【九年级数学代数培优竞赛专题】专题4 巧解一元二次方程【含答案】

专题4巧解一元二次方程知识解读同学们在学习解一元二次方程时，已经掌握了公式法，配方法，因式分解法等诸多方法，然而面对一个一元二次方程求解时，我们到底该选用哪一种方法呢？这就需要我们仔细观察方程，根据方程的系数特点和结构特征，选择恰当的方法，简洁、快速的解答.本文重点介绍因式分解法和换元法。一、因式分解法因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为：“右化零，左分解，两因式，各求解”.因式分解法解一元二次方程除了大家熟悉的提公因式法，公式法（完全平方公式或平方差公式）外，重点介绍用十字相乘法来求解，主要有两种类型.类型一：对于方程，若，，则.原方程可化为.步骤：①分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；②分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；③交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；④横写因式.如图4－1.要领是：竖分常数交又验，横写因式不能乱.其可因式分解的充分必要条件是是完全平方数。类型二：对于方程，若，，，其中a，p，q均大于0，则.如图4－2.要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”.其可因式分解的充分必要条件是是完全平方数.二、换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.一元二次方程的题目中，有些用常规方法解，既费时又费力，如果用换元法解，那就方便得多.换元法也可以称为整体思想法，在数学中，整体思想是重要思想之一，要掌握牢固.培优学案典例示范例1解方程.【提示】容易发现，，所以左边可分解为（x＋7）（x－1）.解方程：（1）；（2）；（3）；（4）.【提示】当常数项是正数时，分解的两个数必同号，交又相乘之和等于一次项系数。当常数项是负数时，分解的两个数必异号，交又相乘之和仍等于一次项系数。因此因式分解时，不但要注意首尾分解，而且需十分注意一次项的系数，才能保证因式分解的正确性.例2 解方程.【提示】如图4－3，左边可分解为（2x－1）（3x－10）.跟踪训练解方程：（1）；（2）；（3）；（4）.例3解方程.【提示】因为二次项的系数为1，一次项的系数为2的整数倍，且常数项较大，故适合选用配方法。将原方程配方得.该题若用因式分解法，则需将9996进行分解因式，有点困难；若用求根公式法则计算量太大.例4 解方程.【提示】该方程左边的两个因式比较相像，故可以采用换元法来解。令，原方程变形为（a＋1）（t－1）＝1，，，即，从而求出x.该题若利用多项式的乘法转化为一般式求解，相当麻烦，利用换元法则可事半功倍。例5 已知，求的值.【提示】把当作一个整体来考虑，设，，则原方程变为t（t－2014）＝2015.求得t即可.跟踪训练1.用换元法解方程.【提示】设，则，通过y求出x.2.已知实数x满，求的值.【提示】原方程化为，令，则.例6解方程.【提示】本题含有绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义。跟踪训练1.解方程.【提示】解法1：显然x≠3.分x＞3和x＜3两种情况讨论；解法2：将原方程化为，因式分解得，然后求解。2.解方程.【提示】显然.分和两种情况讨论.例7解方程.【提示】本题用常规方法解非常麻烦，可移项变形得，，采用十字相乘法分解因式。跟踪训练解方程.【提示】为使二次项系数简单，方程两边同乘以，得，再用十字相乘法进行因式分解，解法颇为巧妙. 竞赛链接例8（2013数学周报杯全国初中数学竞赛）已知实数x，y满足，求的值。【提示】把已知的两个方程分别看作关于和的一元二次方程.跟踪训练若k为正整数，且关于x的方程有两个不相等的正整数根，求k的值.【提示】原方程变形为，.培优训练直击中考1.★是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（）A.小于-1，大于3B.小于-2，大于3C.，在-1和3之间D.，都小于32.★关于x的方程（m，h，k均为常数，m≠0）的解是，则方程的解是（）A.，B.