2023重庆中考复习二次函数

2023寒假二次函数如图：抛物线与轴交于两点〔点在点的左侧〕与轴交于点，点为抛物线的顶点，过点的对称轴交轴于点.〔1〕如图1，连接，试求出直线的解析式；〔2〕如图2，点为抛物线第一象限上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，线段交于点，求此时的值；〔3〕如图3，点，连接，将沿着轴上下平移〔包括〕在平移的过程中直线交轴于点，交轴于点，那么在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，假设存在，请直接写出点的坐标，假设不存在，请说明理由.解：〔1〕∴令得∴,∴设的解析式为，∴的解析式为：………………..4分〔2〕连接,过作轴交于点,那么,∴的面积最大时四边形的面积最大设，，，当时，的面积最大，四边形的面积最大，此时设，代入,，又的解析式为：，，过点作于点,………….8分…………..12分如图，抛物线与轴交于，两点〔点在点的左侧〕，与交于点，的平分线与轴交于点，与抛物线相交于点，是线段上一点，过点作轴的垂线，分别交，于点，，连接，．〔1〕如图1，求线段所在直线的解析式；〔2〕如图1，求△面积的最大值和此时点的坐标；26题图126题图226题备用图〔3〕如图2，以为边，在它的右侧作正方形，点在线段上运动时正方形也随之运动和变化，当正方形的顶点或顶点在线段上时，求正方形的边长．26题图126题图226题备用图解：〔1〕抛物线的解析式为：令，那么，．……………〔1分〕令，那么，解得，．，．……………………〔2分〕设直线所在直线解析式为：，将，代入可得，解得，直线所在直线解析式为：．…〔4分〕〔2〕过点作于点，如图1．，．．在中，．在与中，，，≌，，．设，那么．，．在中，，，解得，．．．设直线所在直线解析式为：，将，代入可得，解得直线所在直线解析式为：．…………〔5分〕26题答图2又直线的解析式为：．26题答图2设，那么，，，，．…〔6分〕该函数的对称轴是直线．当时，的最大值＝．………〔7分〕26题答图3此时，．………………〔826题答图3〔3〕由，可得直线的解析式为：．=1\*GB3①当顶点在线段上时，如图3．设，那么，，．，．，，解得，．．顶点在线段上时，，正方形的边长为．…………〔10分〕=2\*GB3②当顶点在线段上时，如图4．26题答图4设，那么，，．26题答图4，．，，解得，．．顶点在线段上时，，正方形的边长为．……〔12分〕综上所述，顶点在线段上时，，正方形的边长为；顶点在线段上时，，正方形的边长为．在直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点连接.〔1〕求的正弦值.〔2〕如图1,为第一象限内抛物线上一点，记点横坐标为,作//交于点,//轴交于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当时线段的长.〔3〕如图2,为轴上一动点〔不与点、重合〕,作//交直线于点,连接，是否存在点使,假设存在,请直接写出点的坐标,假设不存在，请说明理由.解：〔1〕∵∴C〔0，4〕令y=0，4x2-8x-12=0x2-2x-3=0(x-3)(x+1)=0x1=-1x2=3∴A(-1,0)B(3,0)∴OA=1,OC=4∴Rt△ACO中，∴……4分〔2〕∵DE//AC，∴∠1+∠2＝∠3＝∠4+∠5又∵∠2＝∠4∴∠1＝∠5∴0A∶OC＝EM∶DM过点E作EM⊥DH于M设D〔〕直线BC∶∴H()∴DH=……5分设EM＝x，那么DM＝4x∠MEH＝∠B∴∴图2图2∴＝……7分当CH∶BH＝2∶1，延长DH至K，那么OK∶KB=2∶1,OK=2∴m=2∴……9分〔3〕……12分．如图1，抛物线与轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，交轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交轴于点D，交抛物线于另一点E．〔1〕求直线AE的解析式；〔2〕点F是第一象限内抛物线上一点，当△FAD的面积最大时，在线段AE上找一点G〔不与点A、E重合〕，使FG＋GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG＋GE的最小值；〔3〕如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．EBEBACxyOD26题图2xOByADFEC26题图1解：〔1〕在中，令y=0，得．解得，，∴点A的坐标为〔－1，0〕，点B的坐标为(3，0)，即OA＝1．………〔1分〕在中，令x＝0，得y＝，∴点C的坐标为〔0，〕，即OC＝．