安徽中考数学专题复习(二)：几何图形动点问题(34)课件

专题二：几何图形动点问题专题二：几何图形动点问题专题二几何图形动点问题专题解读：几何图形动点问题是安徽中考近10年的高频考点，2019、2017、2016年均在选择压轴题考查，其中2019年考查带有限定条件的动点问题，2017年考查利用对称性求线段和的最小值；2016年考查利用隐形圆求线段的最小值；2015年在20题结合圆的基本性质涉及考查线段最值问题；2011年在22(3)题结合几何图形综合题考查线段最值问题．专题二几何图形动点问题专题解读：几何图形动点问题是安徽中考类型一最值问题[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]一、利用垂线段最短求线段最值【问题】A为直线m外一点，求点A到直线m的最短距离.【解决思路】过点A作AP⊥m，此时点A到直线m的距离最短，即AP的长.类型一最值问题[2017、2016.10，2015.20，2011.22(3)]一、利用垂线段最短求线段最值类型一最值问题一、利用垂线段最短求线段最值【问题】A为直线例如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点P是边BC上一动点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接EF，若点M为EF的中点，连接MP，则PM的最小值是(

)例题图A.B.C.D.A例如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，如解图，∵点M为EF的中点，∴连接AP必过点M，且AP＝EF＝2PM，∴当AP最小时，PM取得最小值，根据直线外一点到直线上任意一点的连线中，垂线段最短，可知当AP⊥BC时，AP最短，PM取得最小值．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝5，S△ABC＝

AB·AC＝

BC·AP，解得AP＝

，∴PM的最小值为.例题解图【解析】∵∠BAC＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形二、利用“将军饮马”求线段最值模型一“一线两点”型(一动点＋两定点)类型1异侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．【解决思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．连接AB交直线l

于点P，点P即为所求．二、利用“将军饮马”求线段最值模型一“一线两点”型(一动例1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AB边上一点，且AE＝2，则线段EF＋CF的最小值为(

)A.B.C.D.2例1题图例1题解图【解析】如解图，连接CE交AD于点F′，∵EF＋CF≥EF′＋CF′＝CE，∴当点F与F′重合时，此时EF＋CF有最小值，且最小值为线段CE的长．∵AB＝4，AE＝2，由等边三角形性质可知CE⊥AB，∴CE＝＝＝2.即EF＋CF的最小值为.B例1如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F类型2同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．【解决思路】将两定点同侧问题转化为两定点异侧问题，同类型1即可解决．可作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，点P即为所求．安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型2同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为(

)A.B.C.D.例2题图例2题解图【解析】如解图，易知点B与点D关于AC对称，当点P在AC与BE的交点时，PD＋PE取得最小值，∵PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，∵正方形ABCD面积为12，∴AB＝＝

，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝

，即PD＋PE的最小值为.B安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例2如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形类型3同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型3同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为(

)A.B.C.D.3例3题图A【解析】如解图，连接MO并延长，与BC交于点P′，∵PM－PO≤MO，当P与P′重合时，此时PM－PO有最大值，且最大值为MO的长度，过点M作MN⊥BC于点N，在△AOM和△COP′中，∠AOM＝∠COP′，OA＝OC，∠OAM＝∠OCP′，∴△AOM≌△COP′，∴OM＝OP′＝

MP′，∴CP′＝AM＝4－1＝3，BP′＝1，∴P′N＝4－1－1＝2，∴MP′＝＝，∴OM＝

MP′＝.∴PM－PO的最大值为.例3题解图安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例3如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，类型4异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型4异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，例4

(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6，P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为________．例4题图2例4题解图【解析】如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB和CB关于对角线BD对称，作点M关于BD对称的点M′，则点M′在AB上，连接PM′、M′N，根据对称可得BM′＝BM＝6，又∵AB＝8，∴AC＝＝8，AM′＝2，AN＝

AO＝×AC＝2，∵cos∠M′AN＝cos45°＝＝，∴∠AM′N＝90°，∴M′N＝AM′＝2，∵PM－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，∴PM－PN的最大值为2.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例4(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，A模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】模型二“一点两线”型(两动点＋一定点)【问题】点P是∠A例5如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为(

