差分方程模型(讲义)

则称a是差分方程F(n,x,x,,x)=0的平衡点，又对该差分方程的任意由nn+1n+k初始条件确定的解x=x(n)，均有nlimx=annTg则称这个平衡点a是稳定的；否则是不稳定的下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为TOC\o"1-5"\h\zx+ax=b，(6)n+1n其中a,b为常数，且a1,0。它的通解为bx=C(-a)n+(7)na+1b易知丄是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当a+1|a|<1b时，——是方程(6)的稳定的平衡点。a+1二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为x+ax+bx=r，(8)n+2n+1n其中a,b,r为常数，当r=0时，它有一特解x*=0，当r丰0，且a+b+1丰0时，它有一特解rx*=—a+b+1不管是哪种情形，x*是方程⑻的平衡点。设方程⑻的特征方程为九2+a九+b=0的两个根分别为九=九，九=九，贝U12①当九，九是两个不同的实根时，方程⑻的通解为TOC\o"1-5"\h\zx=x*+C(九)n+C(九)n；

n1122②当九=X=X是两个相同实根时，方程(8)的通解为12x=x*+(C+Cn)入nn12③当九二p(cos0+isin0)是一对共轭复根时，方程⑻的通解为1,2x=x*+pn(Ccosn0+Csinn0)n12易知，当且仅当特征方程的任一特征根卜J<1时，平衡点x*是稳定的。一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的一般形式为x二f(x)(9)n+1n其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出为了分析平衡点x*的稳定性，将方程(9)的右端f(x)在x*点作泰勒展开，只n取一次项，得到TOC\o"1-5"\h\zx-f'(x*)(x一x*)+f(x*)(10)n+1n(10)是(9)的近似线性方程，x*是(10)的平衡点，根据一阶常系数线性差分方程(6)x+ax=b的稳定性判定的相关结论，得：n+1n当|f'(x*)|<1时，方程(9)的平衡点是稳定的；当f'(x*)>1时，方程(9)的平衡点是不稳定的。差分方程建模实例1．贷款买房问题某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，要求建立数学模型解决如下问题：问该居民每月应定额偿还多少钱假设此居民每月可节余700元，是否可以去买房

确定参变量：用n表示月份，A表示第n个月欠银行的钱，r表示月利n率，x表示每月还钱数，A表示贷款额。0模型的建立与求解1)模型的建立时间欠银行款初始A0一个月后A=A(1+r)-x10二个月后A=A(1+r)-x21三个月后A=A(1+r)-x32n个月后A=A(1+r)-xnn-1由上表可得相邻两个月的递推关系式A=A(1+r)一x

nn-1模型的求解：(1)差分方程求解方法先求其特解。令A先求其特解。令A二A二y，nn-1得特解为y=。r再求对应齐次方程A二A(1+r)的通解。对应的特征方程为nn-1九—(1+r)=0，得X=(1+r)。齐次方程的通解为：c(1+r)n因此原方程的通解为：xA=c(1+r)n+—