在Rt△AOC中，tan∠CAO，∴∠CAO＝60°，又∵∠CAD＝90°，∴∠OAD＝30°．在Rt△AOD中，tan∠OAD＝，即tan30°＝，∴OD＝，∴点D的坐标为〔0，〕．………………….....………〔2分〕设直线AE的解析式为y＝kx＋b〔k≠0〕，∵点A、点D在直线AE上，∴解得∴直线AE的解析式为．……………....……〔2〕过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K〔如答图1〕，过点D作DM⊥FK于点M．xyFCADOBxyFCADOBEGHKMPQ26题答图1那么点K的坐标为〔x，〕，∴FK＝－()＝∴S△FAD＝S△FAK－S△FDK＝＝＝……...…...〔5分〕∴当x＝＝时，S△FAD有最大值，∴此时点F的坐标为(，)．………………...…..……………...…..…〔6分〕点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，GP⊥EQ于点P，那么∠PEG＝30°，GP＝GE，FG+GE＝FG＋GP．过点F作EQ的垂线，交AE于点G，此时FG+GE的值最小，∴此时点G的坐标为〔，〕．…….............……...........................…〔7分〕FG+GE的最小值为．…….......…....………...............................…〔8分〕〔3〕连结C，过点作F⊥y轴于点F〔如答图2〕．xBACyOD26题答图2EF那么C＝，CF＝C＝，F＝CxBACyOD26题答图2EF∴点的坐标为〔t，〕．由〔2〕知：点E的坐标为〔4，〕．∴，，．当A=E时，，解得．.............................................…〔9分〕②当A＝AE时，，解得，〔舍去〕．….........................…〔10分〕③当AE=E时，解得．综上所述，当△AE为等腰三角形时，或或或．…..........................................................................................................〔12分〕如图1，抛物线交轴于、两点〔点在点的左侧〕，交于点，连接、，其中.求抛物线的解析式；点为直线上方的抛物线上一点，过点作交于,作轴于，交于，当的周长最大时，求点的坐标及的最大值；如图2，在〔2〕的结论下，连接分别交于,交于,四边形从开始沿射线平移，同时点从开始沿折线运动，且点的运动速度为四边形平移速度的倍，当点到达点时四边形停止运动，设四边形平移过程中对应的图形为，当为等腰三角形时，求长度.如图1如图2备用图．如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D，C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E．〔1〕求直线AD的解析式；〔2〕如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH周长的最大值；〔3〕如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ′，PQ′．当△PMQ′与□APQM重合局部的面积是□APQM面积的EQ\F(1,4)时，求□APQM面积．图1图2备用图解：〔1〕令－x2+2x+3=0，解得x1=－1，x2=3，∴A〔－1，0〕，C〔0，3〕，∵点D，C关于抛物线的对称轴对称，∴D〔2，3〕，∴直线AD的解析式为：y=x+1；〔2〕设点F〔x，－x2+2x+3〕，∵FH∥x轴，∴H〔－x2+2x+2，－x2+2x+3〕，∴FH=－x2+2x+2－x=－〔x－EQ\F(1,2)〕2+EQ\F(9,4)，∴FH的最大值为EQ\F(9,4)，易得△FHG为等腰直角△，故△FGH周长的最大值为EQ\F(9+9\R(2),4)；〔3〕①当P点在AM下方时，如图，设P〔0，p〕，易知M〔1，4〕，从而Q〔2，4+p〕，∵△PMQ′与□APQM重合局部的面积是□APQM面积的EQ\F(1,4)，∴PQ′必过AM中点N〔0，2〕，∴可知Q′在y轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T〔1，4〕，从而T、M重合，故□APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y=2x+2，而MQ⊥AM，过M，∴直线QQ′：y=－EQ\F(1,2)x+EQ\F(9,2)，∴4+p=－EQ\F(1,2)×2+EQ\F(9,2)，∴p=－EQ\F(1,2)，〔注：此处也可用AM2+AP