9.数学广角(14个问题)

第四部分 数学广角1植树问题知道要点植树问题是关于全长、株距和棵数的应用题。植树问题通常有两种情况：路线是不封闭的和路线是封闭的。在不封×（棵数－1×（1例题解析及同步练习典例:在一条道路的两旁栽树，一共载了62棵，每隔5米栽一棵（两端都栽，这条路长多少米？举一反三训练1、在一个鱼塘周围筑长是1200米的土堤，堤上每隔2米栽一棵杨树，然后在相邻两棵杨树中间栽一棵松树，土堤上栽杨树和松树各多少棵？2、甲、乙两个绿化队在长2400米的公路两旁栽树，每隔16米栽一棵杨树（两端都栽间栽一棵桐树。已知甲队比乙队多栽163、儿童节到了，学校要在校门口公路的一侧从头到尾插上76面彩旗，已知公路的另一侧从头到尾有51棵杉树，每两棵杉树间的距离是3米，每相邻两面彩旗间的距离是多少米？典例 学校举行运动会，六年级共有128人参加运动会入场仪式，他们每4人一行，前后都是每行间隔为1米，席台长33米，他们以每分钟32米的速度通过主席台，需要多少分钟？举一反三训练1、迎宾旅社共9层，每层有楼梯20个台阶，如果某人每上一个台阶要0.5秒，那么他上到顶层需要多长时间？2307560213、接受检阅的20个方阵和50辆警车从主席台前通过，每辆警车长4米，警车之间相隔5米，每个方阵长10米，每两个方阵相隔3米，方阵和警车之间相隔8米。通过主席台的这支队伍共长多少米？能力加强18005124128312056绳子共被剪成多少段？4、在一个正方形的广场的四周每隔5米安装一盏路灯，每个角上都要安一盏，每边都安了21盏。这个广场周围共安装了多少盏？这个广场的周长是多少米？5、在一段长为720米的公路两旁，共装有118盏灯，两端不装，每相邻两盏灯之间的距离是多少米？6、为绿化环境，在城市道路门旁都栽有树，并且相邻两人棵之间都是8米，在道路的一旁从金苑小区门口到实验小学门口共有76棵树，再往前256米，共有多少棵树？7、池塘周围栽了一圈树，每两棵树相距5米，甲、乙两人分别从两棵树出发朝同一方向行走，已知甲、乙之间隔15棵树，乙每分钟走120米，甲每分钟走130米，甲经过多少时间追上乙？如果甲追上乙后两人继续前进，又过了40分钟甲再次追上乙，池塘周围有多少棵树？2年龄问题知识要点们年龄的这类的问题，称为年龄问题。年龄问题的主要特点是：两人的年龄差不变。根据这一特点将年龄问题转典例解析及同步练习典例 果果今年3岁，爸爸31岁，再过几年爸爸的年龄是果果的5倍？举一反三训练1、小东今年18岁，奶奶今年84岁，奶奶多少岁时，奶奶的年龄正好是小东的4倍？2、儿子今年21岁，妈妈今年46岁，多少年前妈妈的年龄是儿子的6倍？3、亮亮比爸爸小27岁，爸爸今年的年龄是儿子年龄的4倍，亮亮和爸爸今年各多少岁？4、父、子现在的年龄和是69岁，12年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父、子现在各多少岁？典例 小芳家现在所有成员年龄加在一起是73岁。家庭成员中有爸爸、妈妈、小芳和弟弟。爸爸比妈妈大3岁小芳比弟弟大2岁4年前家里所有人年龄的总和是58岁。现在家里每个成员各是多少岁？举一反三训练1、小英的父亲比母亲大4岁，现在全家的年龄和是71岁，8年前全家年龄和是50岁，今年全家三人各是多少岁？28631251龄各是多少岁？典例 10年前妈妈的年龄是女儿的4倍，12年后妈妈的年龄是女儿的2倍，现在母女的年龄各是多少？举一反三训练1、15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍，父亲和儿子现在各多少岁？221014多少岁？3、今年哥哥的年龄是弟弟的3倍，24年后，哥哥的年龄比弟弟的2倍少16岁，今年哥哥和弟弟各多少岁？典例 叔叔对小亮说“当我像你这么大的时候，你刚4岁；当你像我怎么大的时候，我已经46岁了”叔叔和小今年分别有多少岁？举一反三训练1、2倍，而你长到我这么大时，我俩的年龄和是65岁。”大象和长颈鹿现在各多少岁了？2、李阿姨和张阿姨两人的年龄刚好是100岁。李阿姨对张阿姨说能力加强1100203岁？2、小红和小英两人今年的年龄和是35岁，5年后小红比小英大3岁，小红和小英今年的年龄各是多少岁？3、7年前母亲的年龄是女儿的4倍，7年后母女年龄和是78岁。母亲今年多少岁？