当x＝eq\f(8100,x)，即x＝90时，y取最大值为1500，综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．反思感悟应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．跟踪训练3经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足g(t)＝80－2t，价格近似满足f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t，0≤t≤10，,25－\f(1,2)t，10<t≤20.))(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．解(1)由已知得，y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15＋\f(1,2)t))80－2t，0≤t≤10，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,2)t))80－2t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋3040－t，0≤t≤10，,50－t40－t，10<t≤20))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋10t＋1200，0≤t≤10，,t2－90t＋2000，10<t≤20.))(2)由(1)知，①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1200＝－(t－5)2＋1225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]上单调递增，在t∈(5,10]上单调递减，∴ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝1200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2000＝(t－45)2－25，函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10,20]上单调递减，∴y<1200，ymin＝600(当t＝20时取得)．由①②知ymax＝1225(当t＝5时取得)，ymin＝600(当t＝20时取得)．1．知识清单：函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1，,f2x，x∈D2，,……，,fnx，x∈Dn))幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)2.方法归纳：配方法、判别式法、换元法．3．常见误区：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域．1．某商店同时卖出两件外套，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店()A．不亏不盈 B．盈利37.2元C．亏损14元 D．盈利14元答案C解析设两件外套的成本分别为a，b元，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋20%＝168，,b1－20%＝168，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝140，,b＝210，))∴2×168－(a＋b)＝336－350＝－14，∴此时商店亏损14元．2．据调查，某存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元．若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案D解析因为自行车为x辆，所以电动车为(4000－x)辆，存车总收入y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200.3．在某年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝m(1－x)2B．y＝m(1＋x)2C．y＝2m(1－x)D．y＝2m(1＋x)答案A解析第一次降价后价格为m(1－x)，第二次降价后价格变为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2.4．某药厂研制出一种新型疫苗，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为______万元．答案125解析由已知得，当投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.1．一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A．y＝2t B．y＝120tC．y＝2t(t≥0) D．y＝120t(t≥0)答案D解析因为90min＝1.5h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0)．2．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为()A．15元B．13元C．11元D．10元答案B解析设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145，由x>0，Q＝100－5x≥0，得0<x≤20，故当x＝13时，每天获利最大．3．某品种鲜花进货价5元/支，据市场调查，当销售价格x(元/支)在x∈[5,15]时，每天售出该鲜花支数p(x)＝eq\f(500,x－4)，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为()A．9元 B．11元C．13元 D．15元答案D解析设每天的利润为y元，则y＝(x－5)×eq\f(500,x－4)＝500×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x－4)))，5≤x≤15，显然此函数在[5,15]上单调递增，故当x＝15时，y取得最大值．4．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点答案D5.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为()A．上午10：00 B．中午12：00C．下午4：00 D．下午6：00答案C解析由图象知，当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点(4,320)代入得k1＝80，所以y＝80x；当4<x≤20时，设y＝f(x)＝k2x＋b，将点(4,320)和(20,0)代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k2＋b＝320，,20k2＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝－20，,b＝400，))此时y＝f(x)＝－20x＋400，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80x，0≤x≤4，,－20x＋400，4<x≤20，))当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，当4<x≤20时，令y＝－20x＋400≥240，解得4<x≤8，所以3≤x≤8，故第二次服药最迟的时间应为8小时后，即下午4：00.6．(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.0元8.4元则下列说法正确的是()A．买小包装实惠B．买大包装实惠C．卖3小包比卖1大包盈利多D．卖1大包比卖3小包盈利多答案BD解析大包装300克8.4元，则等价于100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故A错误，B正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖3小包盈利3×(3－0.5－1.8)＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故C错误，D正确．7．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________________________________．答案y＝－eq\f(1,4)x＋50(0<x<200)解析设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，其中x为每件产品的定价(单位：元)，y为每天售出的件数(单位：件)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30＝k×80＋b，,20＝k×120＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4)，,b＝50，))∴y＝－eq\f(1,4)x＋50(0<x<200)．8.小明自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进水管，5小时可注满，池底有一个出水管，8小时可放完满池水．若同时打开进水管和出水管，多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”小明质疑这类问题的合理性．其实这类放水、注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量－消耗量＝改变量”，这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题．例如，某仓库从某时刻开始4小时内只进货不出货，在随后的8小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中的货出完．假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量y(吨)与时间x(时)之间的部分关系如图，那么从不进货起______小时后该仓库内的货恰好运完．答案8解析由图象可知，在0到4小时进货20吨，故进货速度是每小时5吨，所以出货速度为每小时(20＋5×8－30)÷8＝eq\f(15,4)(吨)，从不进货起，需要30÷eq\f(15,4)＝8(小时)将该仓库的货恰好运完．9．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示．销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为480－40(x－1)＝(520－40x)(桶)．令520－40x>0，则0<x<13.y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200＝－40(x－6.5)2＋1490,0<x<13.易知，当x＝6.5时，y有最大值．所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润．10．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用f(x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果表明f(x)与x有如下关系：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋9，0<x<10，,59，10≤x≤16，,－3x＋107，16<x≤30.))(1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？(2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？解(1)由题意得，当0<x<10时，f(x)＝5x＋9，此时函数单调递增；当10≤x≤16时，函数f(x)取得最大值，此时f(x)＝59；当16<x≤30时，f(x)＝－3x＋107，此时函数单调递减．所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟．(2)当0<x<10时，令f(x)≥55，即5x＋9≥55，解得9.2≤x<10，集中注意力时间共10－9.2＝0.8(分钟)；当10≤x≤16时，f(x)＝59≥55，集中注意力时间共6分钟；当16<x≤30时，令f(x)≥55，即－3x＋107≥55，解得16<x≤eq\f(52,3)，则集中注意力时间共eq\f(52,3)－16＝eq\f(4,3)(分钟)，因为0.8＋6＋eq\f(4,3)＝eq\f(122,15)<10，所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题．11．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1答案D解析设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝eq\r(p＋1q＋1)－1.12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟 B．3.75分钟C．4.00分钟 D．4.25分钟答案B解析根据图象，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.0.))∴p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16).当t＝eq\f(15,4)＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．13．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．答案14.599解析设出租车行驶x千米时，付费y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9，0<x≤3，,8＋2.15x－3＋1，3<x≤8，,8＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x>8，))当x＝5.6时，y＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．由y＝22.6，知x>8，由8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9.14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车经过_____年可使营运的年平均利润最大．答案5解析由图得y＝－(x－6)2＋11，则eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋12≤－2eq\r(25)＋12＝2，当且仅当x＝eq\f(25,x)，即x＝5时，等号成立，故客车经过5年可使营运的年平均利润最大．15．某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的