初三数学分类讨论思想在解题中的应用知识精讲首师大版

.PAGE.>初三数学分类讨论思想在解题中的应用知识精讲【同步教育信息】一.本周教学内容：分类讨论思想在解题中的应用1.在数学中，分类思想是根据数学本质属性的一样点和不同点，把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想，正确应用分类思想，是完整解题的根底。2.正确的分类应当符合两条原则：〔1〕分类应按同一标准进展；〔2〕分类应当不重复，不遗漏。例如，把三角形分为斜三角形和等边三角形两大类，既有重复〔等边三角形是斜三角形〕，又有遗漏〔不包括直角三角形〕，其分类标准不统一，故分类错误。分类后，对各个情况分别进展研究，得出不同情况下的结论，这就是讨论。3.分类讨论思想是中考的热点考察内容。二.重点、难点：分类讨论思想的应用和分类的标准既是重点又是难点。【典型例题】一、与数学概念、定义有关的分类讨论。例1.分析：对值符号，这就要根据绝对值的概念进展分类讨论研究。解法一：解法二：故应填8或2。例2.相切两圆的圆心距为5，一个圆的半径为2，则另一个圆的半径为__________。分析：相切两圆分为内切、外切两种情况。解：设另一个圆心的半径为r，则r＋2＝5或r－2＝5。∴r＝3或7。二、涉及数学运算法则或定理、公式的适用范围的分类讨论。例3.A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、二、三象限分析：分两种情况讨论。解法一：分两种情况讨论：〔1〕当a＋b＋c≠0时，由等比性质，得〔2〕当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，综合〔1〕〔2〕，直线y＝k*＋k一定经过第二、三象限，应选B。解法二：例4.误解：分析：误解的结果是正确的，但解法是欠妥的，造成误解的原因是习惯性地把未知量*，y看作不相等，即无视了*＝y的情况，这种错误易出现，但又难发现，因此必须高度重视。正确的解法是分类讨论：说明：本例也可以应用因式分解法防止讨论：解法二：三、涉及问题中待定参数的变化的分类讨论。例5.根？分析：方程有实数根，即方程有两个或一个实数根，相应的方程为一元二次方程或一元一次方程，所以对未知数最高次项的系数要分类讨论。解：说明：方程中最高次项的系数是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性，不能看到*2项就简单地认为是一元二次方程。例6.〔1〕k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？〔2〕设〔1〕中的两个交点为A，B，试比较∠AOB与90°角的大小。分析：置，所以要注意分类讨论。解：〔2〕y＝－*＋8的图象经过第一、二、四象限，由于k的不同取值导致A、B的位置不同，因此应分类讨论：①当0＜k＜16时，双曲线的两支分布在第一、三象限，则这两个函数图象的交点A和B都在第一象限，∴∠AOB＜∠*Oy，即∠AOB＜90°，如下列图；②当k＜0时，双曲线的两支分布在第二、四象限，则这两个函数图象的两个交点A和B分别在第二、四象限，∴∠AOB＞∠*Oy，即∠AOB＞90°。例7.分析：此题在审题时要读懂题意，题设中未指明是涉及②中的哪个整数根，故要分类讨论。解：，根据题设，对*1，*2进展分类讨论：四、涉及几何元素位置变化的分类讨论。1.与几何根本概念有关的分类讨论。例8.C到直线l的距离是_________________。分析：点A，点B与直线l的位置关系有两种情况：A、B两点在直线l的同侧或异侧。解：〔1〕如下列图，当A、B两点在直线l的同侧时，设AM⊥l于M，BN⊥l于N，CP⊥l于P，且∵C是AB中点，AM∥CP∥BN，∴CP是梯形AMNB的中位线，〔2〕如下列图，当A、B两点在直线l的异侧时，过B作BR⊥AM的延长线于R，延长PC交BR于Q，则AM∥CQ∥BN，∵AC＝BC，∴RQ＝QB，∴CQ是△ABR的中位线，2.与三角形有关的分类讨论：例9.平面直角坐标系内两点A〔－2，0〕，B〔4，0〕，点P在直线〔1〕点P的坐标，并标出点P的位置；〔2〕经P、A、B三点且对称轴平行于y轴的抛物线是否存在？假设存在，求出抛物线的解析式。解：〔1〕如下列图，分三种情况讨论：③设∠P为直角，点P〔*，y〕，过P作PQ⊥*轴于Q，则Q〔*，0〕，而过A、B、P1或A、B、P2对称轴平行于y轴的抛物线不存在。例10.点，AD＝6，点E是过点D的直线与△ABC的另一边的交点，过点D能否作一条直线截原三角形所得的小三角形与原三角形相似？假设能，求出DE的长，假设不能，请说明理由。解：∴AC＝6，BC＝8，∵AD＝6，∴BD＝4。分三种情况讨论，如下列图，〔1〕过D作DE1∥AC交BC于E1，∴△ABC∽△DBE1〔2〕过D作DE2∥BC交AC于E2，∴△ADE2∽△ABC，〔3〕过D作DE3⊥AB于D，交BC于E3，∴△E3BD∽△ABC3.与四边形有关的分类讨论：例11.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，AD＝7，BD＝10，则四边形ABCD的面积是___________。分析：满足题设条件的图形有两个：平行四边形或等腰梯形，如图1，图2。