2023届高三数学一轮巩固与练习：计数原理

稳固1．(原创题)设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，那么(a，b)为A．(34,34)B．(43,34)C．(34,43)D．(A43，A43)解析：选C.每名学生报名有3种选择，4名学生有34种选择，每项冠军有4种可能归属，3项冠军有43种可能结果．2．(2023年苏南四市调研)设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}．假设P＝{0,1,2}，Q＝{1,2,3,4}，那么P*Q中元素的个数是()A．4个B．7个C．12个D．16个解析：选C.a有3种选法，b有4种取法，由乘法原理，有3×4＝12(种)不同取法，生成12个不同元素．3.(2023年高考全国卷Ⅱ)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，那么甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()A．6种B．12种C．24种D．30种解析：选C.甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法为C42×2C21＝24种．4．假设x、y∈N*，且x＋y≤6，那么有序自然数对(x，y)共有________个．解析：当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，由分类计数原理，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)．答案：155．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，那么不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：可分两步解决．第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法．第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：第一步，先选学习委员有4种选法，第二步选体育委员有3种选法．由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有3×4×3＝36(种)．答案：366．某体育彩票规定，从01到36共36个号中抽出的7个号为一注，每注2元．某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注．假设这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解：第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法．由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7＝1050注，故至少要花1050×2＝2100元．练习1．某城市的号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，那么该城市可增加的部数是()A．9×8×7×6×5×4×3B．8×96C．9×106D．81×105解析：选D.号码是六位数字时，该城市可安装9×105部，同理升为七位时为9×106.∴可增加的部数是9×106－9×105＝81×105.2．从长度分别为1,2,3,4的四条线段中任取三条的不同取法共有n种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，那么eq\f(m,n)＝()A．0B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)解析：选B.n＝4，在“1,2,3,4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边〞知可组成三角形的有“2,3,4”，即m＝1，所以eq\f(m,n)＝eq\f(1,4).3．I＝{1,2,3}，A、B是集合I的两个非空子集，且A中所有数的和大于B中所有数的和，那么集合A、B共有()A．12对B．15对C．18对D．20对解析：选D.依题意，当A、B均有一个元素时，有3对；当B有一个元素，A有两个元素时，有8对；当B有一个元素，A有三个元素时，有3对；当B有两个元素，A有三个元素时，有3对；当A、B均有两个元素时，有3对．共20对，应选D.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b，组成复数a＋bi，其中虚数有()A．36个B．42个C．30个D．35个解析：选A.由于a，b互不相等且为虚数，所有b只能从{1,2,3,4,5,6}中选一个有6种，a从剩余的6个选一个有6种，根据分步计数原理知虚数有6×6＝36(个)．5．三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为()A．25B．26C．36D．37解析：选C.另两边长用x，y表示，且不妨设1≤x≤y≤11，要构成三角形，必须x＋y≥12.当y取值11时，x＝1,2,3，…，11，可有11个三角形；当y取值10时，x＝2,3，…，10，可有9个三角形；…当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形．∴所求三角形的个数为11＋9＋7＋5＋3＋1＝36.6．在1,2,3,4,5这五个数字所组成的允许有重复数字的三位数中，其各个数字之和为9的三位数共有()A．16个B．18个C．19个D．21个解析：选C.假设取三个完全不同的数字为1,3,5或2,3,4.其中每种可排3×2×1＝6(个)数．假设取有两个相同的数字，为1,4,4或2,2,5.每种可排3个数．假设取三个相同的数字，为3,3,3，可排一个数，所以共可排6×2＋3×2＋1＝19(个)数．7．如右图所示为一电路图，假设只闭合一条线路，从A到B共有______条不同的线路可通电．解析：∵按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有3种，中线路中有一种，下线路中有2×2＝4(种)．根据分类计数原理，共有3＋1＋4＝8(种)．答案：88.山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多项选择一门，学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案．(用数值作答)解析：第一类，假设从A、B、C三门选一门有C31·C63＝60(种)，第二类，假设从其他六门中选4门有C64＝15(种)，∴共有60＋15＝75种不同的方法．答案：759．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有二次函数3×3×2＝18(个)．假设二次函数为偶函数，那么b＝0.同上共有3×2＝6(个)．答案：18610．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人．(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法．(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血〞的事情都可以完成，所以用分类计数原理．有28＋7＋9＋3＝47种不同选法．(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这种“各选1人去献血〞的事情才完成，所以用分步计数原理．有28×7×9×3＝5292种不同选法．11．有0、1、2、…、8这9个数字．用五张卡片，正反两面分别写上0、8；1、7；2、5；3、4；6、6；且6可作9用．这五张卡片共能拼成多少个不同的四位数？解：由于正反两面可用，且一张卡片在拼一个四位数的过程中至多出现在一个数位上，同时首位不可为0,6可作9用，∴首位有9种拼法，百位有8种拼法，十位有6种拼法，个位有4种拼法．∴共能拼成9×8×6×4＝1728(个)不同的四位数．12．用n种不同颜色为下侧两块广告牌着色(如图甲、乙所示)，要求在①、②、③、④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色．(1)假设n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？(2)假设为乙着色时共有120种不同方法，求n.解：完成着色这件事，共分四个步骤，可依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，再由分步计数原理确定总的着色方法数，因此：(1)为①着色有6种方法，为