泛函分析课件

演讲者：丁时进教授

时间：2006年11月30日分析数学中的若干问题一.分析数学的发展历程：1.初创

现代分析数学的发展应该起源于微积分的发明和极限理论的建立。即使仅仅是对“数“的理论的完善也归功于极限论的建立。

经过16世纪中叶到17世纪初的酝酿，牛顿（1642——1727）和莱布尼茨（1646——1716）终于在17世纪下半叶创立了微积分。

在此之前，通过略去高次项（即忽略高阶无穷小量）。帕斯卡，费马，沃利斯，巴罗等著名学者使微积分学产生萌芽。

牛顿的流数术（微积分）是他一生三大发明之一。流数术：“已知量之间的关系，求他的流数；以及反过来”——牛顿的微分和积分的观点——互逆运算：微积分学基本定理。(1736年发表)

莱布尼兹：考察切线，第一次引入了符号，沿用至今。

1734年贝克莱嘲笑“无穷小量是‘已死量的幽灵’，因为是费马略去的无穷小量，还是牛顿的，一直到莱布尼茨的,又是又不是，招之即来，挥之即去，“鬼使神差”。达朗贝尔——将微积分的基础归结为极限。但没创造完整体系。

欧拉利用这种不严谨的微积分创立了微分方程，无穷级数，变分学诸多学科并解决了大量天文，物理，力学问题，著有《无穷小分析引论》。

拉格朗日，拉普拉斯，勒让德，傅立叶在分析学方面都作出了巨大贡献。

但至此，微积分学的基础还没有找到合适的解决办法。所以，法国哲学家伏尔泰称微积分为“精确计算和度量的一个其存在性是无从想象的东西的艺术。”

柯西《分析教程》：“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值，其差可以任意小，则该固定值称为这一串数的极限”，他将分析学奠定在极限概念之上，但仍然使用“无限趋向”，“要多小就有多小”一类不严格的语言。魏尔斯特拉斯（1815-1897）将柯西的思想“算术化”，出现了至今通用的语言。语言——柯西准则——构成微积分的基础“极限论”的基础。2.微积分的基础3.实数理论

在十九世纪分析学发展的同时，人类也完善了实数理论。柯西首先认识到“无理数是有理数迫近的极限”（即：实数域是有理数域的完备化）。但极限又要用到实数，这形成了一个循环论证。梅莱，海涅，康托把无理数看成柯西列。戴德金采用对有理数分割的办法，建立了不依赖于极限论的实数理论。

勒贝格（1875-1941）——创立可列可加测度的积分论，形成实变函数论。以实分析为基础的概率论和随机过程，称为现代分析。复变函数论的发展，形成复分析。以函数空间为背景的泛函和算子理论——泛函分析。此外还有傅立叶分析等。4.20世纪分析学的发展

20世纪分析学的另一特征是用拓扑学和代数学，处理高维空间中的曲面和曲线以及多变量函数的整体性质，形成流形上的分析。流形上的分析结合了微分几何学—偏微分方程—多复变函数论，成为当代数学的主流方向。外微分形式—反函数理论，成为当代分析学的基础知识。

同时，20世纪分析学的发展，使非线性分析成为最活跃的数学分支之一，其基础理论是算子理论。泛函分析使分析学跃上新的高度。希尔伯特空间—巴拿赫空间—广义函数论成为常识。现在我们知道，无穷小量不再是一个量，而是一个变化的过程。

从上面可以看到，分析数学的发展经历了近3百年漫长的历史。数学成为现代科学的基础，已经成为人类的共识。二.从“数“到”泛函分析“的知识体系数（自然数—整数—有理数—实数—复数）变量函数（描述变量之间的变化关系）极限函数的分析性质，实数理论的建立（有限维欧式空间上的定义的函数）实分析（Lebesgue积分理论函数空间的研究（Hilbert空间，Banach空间——无限维空间）函数空间上定义的函数，即泛函或算子

派生：微分几何学，复变函数，微分方程等；现代：流形—流形上的分析学。三、用现代数学的观点看已学过数学知识从上面的发现过程看来，可以归结为：

第一阶段：变量取的是“数“，函数就是通常所说的函数第二阶段：变量取的是“函数空间中的元素”函数变成了泛函。所以，总是首先对变量所在的“空间”研究清楚，才能研究定义在这个“空间”上的“函数”。