nr又因为n=0时A=A，得c=A——n00r故(2)递推法：A=A(1+r)n一x1+U+rn0A=60000,A=0,n=300,r=

0300得A(1+r)n60000x(1+0.01)300一x=0=q632兀(1+r)n一1(1+0.01)300一1r0.01因此,该居民每月应偿还632兀。又632<700,所以该居民可以去买房。2．借贷问题中国建设银行北京市分行个人住房贷款一至二十年“月均还款金额表”（自1998年3月25日起执行）的一部分如下：（借款额为一万兀）单位：兀贷款期限（年）年利率（%）还款总额（元）利息负担总和（元）月均还款额（元）1520试问他们是怎样算出来的借贷问题的数学模型符号说明以贷款期限20年为例:借贷额A0=10,000;贷款期限为N年;月利率r二10.206/12二0.008505;"月均还款额”——表示每月还款额是相同的，记为x还款总额记为S.建立模型开始借款A二10,000，一个月后欠银行本利为A二A(1+r),但为了减010少欠款，还了x元，因而A二A(1+r)-x，第k个月情况也是这样的，即10A=A(1+r)一x,k=1,2，•…,Nkk-1注意到了第N个月已经不欠银行的钱了，即A=0，因此，我们得到以下的数N学模型:A=A(1+r)一xkk-1k=1,2,…N<A,x,NKnown0FindoutsuchthatA=0N数学模型的求解首先求出用已知量表出的表达式。由A=A(1+r)一x=[A(1+r)一x](1+r)一x=A(1+r)2一x[1+(1+r)]2100可以猜想，并用数学归纳法证明:A=A(1+r)k一x[1+(1+r)+(1+r)2hf(1+r”一1]k0由等比数列前k-1项的求和公式知：xA=A(1+r)k—[(1+r)k—1],k=1,2,…Nk0r再由A=0，得到：NAr(1fr)Nx=0—[(1+r)n一1]把已知量带入，就得到表中的x3．生物种群数量问题一．问题的提出种群的数量问题是当前世界上引起普遍关注的一个问题。要预测未来种群的数量，最重要的影响因素是当前的种群数量，今后一段时间内种群的增长状况和环境因素。由于随着种群数量增加到一定的程度后，种群在有限的生存空间进行竞争，种群的增长状况会随着种群数量的增加而减少，而且在有限的生存空间，种群数量也不可能无限增长，假设只能达到某一固定的数量值记为x，称为最大种群容量。又假设单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量mx的比记为：r(x)=r-sx,r、s>0,其中r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率，记当前(即t=0时)种群数量为x，时刻t种群数量为x(t)。若利用统计0数据可知x，r，x，则m0设x(t)为连续、可微函数，请给出未来时间里种群数量满足的数学模型。由于某些种群是在固定的一段时间内进行繁殖，所以可用种群繁殖周期作为时间段来研究其增长状况。请给出未来时间里这类种群数量应满足的离散数学模型。二.问题分析与模型建立由于r(x)为单位时间内种群数量的增长量与当时种群数量的比，所以t到t+At时间内种群数量的增量为x(t+At)-x(t)=r(x)x(t)At(1)又由于r(x)=r-sx,而当x=x时增长率应为零，即r(x)=0，所以mms=—，贝Vxmrr(x)=r一——x，x

