2023版高三一轮总复习物理（新教材新高考）第1章第2节匀变速直线运动的规律

匀变速直线运动的规律一、匀变速直线运动的基本规律1．概念：沿一条直线且加速度不变的运动。2．分类(1)匀加速直线运动：a与v方向相同。(2)匀减速直线运动：a与v方向相反。3．基本规律eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1速度—时间关系：v＝v0＋at,2位移—时间关系：x＝v0t＋\f(1,2)at2))eq\o(→,\s\up10(初速度为零),\s\do10(即v0＝0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v＝at,x＝\f(1,2)at2))二、匀变速直线运动的重要关系式1．两个导出式eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(1速度—位移关系：v2－v\o\al(2,0)＝2ax,2位移—平均速度关系：x＝\o(v,\s\up6(－))t＝\f(v0＋v,2)t))eq\o(→,\s\up10(初速度为零),\s\do10(v0＝0))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v2＝2ax,x＝\f(v,2)t))2．三个重要推论(1)任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差为一恒量。即位移差：Δx＝x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2，可以推广到xm－xn＝(m－n)aT2。(2)中间时刻速度veq\s\do16(eq\f(t,2))＝eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)，即物体在一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，还等于初、末时刻速度矢量和的一半。(3)位移中点的速度veq\s\do16(eq\f(x,2))＝eq\r(\f(v\o\al(2,0)＋v2,2))。3．初速度为零的匀变速直线运动的四个常用推论(1)1T末、2T末、3T末…瞬时速度的比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。(2)1T内、2T内、3T内…位移的比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝12∶22∶32∶…∶n2。(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内…位移的比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间的比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))。三、自由落体运动和竖直上抛运动自由落体运动运动条件(1)物体只受重力作用(2)由静止开始下落运动性质初速度为零的匀加速直线运动运动规律(1)速度公式：v＝gt(2)位移公式：h＝eq\f(1,2)gt2(3)速度—位移公式：v2＝2gh竖直上抛运动运动性质匀变速直线运动运动规律(1)速度公式：v＝v0－gt(2)位移公式：h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(3)速度—位移关系式：v2－veq\o\al(2,0)＝－2gh(4)上升的最大高度：H＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)(5)上升到最高点所用时间：t＝eq\f(v0,g)一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)伽利略从理论和实验两个角度证明轻、重物体下落一样快。 (√)(2)匀变速直线运动是加速度均匀变化的直线运动。 (×)(3)几个做匀变速直线运动的物体，加速度最大的物体在时间t内位移一定最大。 (×)(4)在匀变速直线运动中，中间时刻的速度一定小于该段时间内位移中点的速度。 (√)(5)做自由落体运动的物体，下落的高度与时间成正比。 (×)(6)做竖直上抛运动的物体，在上升过程中，速度的变化量的方向是向下的。 (√)二、教材习题衍生1．(鲁科版必修第一册P44T2改编)空军特级飞行员李峰驾驶歼十战机执行战术机动任务，在距机场54km、离地1750m高度时飞机发动机停车失去动力。在地面指挥员的果断引领下，安全迫降机场，成为成功处置国产单发新型战机空中发动机停车故障、安全返航第一人。若飞机着陆后以6m/s2的加速度做匀减速直线运动，若其着陆后的初速度为60m/s，则它着陆后12s内滑行的距离是()A．288mB．300mC．150mD．144mB[先求出飞机着陆后到停止所用时间t，由v＝v0＋at，得t＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(0－60,－6)s＝10s，由此可知飞机在12s内不是始终做匀减速运动，它在最后2s内是静止的，故它着陆后12s内滑行的距离为x＝v0t＋eq\f(at2,2)＝60×10m＋(－6)×eq\f(102,2)m＝300m。]2．