4、爷爷与爸爸、爸爸与儿子的年龄差是一样的。爷爷与孙子的年龄和是84岁，这个岁数再加上孙子的年龄正好是100岁，爷爷、爸爸和儿子的年龄各是多少岁？5574335少岁？6262612651077、一位客人到老李家做客，老李说40大的孩子马上就要放学回家了8甲：我今年才22岁，我比乙还小，我比丙大1岁乙：我不是年龄最小的，我和丙相差3岁，丙25岁了丙：我比甲小，甲23岁，乙比甲大3岁请你判断甲、乙、丙三人的年龄各是多少岁？3 容斥问题知识要点叉、重叠关系来进行分析思考，寻求问题答案。典例解析及同步练习典例110056举一反三训练1110049211000573、以110为分母的最简真分数共有多少个？典例某班小学生订了语文、数学、作文指导报中的至少一种。订语文报的有17人，订数学报的有18人，订作文指导报的有15人，同时订语文报和数学报的有6人，同时订数学报和作文指导报的有6人，同时订语文报和作文指导报的有5人，三种报都订的有2人。只订一种报纸的分别有多少人？订语文报、数学报而没有订作文指导报的有多少人？这个班共有多少人？解析：我们将题中的条件和问题用下图来表示：举一反三训练1、六年级二班同学去图书馆借书，每人至少借1本，最后统计：24人借了故事书，25人借了科技书，30人借了文艺书，有9人既借了故事书又借了科技书，有11人既借了故事书又借了文艺书，有9人既借了科技书又借了文艺书，有2人三种书都借了。这个班共有学生多少人？2、某班同学有18人，有20人会骑车，有16人会下象棋，即会游泳又会骑车的有8人，即会游泳又会下棋的有7人，即会骑车又会下棋的有5人，三项都会的有3人，这个班有多少人？典例4227243多少人？解析：先将题中条件和问题画图如下：举一反三训练132人，其中会英语的有24人，会德语的有18人，两样都会的有15人？2、40名运动员，其中有25人会摔跤，有20人会射击，还有10人两项都不会两项都会的有多少人？能力加强11100035、72453229项表演，这个班两项都参加的有多少人？3、某班共有36名学生，在一次测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人，两题都没答对的有多少人？446221451822丙抢答了多少道题？6533724最多能能加两项比赛，参加两项比赛的最多有多少人？179，小强答对了7道题，并且两人都答对的题目数是所有题目总16，小亮答对了几道题？8、图书馆有100本书，借阅图书者需在图书上签名，已知这100本书中有甲、乙、丙签名的图书分别有36本、45本和53本，其中同时有甲、乙签名的图书有28本，同时有甲、丙签名的图书有26本，同时有乙、丙签名的图书有34本，这些图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中任何一人借阅过？4 方阵问题知识要点在队列问题中，通常把横着排的称为行，把竖着排的称为列。当行数与列数相等时，就成为了一个方阵。日常（典例解析及同步练习典例：23举一反三训练1、运动会开幕式上团体操表演的队员排成了一个正方形队列，每行16人，共16行。如果要去掉一行一列，要去掉多少人？2、100枚棋子摆成一个方阵。如果去掉一行一列，去掉多少枚棋子？3、公园举行菊花展，把一些菊花排成一个实心方阵。由于需要，要在这个方阵横、竖再增加一排，还需要补充25盆菊花，现在这个方阵共有多少盆菊花？典例：为增加绿地面积，有180棵树苗需要栽成一个三层空心方阵。这个方阵外层每边需要栽多少棵树？举一反三训练1、实验小学为庆祝儿童节，用鲜花摆成一个最外层每边12盆的实心方阵，现在要改成摆成三层实心方阵。这个方阵最外层每边应该摆多少盆鲜花？2、学校举行运动会，在操场周围用彩旗摆成一个四层空心方阵，最外层每边插12面旗帜。摆这个方阵共需要多少面旗帜？3、在一次团体操表演中，有一个中空方阵，最外层有64人，最内层有32人，参加团队体操表演的共有多少人？能力加强1、在一个正方形池塘的周围栽树，四个角上都要栽一棵，每边栽10棵，一共能栽多少棵？2、李明用64枚棋子摆成一个每边两层的方阵，后来他又在方阵的外面加一层成为了三层方阵，又增加了多少棋子？3、有一些糖果，摆成三层空心方阵多出10块糖，如果在中空的部分增加一层又少6块。