高三数学一轮复习大题专练《立体几何中的体积（一）》突破解析_第1页
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一轮复习大题专练43—立体几何（体积2）1．如图，已知四棱锥中，，，分别是，的中点，底面，且．（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．（1）证明：在四棱锥中，是的中点，是的中点，所以是的中位线，即，又平面，平面，所以平面，因为且，所以四边形是平行四边形，有，因为平面，平面，所以平面，而，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）解：连接，，如图所示：由，所以的面积为，又，所以三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为．2．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，平面，，，，，．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．（1）证明：四边形是梯形且，又，，又，，可得是等腰直角三角形．，，如图，连接交于点，连接．，在中，由余弦定理得，解得，则，故，又点在棱上，且，，又平面，平面，故平面；（2）解：由（1）知，在中，，故，则，即．3．已知四棱锥，其中，，，，平面平面，点是上一点，．（1）求证：平面；（2）若是等边三角形，当点到直线距离最大时，求四棱锥的体积．（1）证明：因为，，则，因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，则平面；（2）解：因为点到直线的距离为，当时，点到直线的距离最大，此时，由（1）可知，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又为等边三角形，所以，在中，，，则，故，所以，因为，故，所以四棱锥的体积为1．4．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，分别为，上的点，且，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求四棱锥体积最大时的长．证明：，，，，．又平面，平面，平面．解：，和为底边相同的两个等腰三角形．取的中点为，连接，，则，，且．平面，由题得当平面平面时，三棱锥的体积最大，即四棱锥的体积最大．，，令，则，，．令，，则，令，得，当时，，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，，四棱锥体积的最大值为，此时．5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接，交于点，为的重心．（1）证明：平面；（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱锥的体积．解：（1）证明：延长，交于点，连接是的重心，是的中点，且，，，，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，为的中点，则到平面的距离，又为的重心，点到平面的距离满足，解得．四边形的面积，四棱锥的体积．6．如图，面，四边形是边长为1的为正方形；点在线段上，．（1）若面，求值；（2）若面，棱锥体积取得最大值，求四棱锥的高．解：（1）设．面，面面，面，，．（2）解法一：以为坐标原点，，，所成直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，0，，有，1，，设，则，，，面，，，得：，因为的底面不变，故即到面的距离取最大值．到面的距离，当仅当，即时取最大值．故四棱锥的高为．解法二：设．中，作，交于．面，面，就是到面的距离，

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