(人教版必修第一册P44T4改编)在同一直线上的A、B两个高铁实验站台之间的距离为s，某次实验中一列实验高铁沿轨道由静止从A出发驶向B，高铁先以大小为a的加速度匀加速运动一段时间，接着以大小为2a的加速度匀减速运动，到达B时速度恰好为零，A．eq\r(\f(4as,3))B．eq\r(as)C．eq\r(\f(2as,3))D．eq\r(\f(as,3))A[设高铁最大速度为vm，加速的时间为t1，减速的时间为t2，则eq\f(vm,2)(t1＋t2)＝s，vm＝at1＝2at2，联立解得vm＝eq\r(\f(4as,3))。故选A。]3．(人教版必修第一册P51T4改编)(多选)如图是小球自由下落的频闪照片。频闪仪每隔0.04s闪光一次，照片中的数字是小球距释放点的距离。由题目的已知条件和照片所给的信息，可以判断出()A．照片中数字的单位是mmB．小球受到的空气阻力不可忽略C．无法求出小球运动到A位置的速度D．释放小球的瞬间频闪仪刚好闪光BD[根据自由落体的位移公式h＝eq\f(1,2)gt2知道在最初的0.04s下落的位移约为0.008m，所以照片中数字的单位是cm，且释放小球的瞬间频闪仪刚好闪光，A错误，D正确；利用最后一个点，根据h＝eq\f(1,2)at2，算出g＝eq\f(2h,t2)＝eq\f(2×0.1935,0.22)m/s2≈9.68m/s2，球受到的空气阻力不可忽略，B正确；根据v2＝2gx，可以算出小球运动到A位置的速度，选项C错误。]匀变速直线运动规律的应用1．运动学公式中符号的规定：一般规定初速度的方向为正方向，与初速度同向的物理量取正值，反向的物理量取负值。若v0＝0，一般以a的方向为正方向。2．解决运动学问题的基本思路3．解决匀变速直线运动问题的常用方法情景特点思路公式已知x、t或已知v、v0平均速度法eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(v0＋v,2)＝veq\s\do16(eq\f(t,2))＝eq\f(x,t)等时间段推论法Δx＝aT2或xm－xn＝(m－n)aT2初速度为零的等时间段比例法速度比结论位移比结论初速度为零的等位移段比例法时间比结论末速度为零的匀减速直线运动逆向思维法转化为初速度为零的匀加速直线运动基本公式的应用[典例1](2021·广东茂名五校联盟模拟)一质点做匀变速直线运动，已知初速度大小为v，经过一段时间速度大小变为2v，加速度大小为a，这段时间内的路程与位移大小之比为5∶3，则下列叙述正确的是()A．这段时间内质点运动方向不变B．这段时间为eq\f(3v,a)C．这段时间的路程为eq\f(3v2,2a)D．再经过相同时间质点速度大小为3vB[由题意知，质点做匀减速直线运动，速度减小到零后，再返回做匀加速运动，即在这段时间内运动方向改变，如图所示，选项A错误；由v＝v0＋at得－2v＝v－at，这段时间t＝eq\f(3v,a)，选项B正确；由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax得，由初速度为v减速到零所通过的路程s1＝eq\f(v2,2a)，然后反向加速到2v所通过的路程s2＝eq\f(2v2,2a)＝eq\f(2v2,a)，总路程为s＝s1＋s2＝eq\f(5v2,2a)，选项C错误；再经过相同时间，质点速度v′＝v－a·2t＝－5v，即速度大小为5v，选项D错误。]推论及其应用[典例2]一小球沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点，已知AB＝6m，BC＝10m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2s，则小球经过A、B、C三点时的速度大小分别是()A．2m/s，3m/s，4m/s B．2m/s，4m/s，6m/sC．3m/s，4m/s，5m/s D．3m/s，5m/s，7m/sB[根据匀加速直线运动中，一段时间内的平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，故B点的速度等于A到C过程的平均速度，vB＝eq\f(AB＋BC,2t)＝4m/s，又因为连续相等时间内的位移之差等于恒量，即Δx＝at2，则由Δx＝BC－AB＝at2，解得a＝1m/s2，再由速度公式v＝v0＋at，解得vA＝2m/s，vC＝6m/s，故选项B正确。]解决匀变速直线运动问题的两个技巧(1)把减速到0的匀减速直线运动转化为反向的初速度为0的匀加速直线运动，列方程将非常简便，如果可以进一步利用比例关系解题则更简单。(2)若已知匀变速直线运动的位移和时间，通常优先考虑应用平均速度公式，求出中间时刻的瞬时速度。[跟进训练]1．(多选)(2021·河南省洛阳市高三调研)如图所示，在一平直公路上，一辆汽车从O点由静止开始做匀加速直线运动，已知在3s内经过相距30m的A、B两点，汽车经过B点时的速度为15m/s，则()A．汽车经过A点的速度大小为5m/sB．A点与O点间的距离为20mC．汽车从O点到A点需要的时间为5sD．