这些糖果共有多少块？4、把一些花摆成一个两层的空心方阵，外层每边摆9盆，如果把这些花摆在一条长250米的马路一边，从一端开始每隔5米摆1盆，摆到头之后还剩几盆花？5、有甲、乙两队学生各排成一个中空方阵，甲队有五层，最外层每边有35人，乙队有三层，最外层有136人。甲队学生比乙队学生多多少人？6、某班排练团体操时，全班学生正好能由一个三角形的队列变换成一个正方形队列（一排多1人，已知这个班的人数在30一60人之间，这个班有学生多少人？5、周期问题知识要点在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复的现象，在数学问题中也常会碰到一些和重复出现的关的问定数，更重要的是要分析有多少个周期。典例解析及同步练习典例1庆元旦晚会上，教室里用红气球和黄气球装饰。按“三红两黄”的顺序把气球串起来，第27个气球是红色还是黄色的？第39个呢？第50个呢？举一反三训练1、有红、白、黑三种颜色的珠子共2004个，按“四红三白一黑”的顺序串成一串，第125个珠子是什么颜色？最后一个珠子呢？白珠子和黑珠子一共有多少个？2200920903、如果2000年元月1日是星期五，那么2008年元月2日是星期几？典例2七个小朋友围坐一圈，按23、、、、71”2”的小朋友报“9举一反三训练1、 八个小朋友围坐成一圈玩“击鼓传花”的游戏，把这八个小朋友按顺序编上1一8号，鼓声开始敲响，从1号小朋友开始顺时针报数，当鼓声停止时，正好报到“60”就由报“60”的小朋友表演节目。表演节目的是几号坐位上的小朋友？21100169号时，甲得到多少张卡片？能力加强1、公园里有一排彩旗，按三面黄旗，两面红旗，四面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗，已知这排旗不超过200面，这排彩旗最多有多少面？2、一只母鸡生蛋很有规律，总是连着两天每天生一只蛋，以后就要空一天不生蛋。已知1998年元旦这天没生蛋，1998年全年一共生了多少只蛋？320065后沿红点处将木棍逐段锯开。那么，长度是14、小玲在练习写字母，按A、B、C、D、E、F、……X、Y、Z、A、B、C、D、E、F……的顺序一直往下写，写完最后一个字母，她数了数正好写了150个。她最后写的一个字母是什么？6统筹与规划知识要点行调整，以便选出最优的方案，这就需要进行统筹与规划。典例解析及同步练习124要5分钟，医生如何安排三人的治疗顺序，才能使他们在卫生室的时间总和最短？最短需要多长时间？举一反三训练1、四人各提一只水桶来到一个自来水龙头前排队打水，每人打各自的水桶所需要时间为：甲5分钟，乙3分钟，丙6分钟，丁8分钟。怎样安排他们四人打水顺序，使他们等候打水的时间最短？最短时间需要多久？2、理发室有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，他们所要理的发型不同，所需要的时间分别为10分钟，15分钟，18分钟，13分钟和24分钟。怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发和等候时间总和最短？最短是多长时间？3、李老师找甲、乙、丙三名学生来办公室谈话，与甲谈完需要12分钟，与乙谈完需要8分钟，与丙谈完需要14分钟。怎样安排三人的谈话顺序，使三人花的总时间最短？最短时间是多少分钟？21001020吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两仓库是空的。现在想把所有的货集中存放在同一个仓库里，如果每吨货物运输一千米需要0.5元运费，那么最少要花多少运费才行？举一反三训练1A、、、DE、、E952A8C7（单位：千米110的调配方案，总运费最省是多少元？25453.8元，幼儿园张老师带领45少要花多少钱？3、王镇长要召集甲、乙、丙、丁四个村的村干部如开会议。这四个村子每相邻两个村子都是相距5千米，参加会议的人数：甲村8537路程总和最短？典例3有一个水塔给公路旁的六个居民点供水，居民点间的距离如图所示（单位：千米足够供应六个居民点的用水，细管只能供应一个居民点的用水，粗管每千米7000元，细管每千米2000元，粗细管如果搭配才能使费用最少？