解：分两种情况讨论：〔1〕过D作DE∥AC交BC延长线于E点，过E作BD的延长线的垂线与BD延长线交于F点，由∠BOC＝120°，得∠EDF＝60°又根据勾股定理，BE2＝BF2＋EF2，设EF＝h，〔2〕如图2，类似可得：4.与圆有关的分类讨论：例12.⊙O中，半径r＝5cm，AB、CD是两条平行弦，且AB＝8cm，CD＝6cm，求AC的长。分析：由弦AB、CD的位置的不确定性来分类讨论。解：〔1〕如下列图，由垂径定理及勾股定理，得弦心距则弦AB、CD间的距离为4＋3＝7或4－3＝1，从而说明：本例中隐含了两个层次的分类讨论思想：〔1〕平行弦位置的不确定性，即它们可在圆心的同侧，也可在圆心的两侧。这就是种情况。〔2〕点的位置的不确定性，如当A，B确定后，C，D的排列有两种情形；【模拟试题】一、选择题：1.假设点P到*轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为〔〕A.〔1，2〕B.〔－1，－2〕C.〔－1，2〕，〔1，－2〕D.以上都有可能2.P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P＝50°，则弦AB所对的圆周角的度数为〔〕A.140° B.65° C.140°或40° D.65°或115°3.弦AB是圆内接正三角形的一边，弦AC是圆内接正六边形的一边，则∠BAC的度数为〔〕A.30° B.90° C.30°或90° D.60°或30°4.假设点M到⊙O的最长距离为10，最短距离为4，则圆O的半径为〔〕A.5或2 B.3或7 C.10或4 D.14或65.等腰三角形的一个角等于70°，则它的顶角的度数为〔〕A.70° B.70°或55° C.40° D.40°或70°6.一个等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为〔〕A.12 B.14 C.9 D.9或127.如果是一个完全平方式，则m的值为〔〕A.±3 B.±9 C.±6 D.68.半径不等的两个圆有公共点，则两圆的公切线的条数是〔〕A.1条 B.2条 C.3条 D.以上都有可能二、填空题：9.四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是直角三角形，则AD的长等于_____________。10.直角三角形的两条边长分别为，则斜边上的高为___________。11.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝58°，则∠BAC＝____________度。12.⊙O1和⊙O2外切，半径分别为1cm和3cm，则半径为5cm且与⊙O1和⊙O2都相切的圆一共可以作出____________个。13.假设分式的值为零，则*的值应为____________。14.二次函数的图象与*轴交点的横坐标分别为－2，6，图象与y轴相交，交点与原点的距离为3，则二次函数的解析式为________________。15.两数a＝16，b＝4，则a与b的比例中项是____________。16.是正比例函数，则m的值为____________。17.等腰三角形的两边长为3和2，则底角的余弦值为____________。18.假设相交两圆的半径分别为，公共弦长为4，则圆心距为____________。三、解答题：19.：线段AB在*轴上，以AB为直径的圆交y轴的负半轴于点C，假设，求过A、B、C三点的抛物线的解析式。20.，如下列图，⊙D交y轴于A、B两点，且B〔〕，D〔1，0〕，过B点作⊙D的切线交*轴于点P，〔1〕求直线PB的解析式；〔2〕判断在直线PB上是否存在点E，使得，假设存在，求出E点坐标；假设不存在，说明理由。21.如下列图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为〔1，0〕，直线l过点A〔－1，0〕与⊙C相切于点D，〔1〕求直线l的解析式；〔2〕在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求点P的坐标。22.在一条直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知要它立即返回到C地执行公务，甲船继续顺流航行，甲、乙两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度为千米/时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A地经B地再到达C地共用4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地多远？参考答案.dearedu.一、选择题：1.D 2.D 3.C 4.B5.D 6.A 7.C 8.D二、填空题：9.4或3〔分∠ACD＝90°和∠ADC＝90°两种情况〕10.〔分是斜边和是直角边两种情况〕11.58°或122°〔分圆心O在△ABC内和外两种情况〕12.共6个〔所求圆可与⊙O1和⊙O2都外切的有两个；或与⊙O1内切，与⊙O2外切的有一个；或与⊙O1外切，与⊙O2内切的有一个；或与⊙O1，⊙O2都内切的有两个。〕13.14.。〔与y轴的交点坐标分为〔0，3〕和〔0，－3〕两种情况〕15.±8〔ab等于比例中项的平方〕16.1〔〔舍〕〕17.〔3为腰或2为腰〕18.〔分公共圆与O1O2相交和公共弦与O1O2的延长线相交两种情况〕三、