汽车从O点到B点的平均速度大小为7.5m/sAD[汽车在AB段的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(xAB,tAB)＝eq\f(30,3)m/s＝10m/s，而汽车做匀加速直线运动，所以有eq\x\to(v)＝eq\f(vA＋vB,2)，即vA＝2eq\x\to(v)－vB＝2×10m/s－15m/s＝5m/s，选项A正确；汽车的加速度a＝eq\f(v\o\al(2,B)－v\o\al(2,A),2xAB)，代入数据解得a＝eq\f(10,3)m/s2，由匀变速直线运动规律有veq\o\al(2,A)＝2axOA，代入数据解得xOA＝3.75m，选项B错误；由vA＝atOA，解得汽车从O点到A点需要的时间为tOA＝1.5s，选项C错误；汽车从O点到B点的平均速度大小eq\o(v,\s\up6(－))′＝eq\f(vB,2)＝eq\f(15,2)m/s＝7.5m/s，选项D正确。]2．一物体以初速度v0做匀减速直线运动，第1s内通过的位移为x1＝3m，第2s内通过的位移为x2＝2m，又经过位移x3，物体的速度减小为0，则下列说法中不正确的是()A．初速度v0的大小为2.5m/sB．加速度a的大小为1m/sC．位移x3的大小为eq\f(9,8)mD．位移x3内的平均速度大小为0.75m/sA[由Δx＝aT2得该运动加速度大小a＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(Δx,T2)))＝1m/s2，根据匀变速直线运动位移—时间公式，则有x1＝v0t1－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,1)，得v0＝3.5m/s，选项A错误，B正确；设物体停止时运动的位移为x，停止时所用时间为t，则有veq\o\al(2,0)＝2ax，v0＝at，解得：x＝eq\f(49,8)m，t＝3.5s，因此，x3＝x－x1－x2＝eq\f(9,8)m，所用时间t3＝t－t1－t2＝1.5s，位移x3内的平均速度大小eq\x\to(v)3＝eq\f(x3,t3)＝0.75m/s，选项C、D正确。]变速直线运动的实际应用1．刹车问题的两点注意(1)求解时首先要确定其刹车时间(t0＝eq\f(v0,a)，a表示刹车时加速度的大小，v0表示汽车刹车的初速度的大小)，明确运动时间与刹车时间的大小关系。(2)如果问题涉及最后减速阶段(最终停止运动)的运动，可把该阶段看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。2．如果物体先做匀减速直线运动，减速为零后又反向做匀加速直线运动，若全过程加速度大小、方向均不变，则求解时可对全过程列式，但必须注意x、v、a等矢量的正负号及物理意义。“刹车”问题[典例3](2021·重庆市第一次诊断)一辆公共汽车进站后开始刹车，做匀减速直线运动。开始刹车后的第1s内和第2s内位移大小依次为9m和7m，则刹车后6s内的位移()A．20mB．24mC．25mD．75m思路点拨：(1)“第1s内和第2s内位移……”可用Δx＝aT2求加速度。(2)“刹车后6s内的位移”需判断刹车时间。C[设汽车的初速度为v0，加速度为a，根据匀变速直线运动的推论Δx＝aT2得x2－x1＝aT2，解得a＝eq\f(x2－x1,T2)＝eq\f(7－9,12)m/s2＝－2m/s2；汽车第1s内的位移x1＝v0t＋eq\f(1,2)at2，代入数据解得v0＝10m/s；汽车刹车到停止所需的时间t0＝eq\f(0－v0,a)＝eq\f(0－10,－2)s＝5s，则汽车刹车后6s内的位移等于5s内的位移，则x＝eq\f(v0,2)t0＝eq\f(10,2)×5m＝25m，故C正确，A、B、D错误。]自由落体运动和竖直上抛运动eq[典例4]气球下挂一重物，以v0＝10m/s的速度匀速上升，当到达离地面高度h＝175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多长时间落到地面？落地时的速度多大？(空气阻力不计，g取10m/s2)[解析]法一：分段法绳子断裂后重物要继续上升的时间t1和上升的高度h1分别为t1＝eq\f(v0,g)＝1sh1＝eq\f(v\o\al(2,0),2g)＝5m故重物离地面的最大高度为H＝h1＋h＝180m重物从最高处自由下落，落地时间t2和落地速度v分别为t2＝eq\r(\f(2H,g))＝6sv＝gt2＝60m/s所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间为t＝t1＋t2＝7s。法二：全程法从重物自气球上脱落计时，经时间t落地，规定初速度方向为正方向，画出运动草图如图所示。则重物在时间t内的位移h′＝－175m由位移公式有h′＝v0t－eq\f(1,2)gt2即－175＝10t－eq\f(1,2)×10t2＝10t－5t2t2－2t－35＝0解得t＝7s(t＝－5s舍去)所以重物的落地速度为v＝v0－gt＝10m/s－10×7m/s＝－60m/s其中负号表示方向向下，与初速度方向相反。[答案]7s60m/s解决竖直上抛运动的两点注意(1)要注意速度、加速度、位移等的方向，竖直上抛运动可将全过程看成初速度方向为正方向的匀减速运动。(2)竖直上抛运动为双向可逆运动，要注意其多解性，其在空中运动情况分析常有以下两种判断方法：①根据位移h判断：h>0在抛出点上方，h＝0恰好在抛出点，h<0在抛出点下方。②根据时间t判断：t<eq\f(v0,g)表示正处在上升过程，t＝eq\f(v0,g)恰好在最高点，t>eq\f(v0,g)表明在下降过程中，t>eq\f(2v0,g)表明在抛出点下方。[跟进训练]1．(2021·山西省永济市高三月考)以36km/h的速度沿平直公路行驶的汽车，遇障碍物刹车后获得大小为a＝4m/s2的加速度，刹车后第3s内，汽车走过的路程为()A．