（新高考）高考数学二轮精品专题十《解析几何》（教师版）

2017年高考“2017年高考“最后三十天”专题透析好教育云平台--教育因你我而变好教育云平台--教育因你我而变专题专题10××解析几何命题趋势命题趋势解析几何的考查主要为直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的考查．1．直线与圆的考查常与导数结合，考查直线方程，考查点到直线的距离公式，主要以选择题、填空题的形式出现，难度相对简单，也与圆锥曲线结合，主要考查的问题为圆方程、圆弦长、面积等，难度中等．2．圆锥曲线的考查主要为两种：一是对其概念及性质的考查，主要以选择题或填空题的形式出现；二是圆锥曲线综合问题的考查，比如范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题，常以大题的形式出现，难度较难，计算量较大．考点清单考点清单1．直线方程与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式y−不能表示斜率不存在的直线斜截式y=kx+b两点式SKIPIF1<0不能表示平行于坐标轴的直线截距式SKIPIF1<0不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式Ax+By+C=0(A，B可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的判定①两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有SKIPIF1<0；当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，SKIPIF1<0．②两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1（3）两条直线的交点的求法直线l1：A1x+B1则l1与l2的交点坐标就是方程组SKIPIF1<0的解．（4）三种距离公式①P1(x1，②点P0(x0，y0)到直线l：③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离：（5）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x−a圆心：(a，b)一般方程x2(圆心：SKIPIF1<0，半径：SKIPIF1<0（6）点与圆的位置关系点M(x0，①若M(x0，②若M(x0，③若M(x0，2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>rd=rd<r（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R，r(R>r)，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数01210d，R，r的关系d>R+rd=R+rR−r<d<R+rd=R−rd<R−r公切线条数432103．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形焦点坐标F1(−cF1(0顶点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B2(0，b)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0长轴长轴A1A2短轴短轴B1B2焦距焦距F1F2范围|x|≤a，|y|≤b|x|≤b，|y|≤a离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形一般方程m几何性质范围|x|≥a，y|y|≥a，x焦点F1(−cF1(0顶点A1(−aA1(0对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段焦距焦距|F1F离心率SKIPIF1<0渐近线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准y(p>0)y(p>0)x(p>0)x(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0对称轴y=0(x轴)x=0(y轴)焦点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0离心率e=1准线方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0范围x≥0，yx≤0，yy≥0，xy≤0，x焦半径(其中P(SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量即联立SKIPIF1<0，消去y，得ax2+bx+c=0．①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．②当a=0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．（2）圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于M，N两点，M(x则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．已知直线l1:x+my+7=0和l2A．−1或3 B．−1 C．−3 D．1或−3【答案】A【解析】∵两条直线l1:x+my+7=0和∴1×3−mm−2=0，解得m=−1或若m=−1，则l1:x−y+7=0与若m=3，则l1:x+3y+7=0与l故选A．【点评】本题主要考查了直线平行的条件，属于基础题．2．直线ax+y−1=0被圆x2+y2−2x−8y+13=0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】x2+y该圆圆心为1，4，半径为直线ax+y−1=0截圆所得的弦长为23则圆心1，4到直线ax+y−1=0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选A．【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式l=1+3．已知点M的坐标SKIPIF1<0满足不等式组SKIPIF1<0，N为直线y=−2x+3上任一点，则|MN|的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】点M的坐标x，y满足不等式组SKIPIF1<0的可行域如图：点M的坐标x，y满足不等式组SKIPIF1<0，N为直线y=−2x+3上任一点，则MN的最小值，就是两条平行线y=−2x+3与2x+y−4=0之间的距离SKIPIF1<0，故选A．【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力，解决本题的关键是作出不等式组所表示的平面区域与y=−2x+3的位置关系，难度一般；画出约束条件的可行域，利用已知条件，把MN的最小值转化求解平行线间的距离即可．4．若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+yA．5 B．5 C．25【答案】B【解析】由直线ax+by+1=0始终平分圆M的周长，则直线必过圆M的圆心，由圆的方程可得圆M的圆心坐标M(−2，代入直线ax+by+1=0的方程可得2a+b−1=0，又由(a−2)2+(b−2)2由点到直线的距离公式得SKIPIF1<0，所以(a−2)2+(b−2【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把(a−2)2+(b−2)25．