《统计学（第二版）》全套教学课件

第1章绪论1.1

统计数据与统计学1.2统计学的产生和发展1.3统计学的分科1.4统计学的基本概念

本章小结学习目标理解统计学的含义理解统计学与统计数据的关系了解统计学的分科了解统计学的发展过程理解统计中的几个基本概念1.1统计数据与统计学什么是统计学?1.数据搜集：取得数据2.数据分析：分析数据3.数据表述：图表展示数据数据解释：结果的说明收集、整理、显示和分析数据的科学统计研究的过程收集数据(取得数据)整理数据(处理数据)解释数据(结果说明)分析数据(研究数据)实际问题统计规律

(一些例子)正常条件下新生婴儿的男女性别比为107:100投掷一枚质地均匀的硬币，出现正面和反面的频率各为1/2；投掷一枚骰子出现1～6点的频率各为1/6农作物的产量与施肥量之间存在相关关系1.2统计学的产生和发展历史上著名的统计学家JacobBernoulli(伯努利)(1654—1705)EdmondHalley(哈雷)(1656—1742)DeMoivre(棣莫弗)(1667—1754)ThomasBayes(贝叶斯)(1702—1761)LeonhardEuler(欧拉)(1707—1783)PierreSimonLaplace(拉普拉斯)(1749—1827)AdrienMarieLegendre(勒让德)(1752—1833)ThomasRobertMalthus(马尔萨斯)(1766—1834)ThomasRobertMalthus(马尔萨斯)PierreSimonLaplace(拉普拉斯)LeonhardEuler(欧拉)历史上著名的统计学家FriedrichGauss(高斯)(1777—1855)JohannGregorMendel(孟德尔)(1822—1884)KarlPearson(皮尔逊)(1857—1936)RonaldAylmerFisher(费希尔)(1890—1962)JerzyNeyman（奈曼）(1894—1981)EgonSharpePearson(皮尔逊)(1895—1980)WilliamFeller(费勒)(1906—1970).FriedrichGauss(高斯)JohannGregorMendel(孟德尔)1.3统计学的分科统计方法统计方法描述统计推断统计参数估计假设检验描述统计

(descriptivestatistics)研究数据收集、整理和描述的统计学分支内容搜集数据整理数据展示数据描述性分析目的描述数据特征找出数据的基本规律02550Q1Q2Q3Q4￥x=30s2=105推断统计

(inferentialstatistics)研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学分支内容参数估计假设检验目的对总体特征作出推断样本总体描述统计与推断统计的关系反映客观现象的数据总体内在的数量规律性推断统计（利用样本信息和概率论对总体的数量特征进行估计和检验等）概率论（包括分布理论、大数定律和中心极限定理等）描述统计（统计数据的搜集、整理、显示和分析等）总体数据样本数据理论统计与应用统计理论统计研究统计学的一般理论研究统计方法的数学原理应用统计研究统计学在各领域的具体应用1.4统计学的基本概念总体和样本总体(population)所研究的全部个体(数据)的集合，其中的每一个元素称为个体分为有限总体和无限总体有限总体的范围能够明确确定，且元素的数目是有限的无限总体所包括的元素是无限的，不可数的样本(sample)从总体中抽取的一部分元素的集合构成样本的元素的数目称为样本容量参数和统计量参数(parameter)描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值所关心的参数主要有总体均值()、标准差()、总体比例()等总体参数通常用希腊字母表示统计量(statistic)用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数所关心的样本统计量有样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等样本统计量通常用小写英文字母表示统计中的几个基本概念平均数标准差比例参数统计量xsp总体样本几种常用的统计软件

(Software)典型的统计软件SASSPSSMINITABSTATISTICAExcelMINITABSTATISTICAExcelSASSPSS本章小结统计数据与统计学统计学的产生和发展统计学的分科统计学与其他学科的关系统计学的基本概念第2章统计数据的描述2.1

数据的计量尺度2.2统计数据的来源2.3统计数据的质量2.4统计数据的整理2.5分布集中趋势的测度2.6分布离散程度的测度2.7茎叶图与箱线图本章小结学习目标了解数据的计量尺度了解统计数据的来源和数据的质量要求掌握数值型数据的整理方法掌握数据集中趋势和离散程度的测度方法掌握茎叶图和箱线图的制作方法掌握分布偏态与峰度的测度方法掌握统计表和统计图的使用2.1数据的计量尺度一、列名尺度二、顺序尺度三、间隔尺度四、比率尺度四种计量尺度定类尺度定序尺度定距尺度定比尺度数据的计量尺度列名尺度

(Nominalscale)也称名义尺度或分类尺度计量层次最低对事物进行平行的分类各类别可以指定数字代码表示使用时必须符合类别穷尽和互斥的要求数据表现为“类别”具有=或的数学特性顺序尺度

(Ordinalscale)也称定序尺度对事物分类的同时给出各类别的顺序比定类尺度精确未测量出类别之间的准确差值数据表现为“类别”，但有序具有>或<的数学特性间隔尺度

