《定积分的概念》 市赛获奖 教学课件

1．定积分的概念定积分的性质①②称为定积分的线性性质．定积分的性质③称为定积分对积分区间的可加性，这个性质表明：求f(x)在区间[a，b]上的定积分，可以通过f(x)在区间[a，c]与[c，b]上的定积分去实现．[分析]这里的被积函数f(x)＝x3显然是连续函数．现按定义中包含的几个步骤来求01x3dx.[点评]求定积分的四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限，关键环节是求和．体现的基本思想就是先分后合，化曲为直，通过取极限，形成整体图形的面积．[解析]令f(x)＝2.(1)分割：在区间[a，b]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[a，b]等分成n个小区间a＋(b－a)(i－1)n，a＋(b－a)in(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为b－an.(2)近似代替、作和：取ξi＝a＋(b－a)in(i＝1,2，…，n)，则Sn＝i＝1nfa＋(b－a)in•b－an＝i＝1n2(b－a)n＝2(b－a)．(3)取极限：ab2dx＝limn→∞Sn＝limn→∞2(b－a)＝2(b－a).[分析]由于所给定积分为曲线y＝x3＋3x与x＝－1，x＝1及y＝0围成的曲边梯形面积，故由定义可求，但注意被积函数及积分上、下限特点可采用几何意义解决．[解析]∵y＝x3＋3x为[－1,1]上的奇函数，图象关于原点对称，∴曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等，由积分的几何意义知(x3＋3x)dx＝0.[点评]当曲边梯形在x轴下方时，积分值为负，在x轴上方时，积分值为正，故定积分的几何意义是在区间[a，b]上，曲线与x轴所围成图形的面积的代数和．

[解析]

(1)由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形，如图所示：(3x＋1)dx表示由直线x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，∴

(3x＋1)dx＝××(3×3＋1)－·2＝－＝16.[分析]由题目可获取以下主要信息：①被积函数形式上较为复杂；②积分的上、下限明确；解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分，再根据定积分的性质进行加减运算．[解析]

(1)如图，(2)奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分①若奇函数y＝f(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a－af(x)dx＝0.②若偶函数y＝g(x)的图象在[－a，a]上连续不断，则a－ag(x)dx＝20ag(x)dx.[例4]利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．[分析]由题目可获取以下主要信息：①y＝x图象为抛物线的一部分；②x＝y2为一条抛物线；③y＝x－2，y＝0，x＝2均为直线．解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何意义进行表示．[解析]

(1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积为S，则S＝02(x－0)dx＝02xdx(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，S＝A1＋A2，A1由y＝x，y＝－x，x＝1围成；A2由y＝x，y＝x－2，x＝1和x＝4围成．∴A1＝01[x－(－x)]dx，A2＝14[x－(x－2)]dx，∴S＝012xdx＋14(x－x＋2)dx.[点评]用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是：(1)准确画出各曲线围成的平面区域；(2)把平面区域分割成容易表示的几部分，同时要注意x轴下方有没有区域；(3)解曲线组成的方程组，确定积分的上、下限；(4)根据积分的性质写出结果．画出下列曲线围成的平面区域并用定积分表示其面积．(1)y＝|sinx|，y＝0，x＝2，x＝5.(2)y＝log12x，y＝0，x＝12，x＝3.[解析]

(1)曲线所围成的平面区域如图所示．设此面积为S，则S＝25|sinx|dx或S＝2πsinxdx＋π5(－sinx)dx＝2πsinxdx－5πsinxdx.一、选择题1．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分区间为 (

)A．[0，e2]

B．[0,2]C．[1,2] D．[0,1][答案]

B[解析]解方程组，可得，所以积分区间为[0,2]，故应选B.2．下列式子中不成立的是(

)[答案]

CA．∫sinxdx＝∫cosxdxsinxdx＝CosxdxC.sinxdx＝cosxdxD.|sinx|dx＝|cosx|dxB.[解析]由定积分的几何意义知0πsinxdx>0，0πcosxdx＝0，所以C不成立，故应选C.[答案]

C[解析]由积分的几何意义可知选C.3．下列值等于1的是 (

)A.01xdxB.01(x＋1)dxC.011dx D.0112dx二、填空题4．由正切曲线y＝tanx，直线x＝0和x＝π4，x轴所围成的平面区域的面积用积分表示为________．5．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1)01xdx________01x2dx(图1)；(2)01xd