高三数学一轮复习大题专练《椭圆中的定点问题（一）》突破解析_第1页
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一轮复习大题专练58—椭圆（定点问题）1．在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，．是椭圆的右焦点，，．（1）求椭圆的方程；（2）不过点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，．若，证明直线过定点，并求出定点的坐标．解：（1）由题意可得，，，，所以，因为，，则，解得，，所以，则椭圆的标准方程为；（2）设直线的方程为，，，，，联立方程组，可得，则，，则，因为，所以，则，所以直线的方程为，故直线过定点．2．已知椭圆的离心率为，且过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）设曲线与轴的正半轴交于点．已知直线斜率存在且不为0，与椭圆交于，两点，满足为坐标原点），证明：直线过定点．解：（1）过椭圆的右焦点有且仅有一条直线与圆相切可得，，即，又离心率，可得，而，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：设曲线与轴的正半轴交于点，可得，因为可得，所以可得直线，的斜率之和为0，设直线的方程为：，设，，，，联立，整理可得：且，，则，所以可得，，可得，所以直线的方程为，可证得直线恒过定点．3．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，点在椭圆上，且满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）由知，在△中，，，解得，，，所以椭圆；（6分）（Ⅱ）假设存在点满足条件，设直线方程为，，，，，，消去有，，．因为，所以，即，解得．所以存在使得．（12分）4．已知椭圆既与圆外切，又与圆外切．（1）求椭圆的方程．（2）已知，是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接，并分别延长交椭圆于，两点，证明：直线过定点．（1）解：因为圆与轴的交点为，，圆与轴的交点为，，所以由题意可得，，故椭圆的方程是．（2）证明：当轴时，直线的方程是，由，解得，直线过点．当不与轴垂直时，设，，，，．①当时，解得，，则，所以直线过点；同理，当时，直线也过点．②当且时，直线的方程为，由，得，又，则，得，，即，同理可得，则，，所以，，三点共线，即直线过点．综上，直线过定点．5．已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线（不经过点交椭圆于点，，若直线与直线的斜率之和为，求证：过定点．解：（1）由题意得，，椭圆的方程为．（2）证明：当的斜率不存在时，设，，则，，（不符合题意）当的斜率存在时，设，由得，设，，，，则，又点，，，直线，直线恒过定点．6．已知椭圆的离心率为，且长轴长为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点（不与椭圆的顶点重合），以为直径的圆过椭圆的上顶点，证明：直线过定点，并求出该定点坐标．解：（1）由题意知，，且，结合，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）直线的斜率存在且不为零，设为，，，，，联立直线方程和椭圆方程化简得，△，所以．，因为以为直径

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