(Intervalscale)也称间隔尺度对事物的准确测度2. 比定序尺度精确3. 数据表现为“数值”4.没有绝对零点5. 具有+或-的数学特性比率尺度

(Ratioscale)也称比率尺度对事物的准确测度2. 与定距尺度处于同一层次3. 数据表现为“数值”4.有绝对零点5. 具有或

的数学特性四种计量尺度的比较四种计量尺度的比较定类尺度定序尺度定距尺度定比尺度

分类(=，≠)

排序(<，>)

间距(+，-)

比值(×，÷)√√√√√√√√√√计量尺度数学特性“√”表示该尺度所具有的特性2.2统计数据的来源一、间接获取的数据

二、直接获取的数据

间接取得的数据间接取得的数据统计部门和政府部门公布的有关资料，如各类统计年鉴各类经济信息中心、信息咨询机构、专业调查机构等提供的数据各类专业期刊、报纸、书籍所提供的资料各种会议，如博览会、展销会、交易会及专业性、学术性研讨会上交流的有关资料从互联网或图书馆查阅到的相关资料Internethttp//WWW.中国统计年鉴2001中国人口统计年鉴中国市场统计年鉴世界发展报告世界经济年检工业普查数据中国统计出版社提供统计数据的部分政府网站中国政府及相关机构

网址数据内容国家统计局统计年鉴、统计月报等国务院发展研究中心信息网宏观经济、财经、货币金融等中国经济信息网经济信息及各类网站华通数据中心国家统计局授权的数据中心中国决策信息网决策知识及案例三农数据网三农信息、论坛及相关网站提供统计数据的部分政府网站美国政府机构

网址数据内容人口普查局人口和家庭等联邦储备局http://www.bog.frb.fed.us货币供应、信誉、汇率等预算编制办公室/omb财政收入、支出、债券等商务部商业、工业等直接取得的数据普查

(census)

为特定目的专门组织的非经常性全面调查2. 通常是一次性或周期性的3. 一般需要规定统一的标准调查时间4. 数据的规范化程度较高5. 应用范围比较狭窄总体抽样调查

(samplingsurvey)

1. 从总体中随机抽取一部分单位作为样本进行调查，并根据样本调查结果来推断总体特征的数据收集方法总体随机样本2.具有经济性、时效性强、适应面广、准确性高等特点2.3统计数据的质量数据的误差抽样误差

(samplingerror)由于抽样的随机性所带来的误差所有样本可能的结果与总体真值之间的平均性差异影响抽样误差大小的因素样本量的大小总体的变异性非抽样误差

(non-samplingerror)相对于抽样误差而言除抽样误差之外的，由于其他原因造成的样本观察结果与总体真值之间的差异存在于所有的调查之中概率抽样，非概率抽样，全面性调查有抽样框误差、回答误差、无回答误差、调查员误差、测量误差误差的控制抽样误差可计算和控制非抽样误差的控制调查员的挑选调查员的培训督导员的调查专业水平调查过程控制调查结果进行检验、评估现场调查人员进行奖惩的制度2.4统计数据的整理一、统计数据的分组

二、次数分配三、次数分配直方图四、洛伦茨曲线统计数据的分组组距分组

(要点)将变量值的一个区间作为一组适合于连续变量适合于变量值较多的情况需要遵循“不重不漏”的原则可采用等距分组，也可采用不等距分组~~~~~组距分组

(步骤)确定组数：组数的确定应以能够显示数据的分布特征和规律为目的确定组距：组距(classwidth)是一个组的上限与下限之差，可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即

组距＝(最大值-最小值)÷组数统计出各组的频数并整理成频数分布表组距分组

(几个概念)1.下限(lowlimit)

：一个组的最小值2.上限(upperlimit)

：一个组的最大值3.组距(classwidth)

：上限与下限之差4.组中值(classmidpoint)

：下限与上限之间的中点值下限值+上限值2组中值=次数分配表的编制

(例题分析)【例】某车间30名工人每周加工某种零件件数如右表试对数据进行分组。

次数分配表使用Excel频数函数(FREQUENCY)Excel的“直方图”工具的缺陷是：频数分布和直方图没有与数据联系起来，这样，如果你改变任何一个数据，频数分布表和直方图不会跟着改变使用Excel中的统计函数“FREQUENCY”来创建频数分布表和直方图，可解决这一问题。创建频数分布表的步骤是选择与接受区域相临近的单元格区域，作为频数分布表输出的区域选择统计函数中的“FREQUENCY”函数在对话框Date-array后输入数据区域，在Bins-array后输入接受区域同时按下ctrl-shift-Enter组合键，即得到频数分布统计函数—FREQUENCY次数分配直方图Excel直方图

(histogram)用矩形的宽度和高度来表示频数分布的图形，实际上是用矩形的面积来表示各组的频数分布在直角坐标中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图直方图下的总面积等于1分组数据的图示

(直方图的绘制)某车间工人周加工零件直方图

我一眼就看出来了，周加工零件在100～110之间的人数最多!折线图

(frequencypolygon)折线图也称频数多边形图是在直方图的基础上，把直方图顶部的中点(组中值)用直线连接起来，再把原来的直方图抹掉折线图的两个终点要与横轴相交，具体的做法是第一个矩形的顶部中点通过竖边中点（即该组频数一半的位置）连接到横轴，最后一个矩形顶部中点与其竖边中点连接到横轴折线图下所围成的面积与直方图的面积相等，二者所表示的频数分布是一致的分组数据的图示

