对数的概念全国赛教学设计

对数与对数的运算(第1课时)广东省深圳第二外国语学校祁福义一、内容和内容解析内容：对数概念引入的必然性分析，对数的概念与对数的简单性质.内容解析：本节是高中数学人教A版必修一第二章第2节的内容.对数的引入是进一步解决方程a=N(a>0且a中1)中已知两个量求第三个量的问题的延续：是初中所学幕运算的必要补充，也是第二章第1节所学指数运算的逆运算；是“概念一运算一函数”研究路径的又一次强化，也是对数运算乃至对数函数学习的启蒙课；是大数处理的关键概念和工必具，也是高中对数函数模型学习的必要准备对数概念的引入充满逻辑推理的必然性奥义，也渗透着一般概念建构以及创生的多个方在建构概念的过程中既要考虑要概念的存在性和引入的必然性，还要考虑新概念与旧知目互关联和印证，更要关注新概念下知识体系的逐步搭建因此，这部分内容对于培养学生的创新精神，渗透数学学习过程中的逻辑推理、形象直观、数学运算素养有不容忽略的值，应当引起充分重视！二、目标和目标解析目标：(1)通过解决ab=N(a>0且a中1)中已知两个量求第三个量的问题，夯实提出问题、分析问题、解决问题的学习力，渗透逻辑推理的数学素养(2)能从对数概念的形成过程中感知一个新概念的建立发展过程，在深刻理解对数概念形成的必然性前提下熟练掌握指数式、对数式的相互转化，促进化归转化思想方法的内化(3)在指数式、对数式相互转化运算的基础上研究对数的一些基本性质，进一步提升学生的数学运算素养.目标解析：(1)对数的概念是在解决ab=N(a>0且a中1)中已知a,NN0求b的问题背景下产生的，因此从方程的根的存在性、唯一性的角度分析对数引入的必然性符合学生的础知同时在分析这些必然性条件的同时可借助前面学习的指数函数相关知识加以直观剧.(2)由于对数运算是指数运算的逆运算，在概念的形成和构建过程中牢固树立指对数的转化意识，能够把对数问题转化成已经熟悉的指数问题解决，这种相互印证的问题处理方止在概念形成中有重要作用，在后续对数的运算、对数函数的学习中也有可资借鉴之处（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，本节主要加强学生逻辑推理素养和数学运算素养的培养.在对数概念引入的必然性分析中，通过提出问题、分析问题、解决问题的完整探究提升学生的逻辑推理素养；在借助指对数相互转化形成对数的基本性质和简单运魁勺程中培养学生的数学运算素养基于上述分析，本节课的教学重点定为：对数的概念的建构与简单性质的理解运用.三、教学问题诊断分析.教学问题一：为什么引入对数概念？一个新概念的引入都会考虑概念生成的合理性和必然性，因此，本节课第一个要解决的就是为什么引入对数.解决方案：通过实际案例感知求指数运算的存在实然，借助方程思想分析对数产生的数理逻辑，结合指数函数图像的直刻画认定对数的存在性和唯一性..教学问题二：如何构建对数知识？从最近发展区的角度考虑，学生对对数的最初感知在于求指数问题，学生已有的学习经验就是指数知识体系的构建，基于这些因素，问题的决方案是：微观上，从对数概念入手，借助指对数关系搭建对数知识；宏观上，从指;数知比得到对数知识体系，即对数的概念，对数的运算，对数函数，以及对数的应用..教学问题三：对数的引入能做什么？每一个新概念的引入都会考虑它是否能产生新的方法，或者为其它问题的解决带来便利.对于对数而言，它的突出优点就是解决大这种优算点会在后续的指对数运算中逐渐体现出来解决方案：作为对数起始课，本节拟从指对数的相关简化运算中作必要铺垫，在渗透数学运算素养的同时引导学生予以初步体会基于上述情况，本节课的教学难点定为：对数概念的理解.四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学.问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点的目的.在教学过程中，重视对数概念引入的必然性分析，让学生参与到提出问题、分析问题解决问题的逻辑推理过程，感受数学运算在数学知识建构中的特殊意义，同时感知概念的建构过程中用到的处理策略和思想方法在新知识进一步深入和应用时的指导作月因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养培养有机结合的样本.

