(新高考)高考数学一轮复习分层突破练习2.1《不等关系与不等式》(含详解)

[基础题组练]1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)C．f(x)<g(x) D．随x的值变化而变化解析：选B．f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0⇒f(x)>g(x)．2．已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立，则()A．ab>0 B．ab<0C．a＋b>0 D．a＋b<0解析：选A．因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，又a>b，所以b－a<0，所以ab>0.3．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m解析：选D．法一(取特殊值法)：令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于m<0<n，故m<－n<n<－m成立．4．已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式一定成立的是()A．a2<b2 B．ab2>a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)解析：选C．若a<b<0，则a2>b2，故A错；若0<a<b，则eq\f(b,a)>eq\f(a,b)，故D错；若ab<0，即a<0，b>0，则a2b>ab2，故B错；故C正确．所以选C．5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A．若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件．故选A．6．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C．由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b).由a>0>b得eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的条件有3个．7．(多选)下列命题中，不正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则|a|＋b<0D．若a>b，c>d，则a－c>b－d解析：选ABD．取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a<b，所以B错误；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故C正确；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D错误．8．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A．aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)) B．eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC．eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b) D．ac2<bc2解析：选ABC．因为y＝xeq\s\up6(\f(1,2))在(0，＋∞)上是增函数，所以aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)).因为y＝eq\f(1,x)－c在(0，＋∞)上是减函数，所以eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－c.因为eq\f(a＋2,b＋2)－eq\f(a,b)＝eq\f(2（b－a）,（b＋2）b)>0，所以eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b).当c＝0时，ac2＝bc2，所以D不成立．故选ABC．9．若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，因为a1<a2，b1<b2，所以(a1－a2)(b1－b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b110．已知a，b∈R，则a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab<0，由a<b两边同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；若ab＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立的条件是a<0<b.答案：a<0<b11．设a>b，有下列不等式：①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填正确的序号)解析：对于①，eq\f(1,c2)>0，故①成立；对于②，a>0，b<0时不成立；对于③，取a＝1，b＝－2时不成立；对于④，|c|≥0，故④成立．答案：①④12．已知12<a<60，15<b<36，则a－b的取值范围________，eq\f(a,b)的取值范围________．解析：因为15<b<36，所以－36<－b<－15.又12<a<60，所以12－36<a－b<60－15，所以－24<a－b<45，即a－b的取值范围是(－24，45)．因为eq\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4，即eq\f(a,b)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)).答案：(－21，45)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4))[综合题组练]1．若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)解析：选D．因为eq\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a，即eq\f(3a,2)≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D．2．下列四个命题中，正确命题的个数为()①若a>|b|，则a2>b2；②若a>b，c>d，则a－c>b－d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b>0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b).A．3 B．2C．1 D．0解析：选C．易知①正确；②错误，如3>2，－1>－3，而3－(－1)＝4<2－(－3)＝5；③错误，如3>1，－2>－3，而3×(－2)<1×(－3)；④若a>b>0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，当c>0时，eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，故④错误．所以正确的命题只有1个．3．若x>y，a>b，则在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2.符合题设条件x>y，a>b.因为a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5.所以a－x＝b－y，因此①不成立．因为ax＝－6，by＝－6，所以ax＝by，因此③不成立．因为eq\f(a,y)＝eq\f(3,－3)＝－1，eq\f(b,x)＝eq\f(2,－2)＝－1，所以eq\f(a,y)＝eq\f(b,x)，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④4．已知存在实