(折线图的绘制)折线图与直方图下的面积相等！某车间工人周加工零件折线图

次数分配的类型对称分布右偏分布左偏分布正J型分布反J型分布U型分布几种常见的频数分布洛伦茨曲线洛伦茨曲线20世纪初美国经济学家、统计学家洛伦茨(M.E.Lorentz)根据意大利经济学家巴雷特(V.Pareto)提出的收入分配公式绘制而成描述收入和财富分配性质的曲线分析该国家或地区分配的平均程度

AB累积的人口百分比累积的收入百分比绝对公平线基尼系数20世纪初意大利经济学家基尼(G.Gini)根据洛伦茨曲线给出了衡收入分配平均程度的指标

A表示实际收入曲线与绝对平均线之间的面积B表示实际收入曲线与绝对不平均线之间的面积如果A=0，则基尼系数=0，表示收入绝对平均如果B=0，则基尼系数=1，表示收入绝对不平均基尼系数在0和1之间取值一般认为，基尼系数若小于0.2，表明分配平均；基尼系数在0.2至0.4之间是比较适当的，即一个社会既有效率又没有造成极大的分配不公；基尼系数在0.4被认为是收入分配不公平的警戒线，超过了0.4应该采取措施缩小这一差距。AB2.5分布集中趋势的测度一、众数二、中位数三、四分位数四、均值五、几何均值六、切尾均值七、众数、中位数和均值的比较众数众数

(mode)一组数据中出现次数最多的变量值适合于数据量较多时使用不受极端值的影响一组数据可能没有众数或有几个众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据众数

(不惟一性)无众数

原始数据:10591268一个众数

原始数据:65

9855多于一个众数

原始数据:252828

364242中位数中位数

(median)排序后处于中间位置上的值Me50%50%不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用数值型数据，但不能用于分类数据各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即中位数

(位置的确定)原始数据：顺序数据：数值型数据的中位数

(9个数据的算例)【例】9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:7507808509601080

1250150016302000位置:123456789中位数1080数值型数据的中位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910四分位数四分位数

(quartile)排序后处于25%和75%位置上的值不受极端值的影响主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，但不能用于分类数据QLQMQU25%25%25%25%四分位数

(位置的确定)原始数据：分组数据：数值型数据的四分位数

(9个数据的算例)【例】：9个家庭的人均月收入数据原始数据:15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789数值型数据的四分位数

(10个数据的算例)【例】：10个家庭的人均月收入数据排序:

660

75078085096010801250150016302000位置:1234

5678910统计函数—QUARTILE均值均值

(mean)集中趋势的最常用测度值一组数据的均衡点所在体现了数据的必然性特征易受极端值的影响用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据简单均值

(simplemean)设一组数据为：x1，x2，…，xn总体均值样本均值加权均值

(weightedmean)设一组数据为：x1，x2，…，xn相应的频数为：f1，f2，…，fk总体均值样本均值加权均值

(例题分析)

均值

(数学性质)1. 各变量值与均值的离差之和等于零2.各变量值与均值的离差平方和最小几何均值几何均值

(geometricmean)

n个变量值乘积的

n次方根适用于对比率数据的平均主要用于计算平均增长率计算公式为5.可看作是均值的一种变形几何均值

(例题分析)

【例】一位投资者购持有一种股票，在2000年、2001年、2002年和2003年收益率分别为4.5%、2.1%、25.5%、1.9%。计算该投资者在这四年内的平均收益率算术平均：

几何平均：切尾均值切尾均值

(trimmedMean)

去掉大小两端的若干数值后计算中间数据的均值在电视大奖赛、体育比赛及需要人们进行综合评价的比赛项目中已得到广泛应用计算公式为n

表示观察值的个数；α表示切尾系数，

切尾均值

(例题分析)

【例】谋次比赛共有11名评委，对某位歌手的给分分别是：经整理得到顺序统计量值为去掉一个最高分和一个最低分，取1/11

众数、中位数和均值的比较众数、中位数和均值的关系左偏分布均值

中位数

众数对称分布

均值=中位数=

众数右偏分布众数

中位数均值众数、中位数、均值的特点和应用众数不受极端值影响具有不惟一性数据分布偏斜程度较大时应用中位数不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用均值易受极端值影响数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用2.6分布离散程度的测度一、极差二、内距三、方差和标准差四、离散系数极差

(range)一组数据的最大值与最小值之差离散程度的最简单测度值易受极端值影响未考虑数据的分布7891078910R

=max(xi)-min(xi)计算公式为内距

(Inter-QuartileRange,IQR)

也称四分位差上四分位数与下四分位数之差

内距=Q3

–Q1反映了中间50%数据的离散程度不受极端值的影响可用于衡量中位数的代表性方差和标准差方差和标准差

(VarianceandStandarddeviation)1. 离散程度的测度值之一2. 最常用的测度值3. 反映了数据的分布反映了各变量值与均值的平均差异根据总体数据计算的，称为总体方差或标准差；根据样本数据计算的，称为样本方差或标准差4681012x=8.3总体方差和标准差

(PopulationvarianceandStandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式样本方差和标准差

(simplevarianceandstandarddeviation)未分组数据：组距分组数据：未分组数据：组距分组数据：方差的计算公式标准差的计算公式注意：样本方差用自由度n-1去除!样本方差

自由度(degreeoffreedom)一组数据中可以自由取值的数据的个数当样本数据的个数为

n

时，若样本均值x

确定后,只有n-1个数据可以自由取值，其中必有一个数据则不能自由取值例如，样本有3个数值，即x1=2，x2=4，x3=9，则x

=5。当x

=5

确定后，x1，x2和x3有两个数据可以自由取值，另一个则不能自由取值，比如x1=6，x2=7，那么x3则必然取2，而不能取其他值样本方差用自由度去除，其原因可从多方面解释，从实际应用角度看，在抽样估计中，当用样本方差去估计总体方差σ2时，它是σ2的无偏估计量离散系数离散系数

(coefficientofvariation)1. 标准差与其相应的均值之比对数据相对离散程度的测度消除了数据水平高低和计量单位的影响4. 用于对不同组别数据离散程度的比较5.计算公式为离散系数

(例题分析)某管理局所属8家企业的产品销售数据企业编号产品销售额（万元）x1销售利润（万元）x21234567817022039043048065095010008.112.518.022.026.540.064.069.0【例】某管理局抽查了所属的8家企业，其产品销售数据如表。试比较产品销售额与销售利润的离散程度离散系数

(例题分析)结论：计算结果表明，v1<v2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度v1=536.25309.19=0.577v2=32.521523.09=0.7102.7茎叶图与箱线图一、茎叶图二、箱线图茎叶图

(stem-and-leafdisplay)用于显示未分组的原始数据的分布由“茎”和“叶”两部分构成，其图形是由数字组成的以该组数据的高位数值作树茎，低位数字作树叶树叶上只保留一位数字茎叶图类似于横置的直方图，但又有区别直方图可观察一组数据的分布状况，但没有给出具体的数值茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，保留了原始数据的信息茎叶图

(例题分析)茎叶图

(扩展的茎叶图)箱线图

(boxplot)用于显示未分组的原始数据的分布箱线图由一组数据的5个特征值绘制而成，它由一个箱子和两条线段组成箱线图的绘制方法首先找出一组数据的5个特征值，即最大值、最小值、中位数Me和两个四分位数(下四分位数QL和上四分位数QU）连接两个四分（位）数画出箱子，再将两个极值点与箱子相连接箱线图

(箱线图的构成)中位数4681012QUQLX最大值X最小值简单箱线图箱线图

(例题分析)最小值84最大值128中位数105下四分位数96上四分位数10980859095100105110150120125130周加工零件数的箱线图分布的形状与箱线图

对称分布QL中位数

QU左偏分布QL中位数

QU右偏分布QL

中位数

QU不同分布的箱线图未分组数据—多批数据箱线图

(例题分析)【例】

从某大学经济管理专业二年级学生中随机抽取11人，对8门主要课程的考试成绩进行调查，所得结果如表。试绘制各科考试成绩的批比较箱线图，并分析各科考试成绩的分布特征11名学生各科的考试成绩数据课程名称学生编号1234567891011英语经济数学西方经济学市场营销学财务管理基础会计学统计学计算机应用基础76659374687055859095818775739178975176857092688171748869846573957078669073788470936379806087816786918377769070828382928481706972787578918866948085718674687962818155787075687177未分组数据—多批数据箱线图

(例题分析)8门课程考试成绩的箱线图11名学生8门课程考试成绩的箱线图min-max25%-75%medianvalue455565758595105学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10学生11未分组数据—多批数据箱线图

(例题分析)本章小结数据的计量尺度统计数据的来源统计数据的质量统计数据的整理分布集中趋势的测度分布离散程度的测度茎叶图与箱线图第3章概率与概率分布

3.1随机事件及其概率

3.2随机变量及其概率分布

3.3大数定律与中心极限定理学习目标理解随机事件的概念、了解事件之间的关系理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则理解随机变量及其概率分布的概念掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀分布的应用理解大数定律和中心极限定理的重要意义3.1随机事件及其概率

一、随机试验与随机事件二、随机事件的概率三、概率的运算法则一、随机试验与随机事件3.1随机事件及其概率必然现象与随机现象必然现象（确定性现象）变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果这种关系通常可以用公式或定律来表示随机现象（偶然现象、不确定现象）在一定条件下可能发生也可能不发生的现象个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定大量观察的结果会呈现出某种规律性（随机性中寓含着规律性）——统计规律性十五的夜晚能看见月亮？十五的月亮比初十圆！随机试验严格意义上的随机试验满足三个条件：试验可以在系统条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。随机事件（事件）随机事件（简称事件）随机试验的每一个可能结果常用大写英文字母A、B、……、来表示基本事件（样本点）不可能再分成为两个或更多事件的事件样本空间（Ω）基本事件的全体（全集）随机事件（续）复合事件由某些基本事件组合而成的事件样本空间中的子集随机事件的两种特例必然事件在一定条件下，每次试验都必然发生的事件只有样本空间才是必然事件不可能事件在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件不可能事件是一个空集（Φ）二、随机事件的概率1.古典概率