五、教学过程与设计教学环问题或任务师生活动设计意图节截止到1999年底，我国人口约13亿.如果教师：展示情景学生：学生思考.教师：提出情境引入今后能将人口年平均增长率控制在1%，则根据前面学习的知识我问题1学生：学生思考.师生：根据题设条件，共同完成问题1.提出问题们可以得到我国人口【预设结果】呈现问题情问数y与所经过年数X之间的关系为：y=13x1.01x.根据题设条件可提出的问题分为两类：一类是已知经过的年数，求我国届时的人口数；另一类问题是已知我国达到的人口数，求经过的年数.境，设置开放问题，让学生轻松进题引入问题1请你根据我国人口数与所经过年数的关系设计一个问入到课堂状态.题.将一般问题（1）经过20年以后我国的人口总数教师：具体地，可研究题设的两个具体问题：学生：思考（1）、（2）并作答.具体化，让学生更容易是多少？【预设结果】展开对问题（2）我国人口问题1的答案为13乂1.012。六16，的思考、追总数达到18亿时要经过多少年？问题2需设出未知数：设经过〃年后我国的人 一…18口总数达到18亿，则有：1.01租=.13问.以上问题的数学本质指向方程a=N教师：在总结问题1的基础上提出问题2（其中a>0且a中1）学生：思考问题2.中已知两个量求第三师生：通过师生、生生对话解决问题2.问个量的问题.

题探问题2你能把以上问题从已知、未知的【预设结果】引导学生从源角度进行归类分析第一个问题可归类为已知a,b,求N.第二个较高的角度吗？这两个问题之间问题可归类为已知a,N，求b.第一个问题是分析问题，有什么联系？请借助指数运算问题，第二个问题是一种新的运算，运用量纲思问题1中的结果说明并且是和指数运算互逆的运算.第一个问题举例，如13x1.0120六16,2-1=12“已知a,b，求N”可以求解；… 1 18第二个问题举例，如：1.01m=一130.84n=0.5，“已知a,N，求b”目前不可解想给问题分类，发现新旧知识联系.I存问题3满足方程181.01m=_,0.84〃=0.513的实数m,n是否存在？如果存在，有几个？教师：提出问题3,引导学生运用指数函数知识解决.学生：思考问题3.师生：通过对话解答问题3.【预设结果】分别作出指数函数y=0.84X和y=1.01X的图像如下图所示，借助图像进行存在性和唯一―18一—性的说明，满足方程.01m=—，0.84n=0.513教师引导学生借助已学指数函数的在/*V3相关知识对新问题的可性探一伺皿一X "x求解性进行探讨分析，适时进行数讨问题4更一般的，对于方程ab=N（其中a>0且a中1），已知a,N（N>0）求b，b是否存在？的实数m,n存在且唯一.教师：提出问题4学生：借助已有经验解答问题4.学直观素养的渗透.

【预设结果】更一般地，对于ab=N（其中a>0且a中1）,也可类似地进行存在唯一性的说明：对于ab=N（其中a>0且a中1）,已知a,N求b,b是唯一存在的.问题5经过以上探究分析，我们知道满足方教师：提出问题5并对特殊情况下求b进行说通过认知冲突的建立和程明.消除引入新181.01m=__,0.84n=0.513学生：感悟特殊情况下的的表示，并类比迁移数的表示符号，为学生中的m,n是唯一存在到一般情况.创造性地解的，并且m,n都是实数，那么该如何表示【预设结果】从简单的特例入手：决问题提供必要地训m,n呢？更一般地，“方程ab=N（其中a>0且a*1），已知由2x=8我们可以得到x=3，但2x=3中的x怎么表示呢？它是个新数且与2和3都有关，于是我们引入新符号log3表示x，即练.表a,NVN>0）求b”的2x=log3，这种新数就是对数，这种表示方示方法b怎么表示？2式选取了对数的英文名logarithm的前3个字母.这样的话满足方程-18 一1.01m——,0.84n-0.5中的m,n就可表示1318成：m—log—,n—log0.5更一般地，1.0113 0.84方程ab-N（其中a>0且a中1），E^a,N（N>0）求b,b可以表示为logaN，即：b—logaN.自然引入新概念.