最少为多少元？举一反三训练15531041221575310升。用多少辆大卡车及小卡车来运输。耗油量最低？3A一G七个居民区，两个居民区间的距离如图所示（位：千米8000元，可供七个居民区用气，细管每千米3000元，可供一个居民区用气。粗、细管的转接处于居民区中。如何搭配使用粗、细两种管道费用最少？能力加强111511212、用一只平底锅煎饼，每次只能放2张饼，煎熟一张饼需要2（正反面各需要1分钟。那么：①煎熟3饼至少需要多少分钟？②如果需要煎熟N（N＞1）张饼，至少需要几分钟？36080102105200304、大李镇有甲、乙、丙、丁四个粮店。甲粮店存粮20吨，乙粮店存粮60吨，丙粮店存粮30吨，丁粮店存粮40吨。四个粮店和居民点的位置可以用图表示（单位：千米。假设运输一吨粮食每千米的运费为0.330工程所在地钢工程所在地钢公铁司ABCD甲130370510510样调运这两批钢材运费最少？6、电力公司维修站有7辆电车需要维修。如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为：12、17、8、18、23、30、14分钟，每辆电车停开1分钟经济损失11元。现有3名工效相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减至最小程度，最小缺失多少元？7 逻辑推理知识要点算，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题。在推断的过程中，我们通常采用假设的方法，而先假设一个结论，然后验证这个结论是不是符合所级的一切条件，如果符合，结论是正确的，否则，就换个结论来验证。典例解析及同步练习典例1某年的一月份只有四个星期一和四个星期五，那么这年的1月1号是星期几？举一反三训练1、有红、橙、黄、绿、青五块小木块，它们之间的重量关系是：红比绿重30克，青比黄重10克，绿比黄轻5克，青比橙轻10克，已知最轻的木块重20克，那么最重的木块的颜色是什么颜色的？重多少克？2顺序。3、A、BC、DA；B；CD43场，乙队比赛21典例2A、B、C、、EF中有一人得了满分，老师让他们猜一猜是谁得了满分。AE或者是FB:“”CDDB：“不会是我也不会是Ｅ举一反三训练１．数学测验，甲，乙，丙，丁四人中只有一人未得１００分，有人问他们谁未得１００分。1002、学校举行田径运动会，甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加了百米短路，另有A、B、C、D、E五位同学对结果，丙第54，丁第5.C，戊第4”D1，乙第2.”E，丁第43、赛马比赛前，四名观众对A、、、D四匹马预测名次。甲说A就是B跑得比DAC、D名次。能力加强1几场？2岁，农民比乙年龄小。谁是农民？谁是工人？谁是老师？3年级的，在一年级的不是四班，在二年级的不是五班，小赵不是六班的，小杨在几年级几班？4、A、B、C、D、E五人参加羽毛球比赛。每两人都要比赛一场，并且只赛一场。规定胜者得2分，负者得0分。现在知道比赛的结果是：A和B并列第一名，C是第三名，D和E并列第四名。那么C的得分是多少分？5、甲、乙、丙三人在深圳、南京、上海工作，他们的职业分别是工人、记者、教师，现在知道：①甲不在深圳；么职业？、136234、475、876在同一个数位上有一个相同的数字。这件商品的编号是多少？7、从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者和尚遇到这三个8抽屉原理知识要点抽屉原理是众人皆知的一个原理：把多于N个的苹果放进N果。也可以说：把M个东西任意放进N个抽屉里N，那么一定有一个抽屉里放进了两个东西。题的难点与关键所在。典例解析及同步练习典例1 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋的口袋中随意摸出3枚棋子。证明：这5人中至少有两个出的棋子的颜色的配组是一样的。举一反三训练1、五年级一班第一组共有13名同学，是否会有两个人是同一个月出生的？2、19枝铅笔放入4个铅笔盒里，说明为什么至少有一个铅笔盒里要放入5枝或5枝以上？3、把400本书随意分给若干同学，但每人不得超过11本，至少有多少个同学得到的书的本数相同？