ch64现代功率谱估计

数字信号处理

(DigitalSignalProcessing)

信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地数字信号处理

(DigitalSignalProcess1离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计

现代功率谱估计随机信号的功率谱估计离散随机序列的特征描述随机信号的功率谱估计2现代谱估计简介问题提出平稳随机信号的参数模型AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的L-D递推算法AR模型参数与线性预测滤波器的关系伯格(Burg)递推算法现代谱估计简介问题提出3问题提出经典法存在问题:1.方差性能不好，不是Px(W)的一致估计2.平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。3.可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果出现问题的原因:将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。问题提出经典法存在问题:1.方差性能不好，不是Px(4参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出功率谱。hh[k]y[k]输入白噪声的自相关函数参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识5平稳随机信号的参数模型AR模型(AutoRegressivemodel)MA模型(MovingAveragemodel)ARMA模型(AutoRegressive-MovingAveragemodel)平稳随机信号的参数模型AR模型MA模型ARMA模6若输入白噪声的功率谱则输出序列的功率谱为若能确定模型中各参数{an,bn}和s2就可以求得功率谱Px()平稳随机信号的参数模型若输入白噪声的功率谱则输出序列的功率谱为若能确定模型中各参数7AR模型参数与自相关函数的关系描述p阶AR模型的差分方程为

将上式两端同乘以y[k-m]再求数学期望

AR模型参数与自相关函数的关系描述p阶AR模型的差分方程为8AR模型参数与自相关函数的关系由于输入是白噪声信号Rh[n]=s2d[n]对于因果系统,p阶AR模型的自相关函数与模型参数的关系

Yule-Walker(Y-W)方程AR模型参数与自相关函数的关系由于输入是白噪声信号Rh9AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的矩阵表示例:p=3时的Y-W方程若已知Ry[n]，由Y-W方程解出各参数a3(1),a3(2),

a3(3),s2。则可由AR模型参数获得功率谱Py()的估计值。AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的矩阵表示例:p10Y-W方程的L-D递推算法一阶Y-W方程的解解此方程得

Y-W方程的L-D递推算法一阶Y-W方程的解解此方程得11Y-W方程的L-D递推算法二阶Y-W方程的解Y-W方程的L-D递推算法二阶Y-W方程的解12Y-W方程的L-D递推算法

p阶Y-W方程的递推解Y-W方程的L-D递推算法p阶Y-W方程的递推解13Y-W方程的L-D递推算法(1)计算自相关函数的估计值(2)求解一阶模型参数关函数的估计值

L-D算法估计功率谱的步骤Y-W方程的L-D递推算法(1)计算自相关函数的估计值(14(4)求出功率谱估计Y-W方程的L-D递推算法(3)由递推算法求解p阶模型参数

L-D算法估计功率谱的步骤(4)求出功率谱估计Y-W方程的L-D递推算法(3)由递15利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数x：进行功率谱估计的输入有限长序列；p:模型的阶数NFFT：DFT的点数；Fs：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；Pxx：功率谱估计值；f：Pxx值所对应的频率点[Pxx,f]=pyulear(x,p,NFFT,Fs)利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数x：进行功率谱估计的16例：利用L-D算法进行谱估计一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，利用L-D算法估计该序列的功率谱。N=128;p=40;NFFT=2048;Fs=2;n=0:N-1;randn('state',0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n));[P,f]=periodogram(x,[],NFFT,2);[Py,fy]=pyulear(x,p,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P));grid;title('Periodogram');axis([01-6060]);subplot(212);plot(fy,10*log(Py));grid;title('Yule');axis([01-6060]);例：利用L-D算法进行谱估计一序列含有白噪声和两个频率的余弦17谱估计结果——p=40,N=12800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200204060Periodogram00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200204060Yule谱估计结果——p=40,N=12800.10.20.30.418AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器前向预测误差前向预测误差滤波器系统函数例:前向线性预测(p=2)

AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器19AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系均方误差最小的前向预测误差滤波器正交准则若

则估计的均方误差达到最小。且AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系均方误差最小的前向预20预测系数及均方误差的确定

AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系预测系数及均方误差的确定AR模型参数与前向线性预测滤波器的21后向线性预测滤波器后向预测误差后向预测误差滤波器系统函数AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系例:后向线性预测(p=2)

后向线性预测滤波器后向预测误差后向预测误差滤波器系统22预测系数及均方误差的确定AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系由可得比较前向预测系统和后向预测系统的方程后可得