对数的概念教师：一般地，如果axN（其中a>0对数的概念教师：一般地，如果axN（其中a>0且a中1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.书写规范： —1~°gaN举例：由2x=3可知x是以2为底3的对数，记作x=10g3；由0.84=0.5可知x是以0.842x为底0.5的对数，记作x=10g0840.5；两类特殊的对数：（1）通常我们把以10为底的对数叫做常用对数，并把10gl0N记为1gN.（2）在科学技术中常用以无理数e=2.71828…为底数的对数，%为底的对数称为自然对数，并把logN记为1nN.问题6由对数的概念 e可知：指数式ax=N与对数式1ogaN=x密切相关中，因而可以通过所学的指数知识教师：提出问题6学生：思考（1）（2）师生：通过对话解答问题.【预设结果】（1）形成对数的概念，展示对数书写的格式规范.来研究对数.（1）指数式ax=N与对数式1ogaN=x中a,x,N的名称与位置赛 真数■a>0且a丰1 J］下 3x=1og/a 底数 设计问题，引导学生深入理解对数概念的内涵.设计问题，引导学生深入理解对数概念的内涵.(2)根据指数式中工“X的范围，你能得到对数式中相应的雌性质？问题7将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)54:625；(2)C 1 、2-6=-；(3)64(1MG4573；(4)log16=-4；(5)12lg0.01=-2；(6)ln10=2.303变式训练：求下列各式中X的值：210g64X=--3；log8=6；(3)10g兀1=x；(4)lg10=X.(2)指数式中X可取任意实数，对应与对数式中10g“N可以取得任意实数，即：对数值可以是任意实数；指数式中ax>0,对应与对数式中N>0,即：对数的真数一定是正数，换句话说：负数和零没有对数.教师：投影展示问题7及其变式训练学生：独立完成问题7以及变式训练师生：共同答疑解惑.认真思考问题，强化对数概念的理解.及时巩固新概念，强化数学运算素养的提升.

问题8问题7给出了一些与对数相关的特殊式子的练习，那么更一般的情况是什么教师:学生:提出问题8思考（1）（2）样的呢？师生:共同探索证明（1）（2）的结果.（1）当a>0且a中1时，把10g冗1中的冗换【预设结果】（1）当a>0且a中1时，猜想：1og1=0,从特殊到一般，引导学生借助指对成a结果会改变吗？1oga=1.借助指对数关系式进行证明.a数关系式的把1g10中的10换成a（2）当a>0且a丰1时，猜想：1oga=nan，相互转化得即10ga呢？a借助指对数关系式进行证明，提供如下证明方到对数的重法：法1：设10ga=t，则：a=aan n t要性质.（2）正数都有对数，那么当a>0且a中1时，10gan=？a当a>0且a中1时，函数y=ax在定义域内单调所以t=n，即：1ogan=n.a法2：设an=t，则：1ogt=na・•・1oga=1ogt=n.an a问题9运用对数的性质求下列各式的值：师生:共同总结归纳：（1）log1；（2）3对数的性质：当a>0且a中1时，4log1.25；（3）1.25（1）1oga1=0；（2）1ogaa=1；1g1000000；（4）（3）1ogan=n.a引导学生借助对数的性1ne2；（5）1og256；质快速求解16简单的对数（6）1og0.729（7）0.9教师:提出问题9计算问题，1og-1；（8）1og16.381 1学生:师生:借助对数的性质独