中考复习31：阅读理解型问题

海豚教育个性化简案学生姓名：年级：科目：授课日期：月日上课时间：时分------时分合计：小时教学目标通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所作出的猜想进行验证;能进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明;3.分析题中提供的信息，有利于提高学生分析、解决实际问题的能力.重难点导航1.认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论；2.从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.教学简案：专题复习：阅读理解型问题考点一：阅读试题提供新定义、新定理考点二：阅读试题信息，归纳总结提炼数学思维方法考点三：阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论考点四：阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象（今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况（大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字：备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：海豚教育错题汇编1.如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是．海豚教育个性化教案专题复习：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.考点一：阅读试题提供新定义、新定理例1：规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是___________（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny．考点二：阅读试题信息，归纳总结提炼数学思维方法例2：实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数约和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+…+23+24=300．得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n，可以发现．2×[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+…3+2+1]把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n项相加，上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）+n=n（n+1）这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是n（n+1）下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有n（n+1）整理这个方程，得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24，n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、…、2n、…，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．考点三：阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3：数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．

探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：计算．

第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：．探究二：计算．

第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；

第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；

第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；

…

第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：，

两边同除以2，得．

探究三：计算．

（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）

解决问题：计算.只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）

根据第n次分割图可得等式：__________，

所以，=___________．

拓广应用：计算

．考点四：阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4：给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求证：△BCE是等边三角形；②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．【课堂训练】1.定义一种运算☆，其规则为a☆b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，根据这个规则，计算2☆3的值是()A.eq\f(5,6)B.eq\f(1,5)C．5D．62.定义：f(a，b)＝(b，a)，g(m，n)＝(－m，－n)，例如：f(2,3)＝(3,2)，g(－1，－4)＝(1,4)，则g[f(－5,6)]＝()A．(－6,5)B．(－5，－6)C．(6，－5)D．(－5,6)3．对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝eq\f(1,b)－eq\f(1,a).若2⊕(2x－1)＝1，则x的值为()A.eq\f(5,6)B.eq\f(5,4)C.eq\f(3,2)D．－eq\f(1,6)4．文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1.若输入eq\r(7)，则输出的结果为()A．5B．6C．7D．85.定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是()A．2个B．1个C．4个D．3个6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如：明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（）A．4,6,1,7B．4,1,6,7C．6,4,1,7D．1,6,4,77．(2012年湖北荆州)新定义：[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”[1，m－2]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,m)＝1的解为__________．8．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的学生．一天，他在解方程时，有这样的想法：x2＝－1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数i2＝－1，那么方程x2＝－1可以变为x2＝i2，则x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝－1的两个根．小明还发现i具有如下性质：i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))i＝－i，i4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i2))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))2＝1，i7＝i6·i＝－i，i8＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i4))2＝1……请你观察上述等式，根据发现的规律填空：i4n＋1＝______，i4n＋2＝______，i4n＋3＝______，i4n＝______(n为自然数)．9．阅读材料：对于任何实数，我们规定符号eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a,c))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(b,d))的意义是eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a,c))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(b,d))＝ad－bc.例如：eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,3))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(2,4))＝1×4－2×3＝－2，eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－2,3))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(4,5))＝(－2)×5－4×3＝－22.(1)按照这个规定，请你计算eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(5,7))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(6,8))的值；(2)按照这个规定，请你计算：当x2－4x＋4＝0时，eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1,x－1))eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x,2x－3))的值．10．先阅读理解下列例题，再按要求完成下列问题．例题：解一元二次不等式6x2－x－2>0.解：把6x2－x－2分解因式，得6x2－x－2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))，又6x2－x－2>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))>0，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2>0，,2x＋1>0，))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2<0，,2x＋1<0，))解不等式组(1)，得x>eq\f(2,3)，解不等式组(2)，得x<－eq\f(1,2).所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1))>0的解集为x>eq\f(2,3)或x<－eq\f(1,2).因此，一元二次不等式6x2－x－2>0的解集为x>eq\f(2,3)或x<－eq\f(1,2).(1)求分式不等式eq\f(5x＋1,2x－3)<0的解集；(2)通过阅读例题和解答问题(1)，你学会了什么知识和方法？11．知识迁移：当a＞0，且x＞0时，因为，所以x－2eq\r(a)＋eq\f(a,x)≥0.从而x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(a)(当x＝eq\r(a)时，取等号)．记函数y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0，x＞0)，由上述结论，可知：当x＝eq\r(a)时，该函数有最小值为2eq\r(a).直接应用已知函数y1＝x(x＞0)与函数y2＝eq\f(1,x)(x＞0)，则当x＝______时，y1＋y2取得最小值为______．变形应用已知函数y1＝x＋1(x＞－1)与函数y2＝(x＋1)2＋4(x＞－1)，求eq\f(y2,y1)的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．12.阅读材料：

关于三角函数还有如下的公式：

sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ；tan（α±β）=。利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

例：tan15°=tan（45°-30°）===2-。

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

（1）计算：sin15°；

（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（精确到0.1米，参考数据=1.732，=1.414）

13.阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；

（2）求正方形MNPQ的面积．

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为．

14.阅读理解：

如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；

拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．

15.阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．∴r=．（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．16.（1）观察发现

如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．

如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．

（2）实践运用

如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为．

（3）拓展延伸

如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．海豚教育个性化教案（真题演练）1.（2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．

（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为；

（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，则四边形B′FED′的面积为；

（3）如图④，