高中数学圆锥曲线基本知识及典型例题

.PAGE.高中数学圆锥曲线基本知识与典型例题第一部分：椭圆1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数<大于|F1F2|>的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：<1>若a>c,则集合P为椭圆；<2>若a＝c,则集合P为线段；<3>若a<c,则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a>b>0>eq\f<y2,a2>＋eq\f<x2,b2>＝1<a>b>0>图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1<－a,0>,A2<a,0>B1<0,－b>,B2<0,b>A1<0,－a>,A2<0,a>B1<－b,0>,B2<b,0>轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f<c,a>∈<0,1>a,b,c的关系c2＝a2－b2典型例题例1.F1,F2是定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则M点的轨迹方程是<><A>椭圆<B>直线<C>圆<D>线段例2.已知的周长是16,,B,则动点的轨迹方程是<><A><B><C><D>例3.若F<c,0>是椭圆的右焦点,F与椭圆上点的距离的最大值为M,最小值为m,则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是<><A><c,><C><0,±b><D>不存在例4.设F1<-c,0>、F2<c,0>是椭圆+=1<a>b>0>的两个焦点,P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为<><A><B><C><D>例5P点在椭圆上,F1、F2是两个焦点,若,则P点的坐标是.例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：<1>长轴与短轴的和为18,焦距为6;.<2>焦点坐标为,,并且经过点<2,1>;.<3>椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____.<4>离心率为,经过点<2,0>;.例7是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上运动,则的最大值是．第二部分：双曲线1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2<|F1F2|＝2c>0>的距离之差的绝对值为常数2a<2a<2c>,则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a、c为常数且a>0,c>0：<1>当a<c时,P点的轨迹是双曲线；<2>当a＝c时,P点的轨迹是两条射线；<3>当a>c时,P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>eq\f<y2,a2>－eq\f<x2,b2>＝1<a>0,b>0>图形性质范围x≥a或x≤－a,y∈Rx∈R,y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1<－a,0>,A2<a,0>A1<0,－a>,A2<0,a>渐近线y＝±eq\f<b,a>xy＝±eq\f<a,b>x离心率e＝eq\f<c,a>,e∈<1,＋∞>,其中c＝eq\r<a2＋b2>实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2<c>a>0,c>b>0>典型例题例8.命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a<a>0>；命题乙：点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的<><A>充要条件<B>必要不充分条件<C>充分不必要条件<D>不充分也不必要条件例9.过点<2,-2>且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是<><A><B><C><D>例10.双曲线的两焦点为在双曲线上,且满足,则的面积为<>例11.设的顶点,,且,则第三个顶点C的轨迹方程是________.例12.连结双曲线与<a＞0,b＞0>的四个顶点的四边形面积为,连结四个焦点的四边形的面积为,则的最大值是________．例13.根据下列条件,求双曲线方程:⑴与双曲线有共同渐近线,且过点<-3,>；⑵与双曲线有公共焦点,且过点<,2>.例14设双曲线上两点A、B,AB中点M〔1,2⑴求直线AB方程；⑵如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D是否共圆,为什么？第三部分：抛物线1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l<F∉l>的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px<p>0>y2＝－2px<p>0>x2＝2py<p>0>x2＝－2py<p>0>p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O<0,0>对称轴y＝0x＝0焦点Feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<p,2>,0>>Feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<p,2>,0>>Feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<p,2>>>Feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,－\f<p,2>>>离心率e＝1准线方程x＝－eq\f<p,2>x＝eq\f<p,2>y＝－eq\f<p,2>y＝eq\f<p,2>范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下典型例题例15.顶点在原点,焦点是的抛物线方程是<><A>x2=8y<B>x2=8y<C>y2=8x<D>y2=8x例16.抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是<><A><B><C><D>0例17.过点P<0,1>与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有<><A>4条<B>3条<C>2条<D>1条例18.过抛物线<a>0>的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p、q,则等于<><A>2a<B><C><D>例19.若点A的坐标为<3,2>,F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取最小值,P点的坐标为<><A><3,3><B><2,2><C><,1> <D><0,0>例20.动圆M过点F<0,2>且与直线y=-2相切,则圆心M的轨迹方程是.例21.过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点,设这两点的纵坐标为y1、y2,则y1y2＝_________.例22.以抛物线的焦点为圆心,通径长为半径的圆的方程是_____________.例23.过点<-1,0>的直线l与抛物线y2=6x有公共点,则直线l的倾斜角的范围是.例题答案例1.D例2.B例3.C.例5.B.例7.<3,4>或<-3,4>例8.<1>或;<2>;<3>或;<4>或.例9.≤例11.B例13.D例16.A例17.例18.例19.⑴;⑵例20.⑴直线AB：y=x+1⑵设A、B、C、D共圆于⊙OM,因AB为弦,故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦,故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|由得：A〔-1,0,B〔3,4又CD方程：y=-x+3由得：x2+6x-11=0设C〔x3,y3,D〔x4,y4,CD中点M〔x0,y0则∴M〔-3,6∴|MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴|MA|=|MB|=|MC|=|MD|∴A、B、C、D在以CD中