典例2学校买来红、黄、蓝三种颜色的球。规定每位学生最多可以借两个不同颜色的球，那么，至少有几个学生借球，就可以保证必有两位学生借的球颜色完全一致？举一反三训练1、在一幅扑克牌中，至少取多少张牌，就可以保证其中有4张牌的点数相同？2、有三种图书，科技书，文艺书，故事书。每位同学可任意借两本，问至少多少位同学借书，才能保证其中必有4个借的书类型相同？3、有四面红、黄、绿、蓝的小旗，任意取出其中的三面排成一行表示一种信号。在145个信号中至少有多少个信号是完全相同的？典例3 从、23、……19、20这20个自然数中，至少选出几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它的差为12.举一反三训练1、在前2N个自然数中，任意取N＋1个自然数，则其中必有两个数互质。21、、57……37392014倍数。387能力加强1、一个口袋里有白色、红色、黑色的袜子各30只，问：要拿出多少只袜子，才能保证其中至少有两双不同颜色的袜子？2、商店有18种糖果，如果每人买一种或两种，至少有多少人购买，才能保证有两人购买的各类相同？3、铅笔盒里有4枝圆珠笔和3支钢笔，如果闭着眼睛拿笔，一次至少拿几枝才能保证有一枝是钢笔？4、五年级共有学生57人，至少有几人是在同一个星期内过生日？5、五年级二班有43名同学，他们都订阅了《作文辅导报其中有多少名学生订的报刊的种类是完全相同？67020107、从3、5、7、9、……27、29这14个数奇数中，任意取出几个数，其中一定有两个数之和和32？9 获胜对策知识要点采用分析的倒推的方法常常可以帮助我们发现其中的规律，找出取胜的方法。典例解析及同步练习11，222、311、2233、430，谁就胜。怎样才能做到必胜？解析：从后面往前面想，假如其中一人报数为29，那么对方报一个数就把30抢走了；如果这个人报28，对方报两个数也把30抢走了。所以想要抢30，必须先抢27.同样，要想抢27，必须先抢24，要抢24，必须先抢21，以此类推，第1步必须抢3.举一反三训练1、一堆棋子有1000个，两人轮流从中任取，每次取的个数不得超过7个，取得最后棋子的为输。如果要先取的人胜，他应该怎么办？2、甲、乙与人轮流在黑板上写下不超过10且大于0的自然数，每次写一个。游戏规则是不允许写黑板上已经写过的数的因数，轮到游戏人无法再写时就是输者，现在甲先写，想要获胜有什么策略？34013拿，谁一定能取胜？4、两人做一种游戏：轮流报数，必须报不大于6的自然数，把两人报的数依次加起来，谁报数后加起来的和是“99”，谁就获胜，如果你先报数，那么为了获胜，你第一次报几？以后怎么报？典例2 N个“一”排成一行，甲、乙两人轮流改写“一”为每次只准改一个或相邻的两个，先得全“＋”者胜。若甲先改，请问甲是否有必胜的策略。解析：若N=1，甲必胜；若N=2，甲也必胜；若N=3，甲先改第二个，这时剩下的两个不相邻，甲必胜；若N=4，甲先改第2个，第3个，这时剩下的两个不相邻，甲必胜。以此类推，甲有必胜策略。举一反三训练1、黑板上写有1998、1999、2000、2001、……2096、2097，甲、乙两人轮流划掉任意相邻的4个数，如果甲划过后乙不能划了，则算甲胜。甲必胜的策略是什么？21个、3个、9个。甲、乙两人轮流从这些棋子中取走（不再放回到谁取，至少取走1个棋子；②每次只能从同一堆取走棋子，取走的数目不限（也可以把这堆都取走；③最后一个取到棋子者胜。问：是先取者有必胜把握还是后取者有必胜把握？3、99张卡片上分别写着1一99.甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张，如此轮流下去。若最后两张上的数是互质数，则甲胜；若最重两张上的数不是互质数，则乙胜。甲要想获胜应该怎样抽取卡片？能力加强1、10张正面朝下的扑克牌排成一排放在桌子上，两个小朋友做翻牌游戏。规定：每人每次只能翻动一张或两张相邻的牌使之正面朝上，翻过的牌不能再翻，两人轮流翻动，翻动最后一张牌的人获胜。怎样才能必定获胜？2即两个不相邻顶点的连线对角线相交，画最后一条线者为胜。若甲先画，他怎样画才能取胜？3、有一排2000个空格的棋盘，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮流走，甲先乙后。