已知直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2−6x+2y+9=0的对称轴，过点PA．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为直线kx+y+4=0是圆C:x所以直线kx+y+4=0过圆心C3，−1，即3k−1+4=0所以点P1，−1因为圆C的半径r=1，所以切线长PA=且在直角三角形中SKIPIF1<0，所以∠APC=∠BPC=30°所以三角形PAB的面积SKIPIF1<0，故选D．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．6．若分别过P1，0，Q2，A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如果过点P(1，0)，Q(2，0)，过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，则AB=AMsinθ=PQ因为AB=AD，所以sinθ=4cos所以正方形ABCD的面积SKIPIF1<0，同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为SKIPIF1<0，当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为SKIPIF1<0，故选C．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基本运算求解能力．7．已知双曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线C的左右焦点，且F1F2=2．过点F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若△OPF2的面积取最大值时，双曲线C的离心率为（）A．3 B．3 C．2 D．2【答案】D【解析】设其中一条渐近线方程SKIPIF1<0，焦点F2c，0到渐近线的距离SKIPIF1<0，∵△OPF2是直角三角形，且OF2SKIPIF1<0，∵F1F2=2，∴c=1，即a2+b2∴ab的最大值是SKIPIF1<0，即△OPF2的面积的最大值是SKIPIF1<0，此时a=b，双曲线是等轴双曲线，离心率e=2，故选D．【点评】本题的一个关键公式是，焦点到渐近线的距离d=b，小题时，可以直接用这个条件．二、填空题．8．已知点P在直线x+2y−1=0上，点Q在直线x+2y+3=0，PQ的中点为Mx0，y0，且1≤y0【答案】SKIPIF1<0【解析】设P(x1，两式相加可得x1由于PQ的中点为Mx0，设SKIPIF1<0，则y0=tx0代入上式可得SKIPIF1<0．因为1≤y0−x0≤7，所以SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0，故填SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径．9．已知圆C1：x2+y2+2ax+a2−4=0，（a∈R）与圆C【答案】−【解析】圆C1：x2+y2+2ax+a圆C2:x2+由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距C1所以可得a2设a=cosα，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，a+b的最小值为−2，故答案为−2【点评】本题考查由两个圆的公切线的条数判断两个圆的位置关系，及由三角函数的范围求代数式的最小值，属于中档题．10．已知方程SKIPIF1<0表示的曲线为C，任取a、b∈1，2，3，4，5【答案】SKIPIF1<0【解析】所有可能的a，b的组数为又因为焦距2c=2，所以c=1，所以a−b=±1，则满足条件的有：1，2、2，3、3，4、4，5、5，所以概率为SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点评】计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用．11．已知F是双曲线SKIPIF1<0的左焦点，A1，4，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA为________．【答案】9【解析】对于双曲线SKIPIF1<0，则a=2，SKIPIF1<0，c=4，如下图所示：设双曲线的右焦点为M，则M4由双曲线的定义可得PF−PM=4所以，PF+当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立．因此，PF+PA的最小值为9，故答案为【点评】利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解．12．已知双曲线SKIPIF1<0（a>0，b>0）的右焦点为F，直线SKIPIF1<0（k>0）与E交于M，N两点（M在第一象限），直线MF与E的另一个交点为P，以NP为直径的圆经过点F，且NF=PF，则E的渐近线方程为__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，设E的左焦点为F1，PF=t，连接MF1，PF1，SKIPIF利用双曲线定义得PF因为以NP为直径的圆经过点F，所以PF⊥NF，依题意，得四边形则MF1=NF=t，MF在Rt△MNF中，MN即2c2=在Rt△MPF1中，P所以t=3a②，由①②，得5a2=2c2，所以5a2所以E的渐近线方程为SKIPIF1<0,故答案为SKIPIF1<0．【点评】求双曲线的渐近线的方法：（1）定义法：直接利用a，b，求得比值，则焦点在x轴时渐近线SKIPIF1<0，焦点在y轴时渐近线SKIPIF1<0；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合a2+b2=c2，构建SKIPIF1<0的关系式（或先构建SKIPIF1<0的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可．13．已知点A(0，1)，直线l1:x−y−1=0，直线l2:x−2y+2=0，则点A关于直线l1【答案】2【解析】（1）设B(x，y)，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设C(4，3)，由（1）得l2上的点A0，因此所求对称直线过BC，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点评】本题主要考查了一个点关于某直线的对称点坐标的求法，直线关于直线对称的直线的求法，属于基础题．三、解答题．14．已知椭圆SKIPIF1<0过点B2，1，且离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆的方程；（2）设经过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于C，D两点，判断点SKIPIF1<0与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）详见解析．【解析】（1）由已知，点B2因此SKIPIF1<0，解得a=2，b=2，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0．