高中数学《等比数列的概念》课件

1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应问题.3.灵活应用等比数列的通项公式,体会等比数列与指数函数的关系.4.3等比数列4.3.1等比数列的概念等比数列文字语言一般地,如果一个数列从第①

2

项起,每一项与它的②

前一项

的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这

个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母③

q

表示(显

然④

q≠0

)数学符号在数列{an}中,如果

=q(n∈N*)或

=q(n≥2,n∈N*)成立,那么称该数列为等比数列,常数q为等比数列的公比递推关系

=q(n∈N*)或

=q(n≥2,n∈N*)1|等比数列的概念南方绕弯如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成⑤

等比

数列,那么G叫做a与b的

等比中项.此时,⑥

G2=ab

.2|等比中项3|等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则数列{an}的通项公式为an=⑦

a1qn-1.当q<0时,{an}是摆动数列,不具有单调性.a1的正负a1>0a1<0q的范围0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1{an}的单调性单调递减不具单调性单调递增单调递增不具单调性单调递减4|等比数列的单调性南方绕弯(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=am·an;特别地,若m+n=2r(m,n,r∈N*),则aman=

.(3)若数列{an}是公比为q(q>0)且各项均为正数的等比数列,则数列{logban}(b>0且

b≠1)是公差为logbq的等差数列;若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{

}(b>0且b≠1)是公比为bd的等比数列.(4)在公比为q的等比数列{an}中,依次取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或

)的等比数列.(5)若{an}是公比为q的等比数列,则数列{λan}(λ≠0)是公比为q的等比数列,数列

是公比为

的等比数列,数列{

}是公比为q2的等比数列,数列{|an|}是公比为|q|的等比数列.5|等比数列的性质(6)若数列{an}是公比为q的等比数列,则在数列{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按

原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(7)在等比数列{an}中,若m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列.(8)若{an},{bn}是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列{anbn}与

也都是等比数列,公比分别为pq和

.1.若an+1=qan,n∈N*,且q≠0,则{an}是等比数列.

(

✕)提示:当a1=0时,an=0(n∈N*),{an}不是等比数列.2.任何两个数都有等比中项.

(

✕)提示:当两个数a,b异号时,ab<0,G2=ab<0,无解,没有等比中项.3.等比数列{an}中,若公比q<0,则{an}一定不是单调数列.(√)提示:等比数列{an}中,若公比q<0,则各项正负相间,不是单调数列.4.常数列既是等差数列,又是等比数列.

(

✕)提示:常数列0,0,0,…是等差数列,不是等比数列.5.若等比数列{an}的首项为正,则该数列的所有奇数项都为正.

(√)提示:等比数列{an}的奇数项为a2n-1=a1q2(n-1)=a1(q2)n-1(n∈N*),因此当a1>0时,a2n-1>0,一

般地,等比数列{an}的所有奇数项、偶数项的符号分别相同.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”。南方绕弯1|等比数列通项公式的应用1.等比数列的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1,公比q(q≠0),序号n及第n项

an,如果知道其中的任意三个量,那么就可以由通项公式求出第四个量,称之为

“知三求一”,作适当的变形更便于灵活应用.2.等比数列通项公式的变形(1)an=

·qn(q≠0):这一表述可以体现等比数列与指数函数的关系.当q>0且a1≠0时,y=qx是指数函数,

而y=

·qx是指数型函数,因此等比数列{an}各项所对应的点在指数型函数y=

·qx的图象上,即等比数列{an}的图象是函数y=

·qx的图象上的一群孤立的点.(2)①an=amqn-m,②qn-m=

(m,n∈N*):①表明已知等比数列{an}中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意一项an;②表明已知等比数列{an}中的任意两项an和am,可以求出公比q.3.在解决等比数列问题的过程中,需要设未知量,为了尽量减少未知数的个数,常

采用以下技巧:(1)当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为

,a,aq(a≠0,q≠0);(2)当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为

,a,aq,aq2(a≠0,q≠0).南方绕弯已知数列{an}是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求数列{an}的通项公

式.思路点拨思路一:设出公比q

由a7=1表示出首项a1

依次表示出a4,a5,a6

由a4,a5+1,a6成等差数列,求出q

求出an.思路二:由an=a7·qn-7表示出a4,a5,a6

由a4,a5+1,a6成等差数列,求出q

求出an.思路三:由a7=1及a4,a5+1,a6成等差数列得出a4+a6=2(a5+a7)

由等比数列的性质求出q

求出an.南方绕弯解析解法一:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由a7=a1q6=1,得a1=q-6,从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1.因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1),即q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),所以q=

,故an=a1qn-1=q-6·qn-1=

.解法二:设等比数列{an}的公比为q,由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7.取n=4,5,6,得a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1.又a4,a5+1,a6成等差数列,所以q-3+q-1=2(q-2+1),即q-1(q-2+1)=2(q-2+1),南方绕弯从而q=