变量所在的“空间”，除了其代数运算与代数性质（群，环，域）外，对于研究在他上面定义的分析性质来说，“空间”的分析性质是十分重要的。

小学就开始学习“距离空间”。如，直线上点与点之间的距离。中学时学习的作为两个点(x1,y1)和(x2,y2)之间的距离。

其实，现在我们知道，还可以采用很多方法定义距离。2.在空间上定义拓扑——定义收敛性

一般说来，中有界闭集合一定是紧的，这就是数学分析中所说的致密性定理。

但是，到了无限维空间，例如一般的Banach空间，其中的有界集就不一定有收敛子列。常见的例子是，有界的连续函数列不一定有一致收敛的子列，还要加上诸如“等度连续性“条件（Arzela--Ascoli）.5.现在我们看看“函数空间”1°在上连续的函数的全体构成一个集合。按照通常的加法和数乘，构成一个线性空间，把里面的元素视为点。1˚Dirichlet函数不是黎曼可积的，但是它是Lebesgue可积的.2˚积分与极限交换顺序的问题6.另三个典型的例子可以看到人类认识的发展：3˚在通常意义和Lebesgue意义下都无法解释的“函数”四、几个问题a.极值问题——从函数极值到短程线问题半正定——极小半负定——极大泛函的极值：短程线，障碍问题（1）捷线问题：初速为0的质点，仅受重力作用，沿光滑曲线由定点A滑行到定点B（B低于A但不在同一条垂直于地面的直线上），为使滑行时间最短，问滑行的曲线是怎样的？AyBx分析：AyBx(2)短程线众所周知，连接平面上两点A、B的最短线为直线。那么，我们来考虑如下有趣的问题：要在山坡上修建一条最短的公路连接两个居民点A、B，问如何选线？分析：设山坡的曲面方程为F(x,y,z)=0,设连接A、B的曲线为：y=y(x)z=z(x)则A、B间曲线

的弧长是所以，要在约束条件F(x,y,z)=0之下，求泛函的最小值（3）等周问题：平面上一切有定长的简单闭曲线中，确定一条围成最大面积的曲线。设曲线方程为

是定长，则面为，

求A在约束条件之下求最小值————等周问题。历史上用平面几何和不等式的办法曾经证明了下面的等周定理，为了证明它，人类花了两千多年（1）在具有给定周长的所有平面图形中，圆的面积最大。

（2）在所有给定面积的平面图形中，圆的周长最小。

（1’）在具有给定表面积的所有立体图形中，球的体积最大。

（2’）在具有给定体积的所有立体图形中，球的表面积最小。等周定理：其他还有三角形的等周定理，多边形的等周定理。（4）绕过障碍拉紧橡皮筋带两端A、B，绕过平板W光滑边缘，则弧长为但是要保证其中是W的边界方程。（5）球面上的短程线（6）不动点定理－从一维到高维－求解非线性问题i.设在上连续，且，则存在,使得即：连续且将映到自身，那么在中有不动点，此为Schauder不动点。ii.压缩映象原理如果函数定义在上，且存在使得那么存在唯一的使得iii.高维

如果一个连续映射φ把一个闭单位球映到自己，那么这个闭单位球内有这个映射的不动点。还有类似的压缩映射原理iv.无限维在Banach空间上，有Schauder不动点原理，Brower不动点原理，Leray－Schauder不动点原理。它们是求解非线性问题的有力工具。五、总结——可供选择的题目1、变分问题

3、函数方程常见解法4、隐函数定理及其应用2、不动点定理及其应用5、中学如何讲授微积分（在没有的情况下）6、中学数学问题中的微分方程7、从分析角度谈数系8、球面上三角形的计算问题9、函数的迭代11、无穷大量对中学数学的指导意义（有界、无界、渐近线等）12、不等式的证明——从离散到积分形式（函数的导数、积分、凹凸性）10、复数方法解决中数问题13、用拓扑的观点看函数的连续性和一致连续性六、现在，把上面提到的有些问题作一些解释1、关于函数方程其他函数方程：①②③其他方程如：待定系数法、极限、幂级数法微积分法还可用于

可以从已知函数所满足的关系式反过来思考，再讨论一些函数方程。参考文献：王向东等著，函数方程及其应用，上海科技文献出版社，20032、函数的迭代与不动点设连续函数f:R→R，复合函数f(f(x))记作f2(x)≡f(f(x)),类似的定义f(f(f(x)))=f3(x),…,f(f(…f(x)…))=fn(x),称为函数的迭代。视n次迭代fn

为R中的一个映射。

若存在x∈R，使fn(x)=x，则称x是映射fn

的不动点。fn

的不动点的集合记作Fix(fn)

可以考察：n→∞，极限是什么（对具体函数或给f一定的条件）?

也可以考察，在哪些条件下，fn

有不动点，Fix(fn)有什么性质？3、用不动点解非线性问题或用迭代法求解非线性问题例：设f(x)在[a,b]上连续，且a≤f(x)≤b，

x

∈[a,b]，求证存在x0∈[a,b]，使x0=f(x0)思想：选x1∈[a,b]，定义xn+1=f(xn)，n=1，2，‥证明{xn}收敛且极限x0就是不动点。思考：①推广到高维映射；②应用到其他的问题；*2006年高考题：A是由定义在[2,4]上具有满足如下条件的函数组成的集合：4、解微分不等式——Gronwall不等式

由在一定条件下研究的性质，推广到其他多种变形。

Gronwall不等式是研究偏微分方程的重要工具。5、常微分方程有限时刻爆破的问题例：对一阶非线性常微分方程

当满足什么条件时，一定在某个有限时刻爆破，即：

也可研究任意时刻不爆破.

还可以推广到高阶非线性常微分方程的初值问题或边值问题。甚至可以推广到偏微分方程*科学研究常用步骤：

选题＝＞调研＝＞收集资料（卡片）＝＞写作＝＞遇到问题再查资料

＝＞解决一部分问题＝＞推广11醉翁亭记

1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。

2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。

3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007—1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。

关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例

环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？

明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2．以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3．教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见《我的积累本》。目标导学四：解读文段，把握文本内容1．赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。

明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2．第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3．第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4．作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5．第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1．在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2．反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使