《抛物线》 市赛获奖 优秀奖 教学课件

【拓展提升】1.求抛物线的标准方程的方法及注意事项（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p值即可.（2）注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.确定应用抛物线性质的关键及技巧（1）关键：利用抛物线方程确定与应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.【变式训练】（1）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为()(A)(B)1(C)2(D)4【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程为圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：所以p=2.（2）焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是________.【解析】令x=0得y=-2；令y=0,得x=4.∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，-2）.当焦点为（4，0）时，∴p=8,此时抛物线方程为y2=16x；当焦点为（0，-2）时，∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.∴所求抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案：y2=16x或x2=-8y考向3直线与抛物线的位置关系

【典例3】（2013·广州模拟）如图所示，F是抛物线x2=2py(p>0)的焦点，点R（1，4）为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5.（1）求抛物线的方程.（2）已知过点P（0，-1）的直线l与抛物线x2=2py(p>0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，M，N分别是l1，l2与直线y=-1的交点.求直线l的斜率的取值范围，并证明|PM|=|PN|.【思路点拨】（1）利用抛物线定义，并数形结合寻找到|QR|+|QF|取最小值为5的条件，构建p的方程求解.（2）建立l的方程并与x2=2py(p>0)联立消去y得一元二次方程，使判别式Δ>0求斜率的取值范围，再建立l1，l2的方程，只需证明xM+xN=0即xN=-xM即可.【规范解答】（1）设抛物线的准线为l,过Q作QQ′⊥l于Q′，过R作RR′⊥l于R′，由抛物线定义知|QF|=|QQ′|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ′|≥|RR′|（折线段大于垂线段），当且仅当R，Q，R′三点共线时取等号.由题意知|RR′|＝5，即故抛物线的方程为x2=4y.（2）由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y=kx-1,则⇒x2-4kx+4=0①.依题意，有Δ=16k2-16>0⇒k<-1或k>1.由所以抛物线在A处的切线l1的方程为即令y=-1,得同理，得注意到x1,x2是方程①的两个实根，故x1x2=4,即从而有因此，|PM|=|PN|.【拓展提升】直线与抛物线的位置关系问题设直线方程Ax+By+C=0与抛物线方程y2=2px(p>0)联立，消去x得到关于y的方程my2+ny+l=0.（1）位置关系与其判别式Δ的关系方程特征

公共点个数

位置关系

直线与抛物线

m=0

1

直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交

m≠0,Δ＞0

2

相交

m≠0,Δ=0

1

相切

m≠0,Δ＜0

0

相离

（2）相交问题的求解通法涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般解直线与抛物线方程联立的方程组进行求解.【提醒】涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【变式训练】（2013·惠州模拟）已知直线y=-2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OP⊥OQ（O为坐标原点），记点P的轨迹为C.（1）求曲线C的方程.（2）若直线l2是曲线C的一条切线，当点（0，2）到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程.【解析】（1）设点P的坐标为（x,y），则点Q的坐标为（x,-2）.∵OP⊥OQ，∴kOP·kOQ=-1.当x≠0时，得化简得x2=2y.当x=0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x≠0.∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).（2）∵直线l2与曲线C相切，∴直线l2的斜率存在.设直线l2的方程为y=kx+b，由得x2-2kx-2b=0.∵直线l2