广东省2016届高三数学第二次12月联考试题理

-让每个人同样地提升自我广东省七校联合体2016届高三第二次联考试卷数学理第Ⅰ卷一、选择题：01．设复数z满足z3i3zi，则z()A．3B．-3C．3iD．-3icos2002．求值cos351sin20()22A．2B．-2C．2D．-203．“a-≤3”是“f(x)=-|x+a|在内的一个数来表示，该数越凑近10表示满意度越高．为认识某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了检查，检查数据如表所示：幸福感指数[0，2)[2，4)[4，6)[6，8)男居民人数1020220125125女居民人数1010180175125依照表格，解答下面的问题：(Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图，并估计该地区居民幸福感指数的平均值；(Ⅱ)若是居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步认识居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行检查，用X表示他们之中幸福夫妻(夫妻二人都感觉幸福)的对数，求X的分布列及希望(以样本的频率作为整体的概率)．19．(本小题满分12分)如图是某直四棱柱被平面α所截得的部分，底面ABCD是矩形，侧棱GC、ED、FB都垂直于底面ABCD，GC=3，AB=22，BC=5，四边形AEFG为菱形，经过C且垂直于AG的平面与EG、AG、FG分别交于点M、H、N；⑴求证：CN⊥BH；⑵求面AFGE与底面ABCD所成二面角的余弦值。20．(本小题满分12分)C:x2y24,b)21(ab0)P(2椭圆ab的上极点为A，33是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F．⑴求椭圆C的方程；⑵设过点M(2,0)的动直线l与椭圆C订交于D、E两点，求△ODE面积的最大值1-让每个人同样地提升自我21．(本小题满分12分)已知函数f(x)(2a)x2lnxa2，g(x)xe1x⑴若函数f(x)在区间(0,1)a的最小值；2无零点，求实数⑵若对任意给定的x0(0,e]，方程f(x)g(x0)在(0,e]上总存在两个不等的实根，求实数a的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。若是多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑。22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，∠APC的均分线分别交AB、AC于点D、E，⑴证明：∠ADE=∠AED；PC⑵若AC=AP，求PA的值.23．(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.x3cost已知曲线C1：y2sint

x4cos(t为参数)，C2：y3sin(为参数).⑴化C1，C2的方程为一般方程，并说明它们分别表示什么曲线；⑵若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3:cos2sin7距离的最大值．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数fxxa.2-让每个人同样地提升自我⑴若fxmm0的解集为x,17,，求实数a,m的值；⑵当a1时，当x2时，不等式fxtfx2恒建立，求t的取值范围.七校联合体2016届高三第二次联考试卷理科数学（答案）一、选择题：CCDCBD、ABCADB二、填空题：x2y22x1y1504-2436三、解答题a1a2a3an1an217．解：⑴当n≥2时，234n①a1a2a3anan12∴234n1②【1分】anan1anan1n2∴②-①得n1n1(n2)【3分】，即ana1a22，得a23由2【4分】∴ana3a4an45n1(n3)【6分】a2a2a3an1334nn1∵a12、a23都满足上式∴ann1【7分】bn3an51153n13n11(11⑵3an233n23n1)【9分】∴Bn1(11)(11)(11)34473n23n1频率1(11)n组距133n13n【12分】0.250.2018．解：(1)频率分布直方图如右【3分】所求的平均值为：3

