第3讲数列的通项公式辅导讲义-高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第3讲数列的通项公式教学目标掌握数列通项公式的求法知识点梳理一、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an方法技巧判断数列递增(减)的方法(1)作差比较法：①若an＋1－an＞0，则数列{an}为递增数列．②若an＋1－an＝0，则数列{an}为常数列．③若an＋1－an＜0，则数列{an}为递减数列．(2)作商比较法：不妨设an＞0.①若eq\f(an＋1,an)＞1，则数列{an}为递增数列．②若eq\f(an＋1,an)＝1，则数列{an}为常数列．③若eq\f(an＋1,an)＜1，则数列{an}为递减数列．二、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．三、an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))三、典型例题讲解考向一、由数列的前几项归纳数列的通项公式规律方法11.求数列的通项时，要抓住以下几个特征.,1分式中分子、分母的特征；2相邻项的变化特征；3拆项后的特征；4各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想.2.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用－1n或－1n＋1来调整.例1、根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,8)，eq\f(13,16)，－eq\f(29,32)，eq\f(61,64)，….考向二、由递推关系求通项公式规律方法2递推式的类型递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2neq\f(an＋1,an)＝f(n)叠乘法a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝2nan＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1例2、根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)在数列{an}中，an＋1＝eq\f(n＋2,n)an，a1＝4；(3)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1.考向三、由an与Sn的关系求通项an规律方法3已知Sn求an时的三个注意点,1重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.2由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.3由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示“分写”，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))例3、已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.(b为常数)对点训练若Sn满足的条件变为如下形式，则又如何求an?(1)Sn＝n2＋n＋1；(2)log2(2＋Sn)＝n＋1.四、课堂练习一、选择题1．如图5－1－1，关于星星的图案中星星的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是()图5－1－1A．an＝n2－n＋1 B．an＝eq\f(nn－1,2)C．an＝eq\f(nn＋1,2) D．an＝eq\f(nn＋2,2)2．在数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是()A．103 B.eq\f(865,8)C.eq\f(825,8) D．1083．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则a10＝()A．1024 B．1023C．2048 D．20474．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)))n－1C．n2 D．n5．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44 B．3×44＋1C．45 D．45＋1二、填空题7．已知数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)(n≥2)，则a16＝________.8．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________.9．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，且1＜Sk＜9(k∈N*)，则a1的值为________，k的值为________．三、解答题10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．11．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝eq\f(2,an＋1)，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．12．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，an＋1－an＝6n＋2，点(eq\f(an,n)，bn)在y＝x3＋mx的图象上，{bn}的最小项为b3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求m的取值范围．课后作业1、已知为数列的前项