（2）设点SKIPIF1<0，Dx2，y2，CD中点为Q椭圆的右焦点为2，0，当直线CD斜率为零时，点当直线CD斜率不为零时，设直线CD的方程为x=ky+2由SKIPIF1<0，得k2+2y2+2所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当k∈−∞，−2∪2，+∞当k=2或k=−2时，点SKIPIF1<0在以CD为直径的圆上；当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0在以CD为直径的圆的内部．【点评】本题考查了椭圆的方程、点和圆的位置关系，关键点是求出圆心和半径，利用P点到圆心的距离和半径比较大小，考查了学生分析问题、解决问题及转化的能力．15．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，短轴长为23．（1）求椭圆C的方程；（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4，0且斜率不为0的直线l与椭圆两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）因为椭圆的离心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又2b=23，∴因为b2=a2−所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）解法一：设直线MN:x=ty+4，Mx1，SKIPIF1<0，可得3t2+4y2所以SKIPIF1<0．直线AM的方程：SKIPIF1<0①，直线BN的方程：SKIPIF1<0②由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立①②，可得SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点Q在直线x=1上．解法二：设Mx1，y1，N因为P，M，N三点共线，所以SKIPIF1<0，整理得：2x又A，M，Q三点共线，有SKIPIF1<0①，又B，N，Q三点共线，有SKIPIF1<0②，将①与②两式相除得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将2x1x2−5x1代入得SKIPIF1<0，解得x3=4（舍去）或x3=1，（因为直线BQ与椭圆相交故x3所以Q在定直线x=1上．【点评】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题．16．椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为F1、F2，离心率SKIPIF1<0，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）因为△F由椭圆的定义知4a=8，故a=2，又SKIPIF1<0，所以c=1⇒b2=a所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由题意可设直线l的方程为x=my+1，Ax1，由SKIPIF1<0，显然Δ>0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令m2+1=t(t≥1)，∴SKIPIF1<0，易知S在SKIPIF1<0单调递减，从而SKIPIF1<0．【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆SKIPIF1<0过点(0，2)，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆Γ相交于两点M、N，各点互不重合，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l的方程为y=−x+1，求SKIPIF1<0的值；（3）若SKIPIF1<0，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）证明见解析，(2，0)．【解析】（1）由题意，因为椭圆SKIPIF1<0过点(0，2)，可得b=2，设焦距为SKIPIF1<0，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得(2a)2+(2b又因为a2=b所以椭圆Γ的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由直线l的方程为y=−x+1，可得而P(0，设M(x1，y1)，N(x2，y2可得(x从而x1于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，整理得4x2−6x−9=0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，设直线l的方程为y=kx−mm>0，可得P(0，由SKIPIF1<0，可得(x1，y1所以x1=λ1m−x1，从而SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴x1x2−2m(x联立SKIPIF1<0，得(1+3k2)x2则Δ=36k且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0③代入①得SKIPIF1<0，∴m=2，(满足②)故直线l的方程为y=kx−2，所以直线l恒过定点(2【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．18．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线x=−1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线（1）求曲线Γ的方程；（2）过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点．设l1与l2的斜率依次为k1、k【答案】（1）y2=4x；【解析】（1）由题意，设SKIPIF1<0，因为圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线可得|x+1|=(x−1)2（2）设l1，l2的方程分别为SKIPIF1<0，y=k2(x−1)联立方程组SKIPIF1<0，整理得k12x2−所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由k1+k所以直线MN的方程为SKIPIF1<0，整理得y+2=k11+k1(x−1)，所以直线MN恒过定点【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1．参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与2．由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．19．已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，点SKIPIF1<0在抛物线E上，点SKIPIF1<0的横坐标为2，且SKIPIF1<0．（1）求抛物线E的标准方程；（2）若A，B为抛物线E上的两个动点(异于点P)，且AP⊥【答案】（1）x2=4y；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）依题意得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0是E上一点，所以SKIPIF1<0，得p2−4p+4=0，即p=2，所以抛物线E的标准方程为x2（2）由题意知P2设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为x1≠−2，所以SKIPIF1<0，AB所在直线方程为SKIPIF1<0，联立x2=4y．