,故an=qn-7=

.解法三:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,知a4,a5+a7,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+a7),即a4+a6=2q(a4+a6),易知a4,a6同号,所以a4+a6≠0,所以q=

,故an=a7qn-7=qn-7=

.已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个数之积为16,第

一个数与第四个数之积为-128,请求出这四个数.思路点拨设未知量

列方程组

求解.解析依题意设后三个数分别为

,a,aq(a≠0,q≠0),∵前三个数成等差数列,∴第一个数为

-a.由已知得

即

整理得q2-2q-8=0,解得q=4或q=-2.又a2=16q,∴q>0,∴q=4,∴a=±8.当a=8时,所求的四个数分别为-4,2,8,32;当a=-8时,所求的四个数分别为4,-2,-8,-32.解题模板与等比数列的项有关的问题,常用通项公式将条件转化为等比数列的首项、

公比,进而求出结论.某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.(1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值;(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?(保留一位小数)解析

(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,…….由等比数列的定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,∴an=a1·qn-1=13.5×0.9n-1.∴n年后车的价值为an+1=13.5×0.9n万元.(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.解题模板解决等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型,即寻求前后两个量的数

量关系,将实际问题转化成等比数列的问题,通过解决等比数列问题,进而得到实

际问题的解.南方绕弯2|等比数列的判定与证明证明一个数列是不是等比数列只能从两个方面入手:一是利用定义;二是利用等

比中项.而判定一个数列是不是等比数列,还可以利用数列的通项公式.对于等比数列的定义需要理解:从第2项起,每一项与它的前一项的比是同一个常

数,这个常数(不包括0)具有任意性,且是“同一个”.判定或证明一个数列是不是等比数列常用的方法有以下几种:(1)定义法:

=q(q为常数且不为零,n∈N*)⇔{an}为等比数列;(2)等比中项法:

=anan+2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列;(3)通项公式法:an=a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列.南方绕弯在数列{an}中,已知a1=1,an=3an-1+2(n≥2).(1)证明:数列{an+1}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.思路点拨(1)思路一:由an=3an-1+2,求出

的值

{an+1}为等比数列.思路二:设bn=an+1

求出bn=3bn-1

{bn}为等比数列

{an+1}为等比数列.(2)由(1)求出an+1

求出an.解析(1)证明:证法一:由an=3an-1+2(n≥2),得an+1=3an-1+2+1=3(an-1+1)(n≥2),又∵a1=1,∴a1+1=2≠0,∴

=3(n≥2),∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.证法二:设bn=an+1,则an=bn-1,an-1=bn-1-1(n≥2),代入an=3an-1+2(n≥2)得,bn-1=3(bn-1-1)+2=3bn-1-1(n≥2),∴bn=3bn-1(n≥2),又∵b1=a1+1=2≠0,∴

=3(n≥2),南方绕弯∴数列{bn}是首项为2,公比为3的等比数列,即数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.(2)由(1)得an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=1+kan(k≠0且k≠1).(1)证明:数列{an}为等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.思路点拨(1)由Sn=1+kan写出Sn-1=1+kan-1(n≥2,n∈N*)

由Sn-Sn-1得

=

{an}为等比数列.(2)由等比数列的通项公式,写出{an}的通项公式.解析(1)证明:因为Sn=1+kan,①所以Sn-1=1+kan-1,n≥2,n∈N*,②①-②,得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n≥2,n∈N*),即(k-1)an=kan-1.因为k≠0且k≠1,所以

=

(n≥2,n∈N*)为常数.又a1=S1=1+ka1,所以a1=

(k≠1),所以{an}是首项为

,公比为

的等比数列.(2)由(1)得,an=

·

=-

.南方绕弯3|等比数列性质的应用1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方

法,则需建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的

有关性质来求解,那么会起到化繁为简的效果.2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.已知数列{an}为等比数列,且an>0.(1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(2)若a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.思路点拨解决与等比数列项之积有关的问题时,常利用性质:若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al

=am·an,找出相应的关系简化运算.南方绕弯解析(1)由等比数列的性质可得,a2a4+2a3a5+a4a6=

+2a3a5+

=(a3+a5)2=25,∵an>0,∴a3+a5>0,∴a3+a5=5.(2)根据等比数列的性质得,a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.4|构造等比数列求通项公式当已知数列不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数

列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有:(1)an+1=can+d(c≠1,cd≠0)可化归为an+1-

=c

,当a1-

≠0时,数列

为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消去常数项,

由an+1=can+d,an=can-1+d(n≥2,n∈N*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-1),当a2-a1≠0时,数列

{an+1-an}是公比为c的等比数列.(2)an+1=can+dn(cd≠0,c≠d)可化归为an+1-

=c

或将递推关系式两边同除以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项.(3)an+1=can+dn+t(cdt≠0,c≠1)可化归为an+1-

=c

+dn,即(2)型.南方绕弯在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式.思路点拨思路一:引入参数k,使an+1+k=2(an+k),则数列{an+k}为等比数列.思路二:通过观察递

推关系式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项