天津南开艺术中学2023年高二数学文月考试卷含解析

天津南开艺术中学2023年高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆，若其长轴在轴长，且焦距为，则等于（

）． A． B． C． D．参考答案：D由题意可知，，，解得．故选．2.若﹁p∨q是假命题,则（）A．p∧q是假命题 B．p∨q是假命题 C．p是假命题 D．﹁q是假命题参考答案：A3.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为(

)A．588 B．480 C．450 D．120参考答案：B【考点】频率分布直方图．【专题】图表型．【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率×总数可求出所求．【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1﹣10×（0.005+0.015）=0.8．

由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60（分）的人数为600×0.8=480人．故选B．【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力．4.将两个数交换,使,下面语句正确一组是(

)参考答案：B5..双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C略6.已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，﹣4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）参考答案：B【考点】椭圆的定义．【专题】计算题．【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．【解答】解：∵△ABC的周长为20，顶点B（0，﹣4），C（0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．7.命题若，则是的充分而不必要条件；命题函数的定义域是，则（

）A．“或”为假

B．“且”为真C．真假

D．假真参考答案：D8.设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N?M”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】先由a=1判断是否能推出“N?M”；再由“N?M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N?M当N?M时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“N?M”的充分不必要条件．故选A．【点评】本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．9.设向量，均为单位向量，且||，则与的夹角为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.双曲线：x2﹣=1的渐近线方程和离心率分别是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数a、b、c的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可【解答】解：双曲线：的a=1，b=2，c==∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x；离心率e==故选D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，则α+β=．参考答案：﹣利用韦达定理求得tan（α+β）的值，再根据α+β的范围，求得α+β的值．解：∵α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，∴tanα+tanβ=﹣，tanα?tanβ=+1，∴tan（α+β）===1，结合α+β∈（﹣π，π），∴α+β=，或α+β=﹣，当α+β=时，不满足tanα+tanβ=﹣，故舍去，检验α+β=﹣，满足条件．综上可得，α+β=﹣，故答案为：﹣．12.设，则的最大值为 参考答案：错解：有消元意识，但没注意到元的范围。解析：由得：，且，原式=，求出最大值为1。

13.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456……二进制11011100101110……观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数；当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是

参考答案：6314.如果实数x，y满足（x+2）2+y2=3，则的最大值是．参考答案：【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；数形结合；综合法；直线与圆．【分析】设=k，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案【解答】解：设=k，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，如图示：从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得|OC|=2，|CE|=r=，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到k=tan∠EOC==，即为的最大值．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是解决问题的关键，属中档题．15.已知F是曲线（θ∈R）的焦点，A（1，0），则|AF|的值等于．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】求出曲线的普通方程为x2=4y，从而求出曲线的焦点F（0，1），由此利用两点间距离公式能求出|AF|的值．【解答】解：∵曲线（θ∈R），∴y=1+2cos2θ﹣1=2cos2θ，又x2=8cos2θ，∴曲线的普通方程为x2=4y，∴曲线的焦点F（0，1），∵A（1，0），∴|AF|==．故答案为：．16.点P为正四面体ABCD的棱BC上任意一点，则直线AP与直线DC所成角的范围是．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用两个极限位置，求出直线AP与直线DC所成角，即可得出结论．【解答】解：由题意，P在B处，直线AP与直线DC所成角为，P在C处，直线AP与直线DC所成角为，故答案为．17.已知关于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，则实数m的取值范围为___________参考答案：【分析】对m进行分类讨论，、时分别分析函数的单调性，对m的取值范围进行进一步分类讨论，求出该函数在区间上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范围.【详解】①当时，函数外层单调递减，内层二次函数：当，即时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，，解得：；当，即时，无意义；当，，即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，则需，无解；当，即时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，，无解.②当时，函数外层单调递增，，二次函数单调递增，函数单调递增，所以，解得：.综上所述：或.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，若大于0恒成立，则最小值大于0，若小于0恒成立则最大值小于0，注意对参数进行分类讨论，区分存在性问题与恒成立问题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）（2015秋?成都校级月考）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求①顶点C的坐标；②直线BC的方程；③过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的方程．参考答案：【考点】圆的一般方程．

【专题】直线与圆．【分析】①令直线AC边所在的直线斜率为k，则=﹣1，从而直线AC的方程为2x+y﹣11=0．解方程组，能求出顶点C的坐标．②设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，又点B在直线BH上，能求出x0=﹣1，y0=﹣3，由两点式，得直线BC的方程．③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为（a，a），由此能求出圆的方程．【解答】解：①令直线AC边所在的直线斜率为k，∵AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0，∴=﹣1，解得k=﹣2，∴直线AC的方程为：y﹣1=﹣2（x﹣5），即，2x+y﹣11=0．∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，解方程组，得x=4，y=3，∴顶点C的坐标为（4，3）．②设点B的坐标为（x0，y0），且点B与点A关于直线2x﹣y﹣5=0对称，∴，又点B在直线BH上，∴x0﹣2y0﹣5=0，∴x0=﹣1，y0=﹣3，所以，由两点式，得直线BC的方程为：，整理，得6x﹣5y﹣9=0．③设过A、C两点且圆心在直线y=x上的圆的圆心为（a，a），∵A（5，1），C（4，3），∴，解得，∴圆的半径r==，∴圆的方程为=．【点评】本题考查顶点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点斜式方程、直线对称、圆的方程等知识点的合理运用．19.（本小题12分（1）小问6分，（2）小问6分）某幼儿园小班的美术课上，老师带领小朋友们用水彩笔为美术本上如右图所示的两个大小不同的气球涂色，要求一个气球只涂一种颜色，两个气球分别涂不同的颜色.该班的小朋友牛牛现可用的有暖色系水彩笔红色、橙色各一支，冷色系水彩笔绿色，蓝色，紫色各一支.(1)牛牛从他可用的五支水彩笔中随机的取出两支按老师要求为气球涂色，问两个气球同为冷色的概率是多大？(2)一般情况下，老师发出开始指令到涂色活动全部结束需要10分钟.牛牛至少需要2分钟完成该项任务.老师在发出开始指令1分钟后随时可能来到牛牛身边查看涂色情况.问当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务的概率是多大？参考答案：（1）如下表格，

红色橙色绿色蓝色紫色红色01111橙色10111绿色11022蓝色11202紫色11220易知两个气球共20种涂色方案， …………2分其中有6种全冷色方案， …………4分故所求概率为 …………6分（2）老师发出开始指令起计时，设牛牛完成任务的时刻为，老师来到牛牛身边检查情况的时刻为，则由题有……式1，若当老师来到牛牛身边时牛牛已经完成任务，则……式2，如下图所示，所求概率为几何概率 10分

阴影部分(式2)面积为可行域（式1）面积为所求概率为 12分20.用分析法证明。参考答案：见证明【分析】用分析法证明，直到推出显然成立的结论，即可.【详解】证明：要证，只要证只要证只要证只要证只要证显然成立，故原结论成立。【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，只需熟记分析法的一般步骤即可，属于常考题型.21.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085

（1）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：,参考数据：.参考答案：（1）；（2）49.【分析