系数{a2(1),a2(2)}满足的方程相同

Ab(z)=z-2A(z)预测系数及均方误差的确定AR模型参数与后向线性预测滤波器的关23伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：在计算相关函数估计时，对N个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。伯格(Burg)递推算法基本思想：直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR模型的优化参数。伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：24伯格(Burg)递推算法前向预测误差的递推公式2阶前向预测误差

1阶后向预测误差

L-D算法的递推公式

K2=a2(2)2阶预测器的反射系数

伯格(Burg)递推算法前向预测误差的递推公式2阶前向预测25伯格(Burg)递推算法预测误差的递推公式一般地同理可得后向预测误差的递推公式

Kp=ap(p)为p阶预测器的反射系数。

伯格(Burg)递推算法预测误差的递推公式一般地同理可得后26伯格(Burg)递推算法预测误差滤波器的格形结构

伯格(Burg)递推算法预测误差滤波器的格形结构27伯格(Burg)递推算法反射系数Kp

的确定前向和后向均方预测误差的总和为

由可得伯格(Burg)递推算法反射系数Kp的确定前向和后向均方预28伯格(Burg)递推算法步骤(1)确定初始条件(2)从p=1开始迭代计算:计算AR模型参数递推p阶均方误差伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法步骤(1)确定初始条件(2)29(3)递推高一阶前、后向预测误差(4)若阶数小于p，则阶数加1，回到步骤(2)进行下一次迭代，直到达到预定阶数p。(5)估计功率谱伯格(Burg)递推算法步骤伯格(Burg)递推算法(3)递推高一阶前、后向预测误差(4)若阶数小于p，30[Pxx,f]=pburg(x,p,NFFT,Fs)Burg算法估计频谱的MATLAB函数x：进行功率谱估计的输入有限长序列；p:模型的阶数NFFT：DFT的点数；Fs：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；Pxx：功率谱估计值；f：Pxx值所对应的频率点[Pxx,f]=pburg(x,p,NFFT,Fs)B31利用Burg法进行谱估计程序N=512;NFFT=1024;Fs=2;p=40;n=0:N-1;randn('state',0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.32*pi*n)+randn(size(n));[P,f]=pyulear(x,p,NFFT,2);[Pw,f2]=pburg(x,p,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P));grid;title('L-D');axis([01-3060]);subplot(212);plot(f2,10*log(Pw));grid;title('Burg');axis([01-3060]);利用Burg法进行谱估计程序N=512;NFFT=1024;32AR模型阶数p=50的谱估计结果00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-200204060L-D00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-200204060BurgAR模型阶数p=50的谱估计结果00.10.20.30.433AR模型阶数p=80的谱估计结果00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-200204060L-D00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-200204060BurgAR模型阶数p=80的谱估计结果00.10.20.30.434数字信号处理

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信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地数字信号处理

(DigitalSignalProcess35离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计

现代功率谱估计随机信号的功率谱估计离散随机序列的特征描述随机信号的功率谱估计36现代谱估计简介问题提出平稳随机信号的参数模型AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的L-D递推算法AR模型参数与线性预测滤波器的关系伯格(Burg)递推算法现代谱估计简介问题提出37问题提出经典法存在问题:1.方差性能不好，不是Px(W)的一致估计2.平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。3.可能使短序列的功率谱估计出现错误的结果出现问题的原因:将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。问题提出经典法存在问题:1.方差性能不好，不是Px(38参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出功率谱。hh[k]y[k]输入白噪声的自相关函数参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识39平稳随机信号的参数模型AR模型(AutoRegressivemodel)MA模型(MovingAveragemodel)ARMA模型(AutoRegressive-MovingAveragemodel)平稳随机信号的参数模型AR模型MA模型ARMA模40若输入白噪声的功率谱则输出序列的功率谱为若能确定模型中各参数{an,bn}和s2就可以求得功率谱Px()平稳随机信号的参数模型若输入白噪声的功率谱则输出序列的功率谱为若能确定模型中各参数41AR模型参数与自相关函数的关系描述p阶AR模型的差分方程为

将上式两端同乘以y[k-m]再求数学期望

AR模型参数与自相关函数的关系描述p阶AR模型的差分方程为42AR模型参数与自相关函数的关系由于输入是白噪声信号Rh[n]=s2d[n]对于因果系统,p阶AR模型的自相关函数与模型参数的关系