2.统计概率

3.主观概率

4.概率的基本性质3.1随机事件及其概率随机事件的概率概率用来度量随机事件发生的可能性大小的数值必然事件的概率为1，表示为P(

)=1不可能事件发生的可能性是零，P(

)=0随机事件A的概率介于0和1之间，0<P(A)<1概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。概率的古典定义古典概型（等可能概型）——具有以下两特点每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限）每个试验结果出现的可能性相同——它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象概率的古典定义概率的古典定义前提：古典概型定义（公式）计算古典概率常用到排列组合知识【例3-1】设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？解：任一件被抽到的机会均等，而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合，共有C502种可能，所以这是一个古典概型。概率的统计定义当试验次数n

很大时，事件A发生频率m/n稳定地在某一常数p上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义p为事件A发生的概率当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频率方法）例（补充）根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。试验者试验次数正面出现的频率蒲丰40400.5069K.皮尔逊120000.5016K.皮尔逊240000.5005罗曼诺夫斯基806400.4979【例3-2】某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？观察年份新生儿数（个）男婴数（个）男婴比例（％）200016248270.509200112056220.516200215127740.512200314077150.5083.主观概率有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似主观概率——依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小例如某经理认为新产品畅销的可能性是80％人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据4.概率的基本性质非负性：对任意事件A，有0

P(A)1。规范性：必然事件的概率为1，即：P()=1不可能事件的概率为0，即：P()=0。可加性：若A与B互斥，则：P(A∪B)=P(A)+P(B)对于多个两两互斥事件A1，A2，…，An，则有：

P(A1∪A2

∪…

∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。(补充）关于概率的公理化定义概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明主观概率的确定又具有主观随意性苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义——通过规定应具备的基本性质来定义概率公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。三、概率的运算法则

1.加法公式

2.乘法公式

3.全概率公式和贝叶斯公式3.1随机事件及其概率1.加法公式用于求P(A∪B)——“A发生或B发生”的概率互斥事件（互不相容事件）不可能同时发生的事件没有公共样本点P(A∪B)=P(A)+P(B)互斥事件的加法公式

ΩABP(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1

)+P(A2

)+…+P(An

)【例3-3】设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，若问至少抽到一件次品的概率？解：“至少抽到一件次品”这一事件实质上就是“抽取的2件产品中有一件次品”（记为A）与“抽取的两件产品均为次品”（记为B）这两个事件的和。由于A与B是两个互斥事件，故计算“至少抽到一件次品”的概率采用公式：

P(A∪B)=P(A)+P(B)互补事件互补事件不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件互补事件的概率之和等于1AA例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6。相容事件的加法公式相容事件两个事件有可能同时发生没有公共样本点相容事件的加法公式（广义加法公式）ABΩP(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)ABΩAB

事件的积（交）AB

事件的和（并）【例3-4】将分别写有0至9这十个号码的小球装入一容器中，反复搅拌之后任意摇出一个小球，观察其号码。试求出现“奇数或大于等于4的数”的概率。解：所求事件＝奇数(A)＋大于等于4的数(B)

＝{0,1,2,3,…,9}，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{4,5,6,7,8,9}由于等可能性，P(A)=5/10,P(B)=6/10。P(A)+P(B)>1,显然P(A∪B)≠P(A)＋P(B)

因为A和B存在共同部分AB＝{5,7,9}，P(AB)＝3/10。在P(A)+P(B)

中P(AB)被重复计算了。正确计算是：

P(A∪B)＝5/10＋6/10－3/10＝8/10＝0.82.乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。——也即“A发生且B发生”的概率

P(AB)先关注事件是否相互独立（1）条件概率条件概率—在某些附加条件下计算的概率在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率——P(A|B)条件概率的一般公式：其中P(B)>0

【例3-5】某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：①已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；②已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。解：设A＝“甲厂产品”，B＝“一级品”，则：

P(A)＝0.4，

P(B)

＝0.64，P(AB)＝0.28①所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率

P(A|B)＝0.28/0.64②所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率

P(B|A)＝0.28/0.4（1）条件概率（续）P(A|B)＝在B发生的所有可能结果中AB发生的概率即在样本空间Ω中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了一旦事件B已发生ABΩABBAB乘法公式的一般形式：P(AB)＝P(A)·P(B|A)

或

P(AB)

＝P(B)·P(A|B)

【例3-6】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样）解：A1＝第一次抽到合格品，A2＝第二次抽到合格品，A1A2＝抽到两件产品均为合格品P(A1

A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝

事件的独立性两个事件独立一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率P(A|B)＝P(A)，或P(B|A)＝P(B)独立事件的乘法公式：P(AB)＝P(A)·P(B)推广到n个独立事件，有：P(A1…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)