2=MP2得出p=－EQ\F(1,2)〕，∴PN=EQ\F(5,2)，∴S□APQM=2S△AMP=4S△ANP=4×EQ\F(1,2)×PN×AO=4×EQ\F(1,2)×EQ\F(5,2)×1=5；②当P点在AM上方时，如图，设P〔0，p〕，易知M〔1，4〕，从而Q〔2，4+p〕，∵△PMQ′与□APQM重合局部的面积是□APQM面积的EQ\F(1,4)，∴PQ′必过QM中点R〔EQ\F(3,2)，4+EQ\F(p,2)〕，易得直线QQ′：y=－EQ\F(1,2)x+p+5，联立eq\b\lc\{(\a\al(y=2x+2,y=－EQ\F(1,2)x+p+5))解得：x=EQ\F(6+2p,5)，y=EQ\F(22+4p,5)，∴H〔EQ\F(6+2p,5)，EQ\F(22+4p,5)〕，∵H为QQ′中点，故易得Q′〔EQ\F(2+4p,5)，EQ\F(24+3p,5)〕，由P〔0，p〕、R〔EQ\F(3,2)，4+EQ\F(p,2)〕易得直线PR解析式为：y=〔EQ\F(8,3)－EQ\F(p,3)〕x+p，将Q′〔EQ\F(2+4p,5)，EQ\F(24+3p,5)〕代入到y=〔EQ\F(8,3)－EQ\F(p,3)〕x+p得：EQ\F(24+3p,5)=〔EQ\F(8,3)－EQ\F(p,3)〕×EQ\F(2+4p,5)+p，整理得：p2－9p+14=0，解得p1=7，p2=2〔与AM中点N重合，舍去〕，∴P〔0，7〕，∴PN=5，∴S□APQM=2S△AMP=2×EQ\F(1,2)×PN×∣xM－xA∣=2×EQ\F(1,2)×5×2=10．综上所述，□APQM面积为5或10．如图1，抛物线y=－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3与x轴交于A、B两点〔点A在点B的右侧〕，交y轴于点C，点D的坐标为〔0，－1〕，直线AD交抛物线于另一点E；点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H．〔1〕求线段DE的长；〔2〕设d=PQ－EQ\F(\R(3),4)PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EQ\F(1,2)EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EQ\F(1,2)EK的最小值；〔3〕如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN、QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？假设存在，求出点N的坐标，假设不存在，说明理由．解：〔1〕令－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3=0，得x1=－3EQ\R(,3)，x2=EQ\R(,3)，∴A〔EQ\R(,3)，0〕，B〔－3EQ\R(,3)，0〕，设lAD：y=kx－1，∴k=EQ\F(\R(3),3)，∴直线AD解析式：y=EQ\F(\R(3),3)x－1，∴由eq\b\lc\{(\a\al(y=EQ\F(\R(3),3)x－1,y=－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+))解得eq\b\lc\{(\a\al(x1=－4\R(3),y1=－5))，eq\b\lc\{(\a\al(x2=\R(3),y2=0))，∴DF=EQ\R(,48+16)=8；〔2〕∵PQ⊥x轴，PG⊥AE，∴显然△AOD∽△PGQ∽△PFH，∵OA=EQ\R(,3)，OD=1，∴∠OAD=30o，∴∠P=30o，∴EQ\F(PF,PH)=EQ\F(\R(3),2)，∴PF=EQ\F(\R(3),2)PH，∴d=PQ－EQ\F(\R(3),4)PH=PQ－EQ\F(1,2)PF，设P〔x，－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3〕，那么Q〔x，EQ\F(\R(3),3)x－1〕，F〔x，0〕，∴d=〔－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3〕－〔EQ\F(\R(3),3)x－1〕－EQ\F(1,2)〔－EQ\F(1,3)x2－EQ\F(2\R(3),3)x+3〕=－EQ\F(1,6)〔x+2EQ\R(,3)〕2+EQ\F(9,2)，∴当x=－2EQ\R(,3)时，d取得最大值EQ\F(9,2)，此时P〔－2EQ\R(,3)，3〕，如下图，作KM∥y轴，EM∥x轴，那么KM⊥EM，∴∠KEM=∠OAD=30o，∴KM=EQ\F(1,2)EK，故当