把它代入方程(1)得:rx(t+At)一x(t)=(r一)x(t)At(2)xm此方程两边同除At，并令AtT0，加上初始条件x(0)二x可得未来任意时刻t0种群数量所满足的数学模型为：dx<dt(3)<dt(3)x(0)=x0由于是利用种群繁殖周期作为时段来研究种群增长状况，则令At二1，t视为整数及r(x)二r-丄x代入方程⑴得:xmrx(t+1)一x(t)=(r一)x(t)(4)xm加上初始条件x(0)二x得任意时刻t种群数量所满足的离散型数学模型为0rx(t+1)=(r+1一——)x(t)<xmx(0)=x0通过这个差分方程就可以很容易得到任意时刻t种群的数量。三．模型求解x(t)=1.利用x(t)=m—1e-rtMathematica源程序为:DSolve[x'(t)一r*(1一x[t]/xm)*x[t]==0,x[t],t]2•根据方程(2),只要给出初值x0就可以很容易进行递推而得到任意时刻t种群的数量。结果分析上面方程(3)有时称为阻滞增长模型或Logistic模型，它有着广泛的应用。例如传染病在封闭地区的传播，耐用消费品在有限的市场上的销售等现象，都可以合理的、简化的用这个模型来进行描述。但它存在不足，因为随着环境的变迁，最大种群容量可能会发生变化，而且最大种群容量也不容易准确得到。一方面，用离散化的时间来研究问题有时是很方便的，尤其出现了计算机以后，人们可以很方便的对问题进行求解；另一方面，对这个种群数量问题，由于许多种群实际上是由单一世代构成的，在相继的世代之间几乎没有重叠，所以种群的增长是分步进行的。这种情况下，为了准确的描述种群的数量动态就不能用微分方程，而应利用离散的模型来描述。人口的控制与预测模型问题的提出常见的两个常微分方程模型(马尔萨斯(Malthus)模型和洛杰斯蒂克(Logistic)模型)没有考虑到社会成员之间的个体差异，即不同年龄、不同体质的人在死亡、生育方面存在的差异。完全忽略了这些差异显然是不合理的。但我们不可能对每一个人的情况逐个加以考虑，故仅考虑年龄的差异对人口的变动的影响，即假设同一年龄的人具有相同的死亡率和生育能力，这样建立的模型不但使我们能够更细致的预测人口总数，而且能够预测老年人口、劳动力人口、学龄人口等不同年龄组的人口信息.下面来建立离散的差分数学模型来表现人口数量的变化规律。模型的建立与求解设x(t)为第t年年龄为k的人口数量，k=0,1,2,100，即忽略百岁以上的人k口。如果知道了第t年各年龄组的人口数，各年龄组人口的生育及死亡状态，就可以根据人口发展变化规律推得第t+1年各年龄组的人口数。首先引入k岁人口的死亡率和k岁育龄妇女的年生育率这两个概念，他们的含义和记号如下：k岁人口的年死亡率：丿一年内k岁的死亡人数d=k这年内k岁的人口数k岁妇女的年生育率：人一年内k岁妇女生育的婴儿数b二k这年内k岁妇女人数第t+1年k+1岁的人口数就是第t年k岁人口数扣除它在该年的死亡人数，即x(t+1)=(1一d)x(t)，k+1kk令p二1-d称为k岁人口的存活率，故各年龄组人口随时间的变化规律可用递kk推公式x(t+1)=px(t),(k=0,1,…,99)k+1kk来表示。再考虑到零岁的人数x(t+1)二畀bu(t)x(t)，0kkkk=0其中u(t)x(t)为第t年k岁的妇女人数，u(t)为第t年k岁人口的女性比(占全kkk部k岁人口数)，bu(t)x(t)就是第t年k岁妇女所生育的婴儿数.由此得到的人kkk口模型是：x(t+1)=畀bu(t)x(t)<0kkk(;k=0'x(t+1)=px(t),k=0,1,…,99k+1kk根据人的生理特征和人口学中的习惯，妇女的育龄区间一般取为15岁至49岁之间，即当k<15和k>49时，b=0，令kx(t)=(x(t),x(t)，…,x(t)，…,x(t))T01k100