Yule-Walker(Y-W)方程AR模型参数与自相关函数的关系由于输入是白噪声信号Rh43AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的矩阵表示例:p=3时的Y-W方程若已知Ry[n]，由Y-W方程解出各参数a3(1),a3(2),

a3(3),s2。则可由AR模型参数获得功率谱Py()的估计值。AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的矩阵表示例:p44Y-W方程的L-D递推算法一阶Y-W方程的解解此方程得

Y-W方程的L-D递推算法一阶Y-W方程的解解此方程得45Y-W方程的L-D递推算法二阶Y-W方程的解Y-W方程的L-D递推算法二阶Y-W方程的解46Y-W方程的L-D递推算法

p阶Y-W方程的递推解Y-W方程的L-D递推算法p阶Y-W方程的递推解47Y-W方程的L-D递推算法(1)计算自相关函数的估计值(2)求解一阶模型参数关函数的估计值

L-D算法估计功率谱的步骤Y-W方程的L-D递推算法(1)计算自相关函数的估计值(48(4)求出功率谱估计Y-W方程的L-D递推算法(3)由递推算法求解p阶模型参数

L-D算法估计功率谱的步骤(4)求出功率谱估计Y-W方程的L-D递推算法(3)由递49利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数x：进行功率谱估计的输入有限长序列；p:模型的阶数NFFT：DFT的点数；Fs：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；Pxx：功率谱估计值；f：Pxx值所对应的频率点[Pxx,f]=pyulear(x,p,NFFT,Fs)利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数x：进行功率谱估计的50例：利用L-D算法进行谱估计一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，利用L-D算法估计该序列的功率谱。N=128;p=40;NFFT=2048;Fs=2;n=0:N-1;randn('state',0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n));[P,f]=periodogram(x,[],NFFT,2);[Py,fy]=pyulear(x,p,NFFT,2);subplot(211);plot(f,10*log(P));grid;title('Periodogram');axis([01-6060]);subplot(212);plot(fy,10*log(Py));grid;title('Yule');axis([01-6060]);例：利用L-D算法进行谱估计一序列含有白噪声和两个频率的余弦51谱估计结果——p=40,N=12800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200204060Periodogram00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200204060Yule谱估计结果——p=40,N=12800.10.20.30.452AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器前向预测误差前向预测误差滤波器系统函数例:前向线性预测(p=2)

AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系前向线性预测滤波器53AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系均方误差最小的前向预测误差滤波器正交准则若

则估计的均方误差达到最小。且AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系均方误差最小的前向预54预测系数及均方误差的确定

AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系预测系数及均方误差的确定AR模型参数与前向线性预测滤波器的55后向线性预测滤波器后向预测误差后向预测误差滤波器系统函数AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系例:后向线性预测(p=2)

后向线性预测滤波器后向预测误差后向预测误差滤波器系统56预测系数及均方误差的确定AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系由可得比较前向预测系统和后向预测系统的方程后可得

系数{a2(1),a2(2)}满足的方程相同

Ab(z)=z-2A(z)预测系数及均方误差的确定AR模型参数与后向线性预测滤波器的关57伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：在计算相关函数估计时，对N个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。伯格(Burg)递推算法基本思想：直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均方误差之和为最小的准则来估计反射系数，进而通过L-D算法的递推公式求出AR模型的优化参数。伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：58伯格(Burg)递推算法前向预测误差的递推公式2阶前向预测误差

1阶后向预测误差

L-D算法的递推公式

K2=a2(2)2阶预测器的反射系数

伯格(Burg)递推算法前向预测误差的递推公式2阶前向预测59伯格(Burg)递推算法预测误差的递推公式一般地同理可得后向预测误差的递推公式

Kp=ap(p)为p阶预测器的反射系数。

伯格(Burg)递推算法预测误差的递推公式一般地同理可得后60伯格(Burg)递推算法预测误差滤波器的格形结构

伯格(Burg)递推算法预测误差滤波器的格形结构61伯格(Burg)递推算法反射系数Kp

的确定前向和后向均方预测误差的总和为

由可得伯格(Burg)递推算法反射系数Kp的确定前向和后向均方预62伯格(Burg)递推算法步骤(1)确定初始条件(2)从p=1开始迭代计算:计算AR模型参数递推p阶均方误差伯格(Burg)递推算法伯格(Burg)递推算法步骤(1)确定初始条件(2)63(3)递推高一阶前、后向预测误差(4)若阶数小于p，则阶数加1，回到步骤(2)进行