因为x≠x1，得(x+x因为Δ=(x+2)2−42x+16≥0，即x经检验，当x=−6时，不满足题意，所以点B的横坐标的取值范围是SKIPIF1<0．【点评】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围．20．已知双曲线SKIPIF1<0的左右两个顶点是A1，SKIPIF1<0，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E0，2，轨迹D上的点A，B【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由已知A1设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，两式相乘得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即动点M的轨迹D的方程为SKIPIF1<0．（2）过E0，2的直线若斜率不存在则SKIPIF1<0或3，设直线斜率k存在，AxSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2）由（2）（4）解得x1，x2，代入（3）式得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由（1）Δ≥0，解得SKIPIF1<0代入上式右端得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上实数的取值范围是SKIPIF1<0．【点评】本题考查了动点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．如图，已知圆SKIPIF1<0和双曲线SKIPIF1<0，记Γ1与y轴正半轴、x轴负半轴的公共点分别为A、B，又记Γ1与Γ2在第一、第四象限的公共点分别为C、D．（1）若r=2，且B恰为Γ2的左焦点，求Γ（2）若r=2，且AC+AD=(m（3）若B恰为Γ2的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点P，使得PA【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意圆方程为x2+(y−1)2=4，令∴B(−3，0)，即c=3，∴b=c2−∴渐近线方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）圆方程为x2+(y−1)2=4，SKIPIF1<0设C(x1，y1)，D(x2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC+所以y1+y2−6=−5，即SKIPIF1<0，解得b=1方程(*)为2y2−2y−2=0，即y2−y−1=0，SKIPIF1<0代入双曲线方程得SKIPIF1<0，∵C，D在第一、四象限，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（3）由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设C(x由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，AC=2PA−PC≤∴x轴上不存在点P，使得PA−【点评】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．高频易错题高频易错题一、选择题．1．已知P是曲线C：x+2y−y2=0上的点，Q是直线x−y−1=0上的一点，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由x+2y−y2=0∴曲线C是圆心为SKIPIF1<0，半径r=1的左半圆，曲线C上的点到直线x−y−1=0的最小距离为原点到直线的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题．2．过点A(1，A．x−y+1=0 B．x+y−3=0C．2x−y=0或x+y−3=0 D．【答案】D【解析】易知斜率不存在时，不满足；设直线方程为SKIPIF1<0，则截距和为SKIPIF1<0，解得k=1或k=2，故直线方程为y=x+1和y=2x，故选D．【点评】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力．3．若F1，F2是双曲线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为椭圆SKIPIF1<0的焦点坐标为SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0中，c=3，a2+设点P为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，△PF1F所以PF在双曲线中，2a=PF2−PF1=6−4=2，所以SKIPIF1<0，代入所以该双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，故选B．【点评】此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由△PF1F精准预测题精准预测题一、选择题．1．已知点A(2，3)，SKIPIF1<0与直线l:kx−y−k+1=0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】已知点A(2，3)，SKIPIF1<0与直线l:kx−y−k+1=0，且直线l与线段AB相交，直线l:kx−y−k+1=0，即直线l:k(x−1)−y+1=0，它经过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线l的斜率k的取值范围为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选A．【点评】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题．2．点P在函数SKIPIF1<0的图象上．若满足到直线SKIPIF1<0的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．22 B．2【答案】C【解析】过函数y＝ex的图象上点SKIPIF1<0作切线，使得此切线与直线SKIPIF1<0平行，∵SKIPIF1<0，于是ex0=1，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，于是当点P到直线SKIPIF1<0的距离为2时，则满足到直线SKIPIF1<0的距离为2的点P有且仅有3个，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足，故a＝3，故选C．【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．3．设A−2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA2+PB2≤16，若直线kx−y+6=0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设Px，y整理可得x2+y在△PQO中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设原点到直线的距离为d，则需满足d≤4，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选C．