'u(t)b00p00'u(t)b00p00u(t)b110p1u(t)b2200u(t)bu(t)b'9999100100000000099则人口模型（1）的矩阵形式为x(t+1)=Lx(t)(2)其中L称为莱斯利（Lwslie）矩阵.当第10年的人口状况已知时，从式（2）就可以推得第t年的人口为x(t+1)=L-t0x(t).0市场经济中的蛛网模型在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在没有外界干扰的情况下，这种现象将如此反复下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。这种振荡越小越好，如果振荡太大就会影响人民群众的正常生活。(1)商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定(2)当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定下面用差分方程理论建模，讨论市场经济趋于稳定的条件，再用图形方法建立“蛛网模型”对上述现象进行分析，对结果进行解释，然后作适当推广。模型的假设和符号说明记第n时段商品数量为x，价格为y,n=1,2,。nn这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果可以是1年，肉类可以是一个饲养周期。在n时段商品的价格y取决于数量x。设y=f(x)。它反映消费者对nnnn这种商品的需求关系，称为需求函数。因为商品的数量越多，价格越低。需求函数在图1中用一条下降的曲线f表示，f称为需求曲线。在n+1时段商品的数量x由上一时段的价格y决定，用x=g(y)n+1nn+1n表示。它反映生产者的供应关系，称为供应函数。因为价格越高，生产量越大。供应函数在图1中用一条上升的曲线g表示，g称为供应曲线。图1商品供求关系曲线模型的建立与求解设需求曲线f和供应曲线g相交于点P(x,y)，在P附近取函数f和g的0000线性近似，即需求曲线f：TOC\o"1-5"\h\zy一y=-a(x一x),a>0(11)n0n0供应曲线gx-x=0(y-y),B>0(12)n+10n0由式(11)(12)消去y，得到一阶线性差分方程nx=—a0x+(1+)x,n=1,2，•…(13)n+1n0因此x是其平衡点，即P是平衡点。对式(13)进行递推，得00x—(—)nx+[1—(—)n]x，n=1,2，•…n+110由此可得，平衡点稳定的条件是：幺卩<1；不稳定的条件是：幺卩>1。下面用图形解释此模型。若对某一个k有x—x，则由(11)式得，当n>k时x—x，从而y—y，即k0n0n0商品的数量和价格将永远保持在P(x,y)点。但是实际生活中的种种干扰使得000x,y不可能停止在P(x,y)上。不妨设x偏离x(见图2,图3),我们来分析nn00010随着随着n图2P点是稳定的0数量X给定后，价格y由曲线f上的P点决定，下一时段的数量兀2由曲线g上的P点决定，这样得到一序列的点P(x,y),P(x,y),P(x,y),2111222333P(x,y)，…,在图2上，这些点将按照箭头所示方向趋向P(x,y)，表明444000P(x,y)是稳定的平衡点，意味着市场经济(商品的数量和价格)将趋向稳定。000但是如果需求函数和供应函数由图3的曲线所示，则类似的分析发现，市场将按照P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)，…，的规律变化为远离111222333444P(x,y)，即P(x,y)是不稳定的平衡点，市场经济趋向不稳定。000000图3P点是不稳定的0图2和图3中折线PPPP形似蛛网，于是这种用需求曲线和供应曲线分1234析市场经济稳定性的图示法在经济学中被称为蛛网模型。实际上，需求曲线f和供应曲线g的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。一般地说，f取决于消费者对这种商品地需要程度和他们地消费水平，g则与生产者的生产能力，经营水平等因素有关。下面来解释此模型的实际意义。①首先来考虑参数a,卩的含义。需求函数f的斜率a（取绝对值）：表示商品供应量减少1个单位时价格的上涨幅度；供应函数g的斜率P:表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品供应增加量。a的值反映消费者对商品需求的敏感程度。如果这种商品是生活必需品，消费者处于持币待购状态，商品数量稍缺，人们立即蜂拥购买，那么a会比较大；反之，若这种商品非必需品，消费者购物心理稳定，或者消费水平低下，则a会比较小。P的数值反映生产经营者对商品价格的敏感程度。如果他们目光短浅，热衷于追逐一时的高利润，价格稍有上涨立即大量增加生产，那么P会比较大；反之，若他们目光长远，则P会比较小。根据a,卩的意义很容易对市场经济稳定与否的条件作出解释。当供应函数g的斜率P固定时，a越小，需求曲线越平，表明消费者对商品需求的敏感程度越小，越有利于经济稳定。当需求函数f的斜率a固定时，P越小，供应曲线越陡，表明生产者对价格的敏感程度越小，越有利于经济稳定。反之，当a,卩较大，表明消费者对商品的需求和生产者对商品的价格都很敏感，则会导致经济不稳定。经济不稳定的解决方案当市场经济趋向不稳定时，政府有两种干预办法：一种办法是控制价格，无论商品数量多少，命令价格不得改变，于是a二0;不管曲线g如何，总是稳定的；另一种办法是控制市场上的商品数量，当上市量小于需求时，政府从外地收购或调拨，投入市场，当上市量多于需求时，政府收购过剩部分，于是0=0，不管曲线f如何，也总是稳定的。模型的改进和推广

如果生产者的管理水平更高一些，他们再决定商品生产数量时，不是仅根据前一时期的价格，而是根据前两个时期的价格，为简单起见不妨设根据二者的平均值y+yTOC\o"1-5"\h\z—nn—12于是供应函数为(y+y八X=g(in—1)n+12在P点附近取线性近似时，式(12)表示为0供应函数(g):y+yX—X=B(—nn—1—y),B>0(14)n+1020又设需求函数仍由式