5D41平面向量数量积的物理背景及其含义

平面向量的数量积的物理背景及其含义平面向量的数量积的物理背景向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则

叫做向量a和b的夹角．OABabOABba若，a与b同向OABba若，a与b反向OABab若，a与b垂直记作复习回顾向量的夹角两个非零向量a和b，作问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。位移SOAFθ一、向量数量积的物理背景问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b

表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）（3）向量的数量积的结果是一个数量。平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围

正负0数量积符号由cos的符号所决定问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量2、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，则>中，若在DD.DABC0BCABABC)4(错误。是钝角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确。是锐角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD>.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD=.DABC0BCABABC)5(2、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题5：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？

当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

问题7：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥ba·b=0

.(判断两向量垂直的依据)特别地，（２）当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，则（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥b5D41平面向量数量积的物理背景及其含义练习a•b=│a││b│cosθ练习a•b=│a││b│cosθ进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角a•b=│a││b│cosθ进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABab︱a︱cosθ平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBO问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的练一练：练一练：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：分配律：思考１：

a·b与b·a相等吗？为什么？

思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与

a·c＋b·c相等吗？为什么？问题8:

我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)注：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：如图可知：如图可知：判断下列命题或等式的正确与否若b≠0，ab=0，则a=0若ab=bc，(b≠0)，则a=c错误错误错误（ab）c=a（bc）则判断下列命题或等式的正确与否若b≠0，ab5D41平面向量数量积的物理背景及其含义5D41平面向量数量积的物理背景及其含义5D41平面向量数量积的物理背景及其含义小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.常用︱a︱＝求向量的模.

常用求向量的夹角.小结1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法平面向量的数量积的物理背景及其含义平面向量的数量积的物理背景向量的夹角两个非零向量a和b，作，，则

叫做向量a和b的夹角．OABabOABba若，a与b同向OABba若，a与b反向OABab若，a与b垂直记作复习回顾向量的夹角两个非零向量a和b，作问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角。位移SOAFθ一、向量数量积的物理背景问题1:一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；问题2：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b

表示向量的另一种运算（外积）。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）（3）向量的数量积的结果是一个数量。平面向量的数量积的定义说明：已知两个非零向量a和问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量的模有关，还和它们的夹角有关。夹角的范围

正负0数量积符号由cos的符号所决定问题3：影响数量积大小的因素有哪些？这个数值的大小不仅和向量2、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，则>中，若在DD.DABC0BCABABC)4(错误。是钝角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)3(正确。是锐角，则＜中，若在DD.DABC0BCABABC)1(。是钝角，则中，若在DD>.DABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在DD=.DABC0BCABABC)5(2、判断下列说法的正误，并说明理由错误错误正确。是锐角，平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？a⊥ba·b＝0问题5：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？

当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱b︱；当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱b︱；a·a＝a2＝︱a︱2或︱a︱＝.平面向量的数量积的运算性质问题4：设a与b都是非零向量，若a问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？

︱a·b︱≤︱a︱︱b︱

问题7：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？问题6：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？︱（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥ba·b=0

.(判断两向量垂直的依据)特别地，（２）当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|.（４）平面向量的数量积的运算性质设向量a、b为两非零向量，则（３）a·b≤|a|·|b|.（１）a⊥b5D41平面向量数量积的物理背景及其含义练习a•b=│a││b│cosθ练习a•b=│a││b│cosθ进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角a•b=│a││b│cosθ进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？

投影一定是正数吗？|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABab︱a︱cosθ平面向量数量积的几何意义向量a在b方向上的投影是什么？投影说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBOAabOABabθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABabBO问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义是什么？

数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的练一练：练一练：类比实数的乘法运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积运算律数量积运算不满足乘法结合律。交换律：分配律：思考１：

a·b与b·a相等吗？为什么？

思考