【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出OQ=24．设a，b，c分别是△ABC中∠A，A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直【答案】C【解析】a，b，c分别是则直线x⋅sinA+a⋅y+b⋅x−y⋅sinB+sinC=0的斜率为∵SKIPIF1<0，∴两条直线垂直，故选C．【点评】本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．5．如图，双曲线SKIPIF1<0以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CD=4AB，则Γ的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】连接CA，BD，不妨设AB=1，则CD=4，BD=1+2a在△ABD中，1+4c在△ACD中，16+4c②-①，得15+10c=12a+15，则SKIPIF1<0，故选C．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．二、填空题．6．已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段PF相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率________．【答案】SKIPIF1<0【解析】设切点为M，右焦点为F1由题意可知OF=c，OM=b，则因为M，O分别是PF，由椭圆的定义可知2c2−两边平方得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点评】解决本题的关键是由椭圆的定义得出SKIPIF1<0，进而得出离心率．7．双曲线SKIPIF1<0的左顶点为A，M是双曲线的渐近线与圆SKIPIF1<0的一个交点，过M作圆的切线l交y轴于P，若AP的斜率为3，则双曲线E的离心率为_________．【答案】3【解析】不妨设M是圆与渐近线SKIPIF1<0在第一象限的交点，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则切线PM的方程为SKIPIF1<0，令x=0，得y=c，即P(0，∵AP的斜率为3，∴SKIPIF1<0，即离心率为3，故答案为3．【点评】本题结合直线与圆的位置关系，考查了双曲线的离心率，属于基础题．8．已知圆C:x2+y2−16y+48=0与双曲线SKIPIF1<0的渐近线相切，则为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由x2+y所以圆心C0，8双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线为SKIPIF1<0，由题意得圆心到渐近线的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点评】本题的关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，可得a，三、解答题．9．已知点F是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且SKIPIF1<0．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知M1，0，N4，3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点．设直线AN，BN的斜率分别为k1【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由题可得OF=c，OP=b，SKIPIF1<0，即c=3b，∴a=b2+c2=2b（2）由（1）可得椭圆方程为SKIPIF1<0，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx−1，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立直线与椭圆SKIPIF1<0，得1+4k2x2−8则Δ=64k4−4则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即b2−1k−1=0对任意则椭圆方程为SKIPIF1<0；当直线斜率不存在时，则直线方程为x=1，则A1，y此时SKIPIF1<0，满足题意，综上，椭圆方程为SKIPIF1<0．【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为Ax1，（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为x1（5）代入韦达定理求解．10．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点A2，1．（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）设点Mx1，∵AM⊥AN，∴AM整理可得y1y当直线MN斜率k不存在时，显然AM⊥则可设MN:y=kx+m，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由Δ=16k2m2则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①式化简可得4k即2k+m−12k+3m+1=0，∴m=1−2k或SKIPIF1<0，则直线方程为y=kx+1−2k=x−2k+1或SKIPIF1<0，∴直线过定点2，1或SKIPIF1<0，又2，1和∴直线MN过定点SKIPIF1<0．【点评】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；②利用Δ>0求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．11．已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为4，离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：SKIPIF1<0为定值；②若直线l的斜率为SKIPIF1<0，求四边形APBQ的面积的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）①证明见解析；②SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程为SKIPIF1<0．（2）①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，3)．设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为点P在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，为定值．②由题意，A(2，0)，B(0，3)，设SKIPIF1<0，由点A(2，0)，B(0，3)位于直线l的两侧，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1