3.全概率公式完备事件组事件A1、A2、…、An互不相容，A∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0（i=1、2、...、n）对任一事件B，它总是与完备事件组A1、A2、…、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：例3-7假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？解：设A＝知道正确答案，B＝选择正确。“选择正确”包括：“知道正确答案而选择正确”（即AB）“不知道正确答案但选择正确”（即）P(B)＝（2/3）×1＋（1/3）×（1/4）＝3/4全概率公式——贝叶斯公式全概率公式的直观意义：每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai引发的概率的总和相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率——贝叶斯公式（逆概率公式）（后验概率公式）贝叶斯公式若A1、A2、…、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率3.2随机变量及其概率分布

一、随机变量的概念二、随机变量的概率分布三、随机变量的数字特征四、常见的离散型概率分布五、常见的连续型概率分布一、随机变量的概念3.2随机变量及其概率分布一、随机变量的概念随机变量——表示随机试验结果的变量取值是随机的，事先不能确定取哪一个值一个取值对应随机试验的一个可能结果用大写字母如X、Y、Z...来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z…来表示根据取值特点的不同，可分为：离散型随机变量——取值可以一一列举连续型随机变量——取值不能一一列举二、随机变量的概率分布1.离散型随机变量的概率分布

2.连续型随机变量的概率密度

3.分布函数3.2随机变量及其概率分布1.离散型随机变量的概率分布X的概率分布——X的有限个可能取值为xi与其概率pi（i=1，2，3，…，n）之间的对应关系。概率分布具有如下两个基本性质：（1）pi≥0，i=1,2,…,n；（2）离散型概率分布的表示：概率函数：P(X=xi)=pi分布列：分布图X=xix1x2…xnP(X=xi)=pip1p2…pn0.60.30012xP(x)图3-5例3-9的概率分布2.连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率分布只能表示为：数学函数——概率密度函数f(x)和分布函数F(x)

图形——概率密度曲线和分布函数曲线概率密度函数f(x)的函数值不是概率。连续型随机变量取某个特定值的概率等于0只能计算随机变量落在一定区间内的概率——由x轴以上、概率密度曲线下方面积来表示概率密度f(x)的性质（1）f(x)≥0。概率密度是非负函数。（2）所有区域上取值的概率总和为1。

随机变量X在一定区间（a，b）上的概率：

f(x)xab3.分布函数适用于两类随机变量概率分布的描述分布函数的定义：F(x)＝P{X≤x}连续型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数

F(x)＝f(x)xx0F(x0

)分布函数与概率密度三、随机变量的数字特征1.随机变量的数学期望

2.随机变量的方差和标准差

3.两个随机变量的协方差和相关系数3.2随机变量及其概率分布1.随机变量的数学期望又称均值描述一个随机变量的概率分布的中心位置离散型随机变量X的数学期望：相当于所有可能取值以概率为权数的平均值连续型随机变量X的数学期望：数学期望的主要数学性质若k是一常数，则

E(kX)＝kE(X)对于任意两个随机变量X、Y，有

E(X+Y)＝E(X)＋E(Y)若两个随机变量X、Y相互独立，则

E(XY)＝E(X)E(Y)

2.随机变量的方差方差是它的各个可能取值偏离其均值的离差平方的均值，记为D(x)或σ2公式：离散型随机变量的方差：连续型随机变量的方差：方差和标准差（续）标准差＝方差的平方根方差和标准差都反映随机变量取值的分散程度。它们的值越大，说明离散程度越大，其概率分布曲线越扁平。方差的主要数学性质：若k是一常数，则D(k)＝0；D(kX)＝k2D(X)

若两个随机变量X、Y相互独立，则

D(X+Y)＝D(X)＋D(Y)

【例3-10】试求优质品件数的数学期望、方差和标准差。解：σ＝0.6xi012pi3.两个随机变量的协方差和相关系数协方差的定义

如果X,Y独立（不相关），则

Cov(X,Y)＝0即E(XY)＝E(X)E(Y)

协方差在一定程度上反映了X、Y之间的相关性协方差受两个变量本身量纲的影响。相关系数相关系数ρ具有如下的性质：相关系数ρ是一个无量纲的值

0≤|ρ|≤0当ρ=0，两个变量不相关（不存在线性相关）当|ρ|=1，两个变量完全线性相关

四、常见离散型随机变量的概率分布1.二项分布

2.泊松分布

3.超几何分布3.2随机变量及其概率分布1.二项分布（背景）（背景）——n重贝努里试验：一次试验只有两种可能结果用“成功”代表所关心的结果，相反的结果为“失败”每次试验中“成功”的概率都是pn次试验相互独立。1.二项分布在n重贝努里试验中，“成功”的次数X服从参数为n、p的二项分布，记为X～B(n,p)二项分布的概率函数：二项分布的数学期望和方差：n＝1时，二项分布就成了二点分布（0-1分布）二项分布图形p＝0.5时，二项分布是以均值为中心对称p≠0.5时，二项分布总是非对称的p<0.5时峰值在中心的左侧p>0.5时峰值在中心的右侧随着n无限增大，二项分布趋近于正态分布p=0.3p=0.5p=0.7二项分布图示【例3-11】某单位有4辆汽车，假设每辆车在一年中至多只发生一次损失且损失的概率为0.1。试求在一年内该单位：（1）没有汽车发生损失的概率；（2）有1辆汽车发生损失的概率；（3）发生损失的汽车不超过2辆的概率。解：每辆汽车是否发生损失相互独立的，且损失的概率相同，因此，据题意，在4辆汽车中发生损失的汽车数X～B(4,0.1)。利用Excel计算二项分布概率进入Excel表格界面，点击任一空白单元格（作为输出单元格）点击表格界面上的