12mB．2mC．10mD．0.5mD[36km/h＝10m/s，汽车刹车到停止所需的时间t0＝eq\f(0－v0,a)＝eq\f(－10,－4)s＝2.5s，刹车后第3s内的位移，等于停止前0.5s内的位移，则x＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)×4×0.25m＝0.5m，综上分析A、B、C错误，D正确。]2．(多选)一物体以5m/s的初速度在光滑斜面上向上运动，其加速度大小为2m/s2，设斜面足够长，经过t时间物体位移的大小为4m，则时间t可能为()A．1sB．3sC．4sD．eq\f(5＋\r(41),2)sACD[当物体的位移为4m时，根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得4＝5t－eq\f(1,2)×2t2，解得t1＝1s，t2＝4s；当物体的位移为－4m时，根据x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得－4＝5t－eq\f(1,2)×2t2，解得t3＝eq\f(5＋\r(41),2)s，故A、C、D正确，B错误。]3．(多选)(2021·河北衡水高三调研)自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g，下面说法正确的是()A．若v0＞eq\r(gH)，两物体相遇时，B正在下降途中B．若v0＝eq\r(gH)，两物体在地面相遇C．若eq\r(\f(gH,2))＜v0＜eq\r(gH)，两物体相遇时B物体正在空中下落D．若v0＝eq\r(\f(gH,2))，则两物体在地面相遇CD[假设B物体在上升到最高点时与A相遇，则t＝eq\f(v0,g)，H＝eq\f(1,2)gt2＋eq\f(v\o\al(2,0),2g)，v0＝eq\r(gH)，则当v0＞eq\r(gH)时，两物体在B上升中相遇，选项A错误；当v0＝eq\r(gH)时，两物体在B上升到最高点时相遇，选项B错误；如果两物体在B下落到地面时相遇，则t＝eq\f(2v0,g)，H＝eq\f(1,2)gt2，v0＝eq\r(\f(gH,2))，则当eq\r(\f(gH,2))＜v0＜eq\r(gH)时，两物体相遇时，B物体正在空中下落，选项C、D正确。]匀变速直线运动在多过程问题中的应用1．如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的桥梁，可按下列四个步骤解题：2．解题关键分析和求解运动转折点的速度往往是解题的突破口。[典例5]交通运输部办公厅发布了《关于大力推动高速公路ETC发展应用工作的通知》，明确提出：高速公路基本实现不停车快捷收费。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以v1＝12m/s的速度朝收费站沿直线行驶，如果走ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝10m处正好匀减速至v2＝4m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝20s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1m/s2。求：(1)汽车走ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；(2)汽车走人工收费通道，应在离收费站中心线多远处开始减速；(3)汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间。思路点拨：画出运动过程示意图(1)走ETC通道时经历三个运动阶段：(2)走人工收费通道经历两个运动阶段：[解析](1)走ETC通道时，减速的位移和加速的位移相等，则x1＝eq\f(v\o\al(2,1)－v\o\al(2,2),2a)＝64m故总的位移x总1＝2x1＋d＝138m。(2)走人工收费通道时，开始减速时离中心线的距离为x2＝eq\f(v\o\al(2,1),2a)＝72m。(3)走ETC通道时，汽车从开始匀减速到匀加速到v1的时间t1＝eq\f(v1－v2,a)×2＋eq\f(d,v2)＝18.5s走人工收费通道时，汽车从开始匀减速到匀加速到v1的时间t2＝eq\f(v1,a)×2＋t0＝44s又x总2＝2x2＝144m二者的位移差：Δx＝x总2－x总1＝6m在这段位移内汽车以正常行驶速度做匀速直线运动，则Δt＝t2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t1＋\f(Δx,v1)))＝25s。[答案](1)138m(2)72m(3)25s[跟进训练]1．(多选)一种比飞机还要快的旅行工具即将诞生，称为“第五类交通方式”，它就是“Hyperloop(超级高铁)”。据英国《每日邮报》2016年7月6日报道，HyperloopOne公司计划，将在欧洲建成世界首架规模完备的“超级高铁”(Hyperloop)，连接芬兰首都赫尔辛基和瑞典首都斯德哥尔摩，速度可达每小时700英里(约合1126公里/小时)。如果乘坐Hyperloop从赫尔辛基到斯德哥尔摩，600千米的路程需要40分钟，Hyperloop先匀加速，达到最大速度1200km/h后匀速运动，快进站时再匀减速运动，且加速与减速的加速度大小相等，则