每人走时，可以将棋子向右移动1一4格，规定谁将棋子走到最后一格谁输。甲为了获胜，第一步走几格？以后怎样走？4、有一个3×3的棋盘方格以及9张大小与小方格相同的卡片。每一张卡片上分别写有1、3、4、5、6、7、8、9、10这几个数，甲、乙两人做游戏，轮流取一张卡片放到9格中的一格，由甲方计算上、下两行6个数的和，乙方计算左、右两列6个数的和，和数大的一方为胜。5、有分别装7根和10根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时两盒中都取，也不能不取，规定取到最后火柴者为胜。甲先取时是否有必胜的策略？、甲、乙两人在长方桌子上放一些大小相同的圆形硬币（不能重叠时，另一方就获胜。谁能胜，需要什么对策？10搭配中的规律知识要点可以运用枚举法或者依据加法原理和乘法原理来解决。所谓枚举法，就是根据题目要求将符合要求的结果不重复、不遗漏的一一列出来，从而解决问题的方法。加法原理：做一件事，完成它可以有几类方法，在第一类办法中有M1种方法，在第二类办法中有M2种方法，在第N类办法中，有MN种方法，而无论采用这些方法中的哪一种，都能单独地完成这项工作，那么完成这件工作的方法总数等于各类完成这种工作的办法的种数的和：即：N=M1＋M2＋……＋MN。乘法原理：做一件事，完成它需要几个步骤，做第一步有M1种方法，做第二步有M2种方法，做第N种有MN种方法。那么完成这件工作的方法总数等于完成各步的方法的乘积，即：N=M1×M2×M3×……×MN。在学习加法原理和乘法原理后，我们就容易理解排列和组合了的含义了。利用公式就容易解决排列组合的问题了。例如：从4个对象中任意取2个对象，按一定顺序排列数为：P2 =4×3=12.排列公式：4P2

m=n(n－1)（n－n43==2）……(n－m＋1)例如：从4个对象中任意取2个对象，不按顺序组合的组合数为：C==pm

2 4 P2

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=6。组合公式：C mn

n，区分排列组合的关键是有序、无序，即排列是有序，组合是无序。pmpm典例解析及同步练习12342甲地到丙地共有多少种不同的走法？举一反三训练1、快餐店有5种汉堡、6种饮料、2种甜点，要点汉堡、饮料、甜点各1份，有多少种不同的组合？2、要从四年级的六个班的中评选出学习、体育、卫生先进班级各一个，有多少种不同的选法？3、一天中，从甲地到乙地有6班汽车、5列火车、3艘轮船。在这一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？48102（1）、1、3用、1、3四个数字组成没有重复数字的三位数，共有多少个？用、1、3四个数字组成没有重复数字的自然数，共有多少个？举一反三训练1、从1、、7中任意取两个数字，且从、、、8）一共可以组成多少个没有重复的可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？2、有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9的线段各一条，从中先出若干条来组成正方形，那么有多少种不同的选法？3222254典例3在一个圆周上有10（圆周上任意三点均不在同一直线上1）从中选（2）（3）从中选出两个不相邻的点（5）从中选出三个点，使得恰有两点相邻。举一反三训练1192、9个人排成一排，有多少种不同的排法？3、玲玲的寒假作业有语言、数学、外语三门。她准备每天做一门作业，且相邻两天不做同一门作业。如果玲玲第一天做语文，第5天也做语文，那么前5天作业她有多少种不同的安排？4、有一张伍角币，4张贰角币，8张壹角币。现在要取出9角钱，有多少种不同的取法?5、有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？6、从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票最多有多少种不相同的票价？7、从6个学生中选出3人，另外3名教师中选出2人组成一组一起去参加同一会议，有几种不同的参会方式？