fx

命令在“选择类别”中点击“统计”，在“选择函数”中点击“BINOMDIST”在Number_s后填入试验成功次数x(本例为2)；在Trials后填入总试验次数

n(本例为4)；在Probability_s后填入成功概率p(本例为0.1)；在Cumulative后填入0(或FALSE)，表示计算成功次数等于指定值的概率“＝BINOMDIST（2，4，0.1，0）”用EXCEL计算二项分布的概率2.泊松分布X服从泊松分布，记为X～P(λ）:E(X)=D(X)=λ当λ很小时，泊松分布呈偏态，并随着λ增大而趋于对称当λ为整数时，λ和（λ-1）是最可能值泊松分布（应用背景）通常是作为稀有事件发生次数X的概率分布模型。一段时间内某繁忙十字路口发生交通事故的次数一定时间段内某电话交换台接到的电话呼叫次数…服从泊松分布的现象的共同特征在任意两个很小的时间或空间区间内事件发生次数是相互独立的；各区间内事件发生次数只与区间长度成比例，与区间起点无关；在一段充分小的区间内事件发生两次或两次以上的概率可以忽略不计【例3-12】

设某种报刊的每版上错别字个数服从

λ=2的泊松分布。随机翻看一版，求：（1）没有错别字的概率；（2）至多有5个错别字的概率。解：设X＝每版上错别字个数，则所求概率为：利用EXCEL计算泊松分布的概率二项分布的泊松近似【前提】当n很大而p又很小时，二项分布可用参数λ＝np的泊松分布近似【例3-13】一工厂有某种设备80台，配备了3个维修工。假设每台设备的维修只需要一个维修工，设备发生故障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01。求设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？解：X~B(n=80，p=0.01)，由于np=0.8很小，可以用λ＝0.8的泊松分布来近似计算其概率:3.超几何分布

N个单位的有限总体中有M个单位具有某特征。用不重复抽样方法从总体中抽取n个单位，样本中具有某种特征的单位数X服从超几何分布，记为X～H(n,N,M)数学期望和方差:N很大而n相对很小时，趋于二项分布(p=M/N)五、常见的连续型概率分布1.均匀分布X只在一有限区间[a，b]上取值且概率密度是一个常数其概率密度为：X落在子区间[c，d]

内的概率与该子区间的长度成正比，与具体位置无关f(x)ac

dbxP(c≤X≤d)2.正态分布X～N(μ、σ2

)，其概率密度为：正态分布的均值和标准差均值E(X)=μ

方差D(X)=σ2

-∞<x<∞

2.正态曲线σ相同而μ不同的正态曲线

2xf(x)μ相同而σ不同的正态曲线f(x)σ较小σ较大x正态曲线的主要特性关于x=μ对称的钟形曲线参数μ决定正态曲线的中心位置参数σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度以X轴为渐近线，即当x→±∞时，f(x)→0标准正态分布μ＝0、σ＝1的正态分布，记为N(0,1)其概率密度φ(x)，分布函数Ф(x)X～N(μ、σ2),则：Z～N(0，1

)若Z～N(0，1

)，则有：

P（|Z|≤a）＝2Ф(a)－1Ф(-a)=1－Ф(a)标准化标准正态曲线

-a

0aφ(z)zΦ(a)【例3-14】某厂生产的某种节能灯管的使用寿命服从正态分布，对某批产品测试的结果，平均使用寿命为1050小时，标准差为200小时。试求：（a）使用寿命在500小时以下的灯管占多大比例？（b）使用寿命在850～1450小时的灯管占多大比例？（c）以均值为中心，95％的灯管的使用寿命在什么范围内？解

X＝使用寿命，X～N(1050，2002

)＝Ф(2)－Ф(-1)＝0.97725－0.15865＝0.818695％的灯管寿命在均值左右392（即658～1442）小时＝1－Ф(2.75)＝1－0.99702＝0.002983σ

原则|X－μ|>3σ的概率很小，因此可认为正态随机变量的取值几乎全部集中在[μ-3σ，μ+3σ]区间内广泛应用:产品质量控制判断异常情况……图3-12常用的正态概率值（在一般正态分布及标准正态分布中）-3

-2

-10

+1+2+3z-3σ-2σ-σ

+σ

+2σ+3σx99.73%95.45%68.27%正态分布最常用、最重要大千世界中许多常见的随机现象服从或近似服从正态分布例如，测量误差，同龄人的身高、体重，一批棉纱的抗拉强度，一种设备的使用寿命，农作物的产量…特点是“中间多两头少”由于正态分布特有的数学性质，正态分布在很多统计理论中都占有十分重要的地位正态分布是许多概率分布的极限分布统计推断中许多重要的分布（如χ2分布、t分布、F分布）都是在正态分布的基础上推导出来的。用正态分布近似二项分布X～B(n，p)，当n充分大时，