0.150.1250.100.050.010.015O246810幸福感指数-让每个人同样地提升自我×2×1+×2×3+×2×5+×2×7+×2×9=50.55003000.6500×=7X01234XB(4,8P(X0)C40(10.3)40.2401P(X1)C410.31(10.3)30.4116P(X2)C420.32(10.3)20.2646P(X3)C430.33(10.3)0.0756P(X4)4(140.0081C40.3)XX01234p11E(X)np40.31.2124-让每个人同样地提升自我19．⑴证：连结BH，由题知AB⊥面BCGF又∵CN面BCGF，∴AB⊥CN【1分】∵AG⊥面CMN，∴AG⊥CN【2分】又∵AG∩AB=A，AG、AB面BAH，∴CN⊥面BAH【4分】又∵BH面BAH，∴CN⊥BH【5分】⑵解：以DA、DC、DE为x、y、z轴，建立空间直角坐标系【6分】∵四边形AEFG为菱形，可设AE=EG=a，DE=b由AE2AD2DE2，得a25b2由EG2(GCDE)2DC2，得a2(3b)28以上面两式解得：a=3，b=2【8分】∴E(0,0,2)、A(5,0,0)、G(0,22,3)∴AE(5,0,2)、AG(5,22,3)nAE0由nAG0，解得n(8,10,45)为面AFGE的一个法向量【10分】由题知m(0,0,1)为面ABCD的一个法向量cosn,mnm27702770∴nm77，∴所求二面角的余弦值为77【12分】20．解：⑴由题知：A0,b,Fc,0AFc,b,FP4c,b，∴33∵AFFP，AFFP4cc2b20【1分】0，即3342b2331且a2又a2b2b2c2，【2分】∴bc1,a2，∴椭圆C的方程为：x2y212【4分】⑵依题意可设动直线l的方程为：ykx2k0设Dx1,y1,Ex2,y2x2y21212k2x28k2x8k2由ykx2可得20【5分】4220k2164k412k8k20，解得则2【6分】x1x28k2x1x28k22由韦达定理可得12k2，12k2【7分】5-让每个人同样地提升自我∴DE1k2x1x224x1x228k228k22221k212k21k12k2412k212k2【8分】d2k设点O到直线l的距离为d,则1k2SODE1DEd22k22k4∴212k2222131112112k22212k222232k21416【10分】0k212111212k1222k2113612∴当2k214即k6时，S△ODE获取最大值，最大值为224221．解：⑴记l(x)(2a)(x1)，s(x)2lnx，则f(x)l(x)s(x)∵f(x)在(0,1)l(x)与曲线s(x)在(0,1)2上无零点，∴直线2上无交点l(1)s(1)(2a)(11)2ln1只需22，即22解得a24ln2，∴a的最小值是24ln2【4分】g(x)(1x)e1x，在(0,1)上，g(x)0，g(x)单调增；在(1,e)上，g(x)0，g(x)单调减g(0)0，g(1)1，g(e)e2e0∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]【6分】f(x)(2a)x2x①当a2时，在(0,e]上，f(x)0，f(x)单调减，不合题意【7分】②当a2时，令f(x)0x202a得2e22a2(i)当2a时，即e时，在(0,e]上，f(x)0，f(x)单调减，不合题意【8分】6-让每个人同样地提升自我2ea22(ii)当2ae时，时，即(0,22)0，f(x)(22,e)0，f(x)单调增在a上，f(x)单调减；在a上，f(x)x1(0,2a3)(0,e2∵2a

)a3，使得f(x1)(2a)02lne2a21【9分】∴要使方程f(x)g(x0)在(0,e]上总存在两个不等的实根f(2)0a2ln(2a)2ln202aa23f(e)1（*）【10分】只需，即e1令h(x)x2ln(2x)x22h(x)x0得x=02ln2，ex2，令h(x)在(,0)上，h(x)0，h(x)单调增；在(0,22)上，h(x)0，h(x)单调减e∴h(x)maxh(0)0，a22e∴（*）式的解为a2e3【11分】1a23(,23]∴e1，∴实数a的取值范围是e1【12分】22．解：(1)∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE∴∠ADE=∠AED【5分】PCAC(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴APC∽BPA,PA=AB,AC=AP,∠BAP=∠C=∠APC,由三角形的内角和定理知：∠C+∠APC+∠PAC=180o,∵BC是圆O的直径,∴∠BAC=90o∴∠C+∠APC+∠BAP=90o,∴∠C=∠APC=∠BAP=30o,ACPC在RtABC中,AB=3,∴PA=3【10分】x3cost2223．解：⑴由C1：y2sint(t为参数)可得x3y21x4cosx2y21由C2：y3sin(为参数)可得169曲线C1是以C13,2为圆心，以1为半径的圆；7-让每个人同样地提升自我曲线C2是焦点在x轴上的椭圆；【4分】⑵由已知可得点P2,2，Q4cos,3sinM12cos,13sin，则2又直线C3:cos2sin7可化为：x2y70设M到直线C3的距离为d