8、培优小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出14个节目。如果每个班至少演出三个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况有多少种？11操作问题知识要点方法不能完成这件事情，这得举出反例说明理由；二是操作能成功，要给出具体的操作方法。操作题是开放性的题目，具有一定的难度，我们应该在深刻理解题意，认真分析思考的基础上，进行探索性解题。典例解析及同步练习典例1 有10枚棋子摆成下图，至少移动几枚棋子可以将图形倒过来？面一行就可以了。举一反三训练1、你能将一个正方形切四刀然后拼成5个正方形吗？试试看？210只茶杯，杯口都朝上（用↑表示）摆在桌上。每次操作将其中任意3只茶杯同时翻转（口朝下的，杯口朝下的翻成杯口朝上。至少需要几次这样的操作，才能使这10只杯子全部变成杯口朝下（↓表示）？请用↑和↓表示几次操作的过程。原来情况：↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑3、有20枚棋子。在桌上摆成十字形，图中的棋子二甲摆成了很多正方形，至少拿掉几枚棋子后，就一个正方形也摆不成了？拿掉棋子后的图形是怎样的？4、王强画了一幅9块正方体搭成的立方图。却被明明用橡皮擦去一部分。你能使这幅图复原吗？典例2 有9个表面完全相同的零件，其中8个是一等品，只有一个是次品较轻。现在有一架天平，最少几次就保证将次品找到？怎么称？举一反三训练1、有27个小球，其中26个球重量相等，1个球较轻，现在有一架天平，最少称几次可以保证找出轻球？2、有12棵树苗要栽成6行，每行栽4棵，你会栽吗？请画出示意图。3、某食堂买回100个鸡蛋，每袋装10个。其中九袋里装的鸡蛋每个都是50克，另一只袋里装的每个都是40克。这十只袋子混在一起，只准称一次，就能找出哪一袋每个鸡蛋是40克的，要怎样做？42020402040能力加强1、一幅扑克牌共54张，最上面的一张是红桃K。如果每次把最上面的4张牌移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么至少经过几次移动，红桃K才会再次出现在最上面？25100101102104107现有一台带指针的台秤。它可以称出30031003751步骤。4、5、有9只蚊子住同一个正方形卧室中，蚊子们都想单独住，只要再砌两个正方形墙，就能让每只蚊子单独住，该怎么砌？6、李明过生日，来了6个好朋友，分蛋糕时只能切3刀，但必须把蛋糕切成7块，如果你是李明该怎么切？12 火柴棒游戏知识要点火柴棒可以作为一种游戏工具，用来做数学游戏。即通常所说的火柴棒游戏，对训练学生思维，增长智慧起到了火柴棒拼图形3形。用火柴棒可以摆成数字，运算符号和算式，还可以拼成形状各异的美丽图案。通过移动、添上、去掉一根或几根掉和添上火柴棒成了另一个数，改变运算符号，使算式成立。常见的火柴棒变化方法如下：1、（17变化为1（2“＋”变成“－”或“1（3“4”（456）10可变为0.2、添上一根火柴棒，数和运算符号的变化也有六种17变成217或72“＋”变成43“一”变成（）4变成14或4（）1变成11或7）10变成11101或70.3、移动一根火柴棒有两种变化（）＋41=10中，把减数1添上一根火柴变为11（2）原来的差100.典例解析及同步练习典例1 移动一根或两根火柴棒，使下列各算式分别成为一个等式。举一反三训练1、下面这个算式是成立的，请你移动一根火柴棒，仍能得到一个正确的算式。2、下面两道算式都不正确，你能在每一题上只移动一根火柴棒，使它们的结果都是11吗？3、在下面各式中去掉或添上一根火柴棒，使算式成立。典例2在图中移动3根火柴棒，得到3个相同的正方形。举一反三训练1、如图是用24根火柴棒摆成的“回”字形方环。4求移动后所得图形的周长（5）2、如图是一个火柴棒摆成的缺了一条腿的翻倒的椅子。请移动两根火柴棒使椅子复原站立，看上去也不缺腿。3、如图是用20根火柴棒组成的图形，移动其中4根，把它变成三个形状相同、面积相等的图形。怎样移？能力加强1、移动一根火柴棒，使下列算式成立。2、移动两根火柴棒，使下面各等式成立。3、如图是