X～N(np，np(1-p))【例3-15】假设有一批种子的发芽率为0.7。现有这种种子1000颗，试求其中有720颗以上发芽的概率。解：设X＝发芽种子颗数，X～B(1000，0.7)。近似地X～N(700，210)。

P(X>720)＝P(Z>1.38)＝1－P(Z≤1.38)

＝1－0.9162＝0.0838用正态分布近似二项分布用正态分布近似二项分布的前提n很大，p不能太接近0或1（否则二项分布太偏）一般要求np和np(1-p)都要大于5如果np或np(1-p)小于5，二项分布可以用泊松分布来近似计算正态分布的概率值方法一：先标准化——查标准正态分布函数值表方法二：利用Excel来计算（不必标准化）插入函数fx——选择“统计”－“NORMDIST”，进入“函数参数”对话框中，在X后填入正态随机变量的取值区间点；在Mean后填入正态分布的均值；在Standard_dev后填入正态分布的标准差；在Cumulative后填入1(或TRUE)，表示计算随机变量取值小于等于指定值x的累积概率值。计算正态分布的概率值也可在选定的输出单元格中，顺次输入函数名和参数值即可如输入“=NORMDIST(500,1050,200,1)”，确定后即可得到所求概率值0.0029798。根据概率值F(X≤x)求随机变量取值的区间点x，选择函数“NORMINV”。如输入“=NORMINV(0.0029798,1050,200)”,显示计算结果为500。3.3大数定律与中心极限定理

一、大数定律二、中心极限定理一、大数定律1.独立同分布大数定律

2.贝努里大数定律3.3大数定律与中心极限定理独立同分布大数定律大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。独立同分布大数定律——设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)＝μ和方差D(Xi

)＝σ2（i=1,2,…），则对任意小的正数ε,有：

大数定律（续）该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望μ的偏差任意小的概率接近于1。该定理给出了平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。贝努里大数定律设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的ε>0，有：它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A发生的概率阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据。二、中心极限定理1.独立同分布大数定律

2.棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理3.3大数定律与中心极限定理独立同分布的中心极限定理（也称列维一林德伯格定理）设X1,X2,…是独立同分布的随机变量序列,且存在有限的μ和方差σ2（i=1,2,…），当n→∞时，或就趋于正态分布。

上述定理表明独立同分布的随机变量序列不管服从什么分布，其n项总和的分布趋近于正态分布。可得出如下结论：不论总体服从何种分布，只要其数学期望和方差存在，对这一总体进行重复抽样时，当样本量n充分大，就趋于正态分布。该定理为均值的抽样推断奠定了理论基础。【例3-16】有一测绘小组对甲乙两地之间的距离采用分段测量的方法进行了测量，将甲乙之间的距离分成为100段。设每段测量值的误差（单位：cm）服从区间（－1，1）上的均匀分布。试问：对甲乙两地之间距离的测量值的总误差绝对值超过10cm的概率是多少？解：设Xi＝第i段测量误差（i=1,2,…），由于Xi服从均匀分布，E(Xi)＝μ＝0，D(Xi

)＝σ2＝[1－(－1)]2/12=1/3。根据上述中心极限定理，可得，总误差Y＝ΣXi～N(0,100/3)。

棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理设随机变量X服从二项分布B(n,p)的，那么当n→∞时，X服从均值为np、方差为np(1-p)的正态分布，即：或：上述定理表明：

n很大，np

和

np(1－p)也都不太小时，二项分布可以用正态分布去近似。为什么很多随机现象呈正态分布自然界和社会经济现象中，这类现象很普遍，许许多多的随机变量都可以视为众多独立随机变量之总和。例如：一个城市的居民生活用电总量是大量相互独立居民户用电量的总和；炮弹射击的误差，也可以看作是很多因素引起的小误差之总和。由中心极限定理可知，即使各单个随机变量的分布并不明确，但只要它们存在有限均值和方差，这个众多独立的随机变量之总和的分布就趋近于正态分布。正态分布也称为常态分布本章小结随机现象、随机试验、事件的概念概率的定义、基本性质和运算法则随机变量的概念、概率分布的表示随机变量的主要数字特征三种常见的离散型概率分布二项分布、泊松分布和超几何分布两种连续型概率分布均匀分布、正态分布的主要特征和应用大数定律和中心极限定理常用概率分布及其均值、方差σ2μN(μ,σ2)NORMDIST正态分布(a+b)/2均匀分布np(p＝M/N)H(n,N,M)HYPGEOM-DIST超几何分布λλP(λ)POISSON泊松分布p(1-p)pB(1,p)二点分布np(1-p)npB(n,p)BINOMDIST二项分布方差均值记号名称第4章抽样与抽样分布4.1

常用的抽样方法4.2抽样分布4.3

中心极限定理的应用学习目标了解抽样的概率抽样方法理解抽样分布的意义了解抽样分布的形成过程理解中心极限定理理解抽样分布的性质4.1常用的抽样方法一、简单随机抽样二、分层抽样三、系统抽样四、整群抽样抽样方法概率抽样

(probabilitysampling)根据一个已知的概率来抽取样本单位，也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得每一个容量为样本都有相同的机会(概率)被抽中抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率分层抽样

(stratifiedsampling)将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样

(systematicsampling)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样

(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取