)A.4

B.5

C.6

D.7例5题图C安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例5如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CM、OC、DN、OD，∵点P关于OA的对称点为C，∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA，∵点P关于OB的对称点为D，∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，∴OC＝OD＝OP＝6，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，△PMN的周长为PM＋PN＋MN＝CM＋DN＋MN，连接CD分别交OA，OB于点M′，N′，∵CM＋DN＋MN≥CM′＋DN′＋M′N′，当M与M′，N与N′重合时，△PMN的周长最小，即为线段CD的长度，∵∠COD＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴CD＝OC＝OD＝6.∴△PMN的周长的最小值为6.例5题解图安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】【解析】如解图，分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．【解决思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】模型三“两点两线”型(两动点＋两定点)【问题】点P、Q是∠例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．例6题图例6题解图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝＝

，EF＝＝

，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝.例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．例6题解图【解析】如解图，分别作点A关于x轴的对称点E，作点B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于点D，交y轴于点C，连接AD、BC.在x轴，y轴上分别任取一点D′，C′，∵AB＋BC′＋C′D′＋AD′≥AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋CF＋CD＋DE＝AB＋EF，当点D，C分别与D′，C′重合时，AB＋BC＋CD＋AD最小，∵A(－3，－1)，B(－1，－3)，∴E(－3，1)，F(1，－3)，∴AB＝＝

，EF＝＝

，即四边形ABCD的周长的最小值为AB＋BC＋CD＋AD＝AB＋EF＝.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例6如图，在平面直角坐标系中，A(－3，－1)，B(－1，三、利用圆的相关性质求线段最值提分要点定点定长作圆平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹在以点A为圆心，AB长为半径的圆上(如图①)．推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不与点B重合)，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，则点B′的运动轨迹为以E为圆心，线段BE为半径的半圆弧．图①图②安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】三、利用圆的相关性质求线段最值提分要点定点定长作圆图①图②安类型1点圆最值【模型分析】平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值．具体分以下三种情况讨论(规定OD＝d，⊙O半径为r)：(i)若D点在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为________，DE的最小值为________；图①图②d＋rd－r安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型1点圆最值【模型分析】图①图②d＋rd－r安徽中考数学(ii)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，

DE的最大值为________，DE的最小值为________；(iii)当点D在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为______，DE的最小值为________．图③图④图⑤d＋r=2rd－r=0d＋rd－r安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】(ii)当D点在圆上时，d＝r，如图③：当D、E、O三点共例1题图例1如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，连接CD′，则CD′的最小值是(

)A.1B.C.D.C【解析】如解图，由折叠知，点D′在以点A为圆心，AD为半径的圆弧上，当点A，D′，C在同一直线上时，CD′有最小值，在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝，∴CD′的最小值是AC－AD′＝AC－AD＝.例1题解图安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例1题图例1如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E是例2如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，连接CF，则CF的最小值为(

)例2题图A.B.C.D.例2题解图B【解析】易证△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠ABF＋∠BAF＝∠ABF＋∠CBE＝60°，∴∠AFB＝120°，即∠AFB的度数保持不变．如解图，作△ABF的外接圆O，则点F在劣弧上运动．连接OC、OB，OC交劣弧于点F′，当点F与点F′重合时，CF的长度最小．易知△OBC是直角三角形，∠OCB＝30°，∴OB＝BC＝

，∴OC＝2OB＝

，∴CF′＝OC－OF′＝－＝.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例2如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D、E分别在BC、类型2线圆最值图①图②【模型分析】(i)如图，AB为

O的一条定弦，点C为圆上一动点．(1)如图①，若点C在优弧上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大；(2)如图②，若点C在劣弧上，当CH⊥AB且CH的延长线过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型2线圆最值图①图②【模型分析】安徽中考数学专题复习（二(ii)如图，O与直线l相离，点P是

O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是________(如图③)，点P到直线l的最大距离是________(如图④)．图③图④d＋rd－r安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】(ii)如图，O与直线l相离，点P是O上的一个例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作

C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为(

)A.B.2C.D.4例3题图例3题解图A【解析】如解图，连接CP、CQ，∵PQ是C的切线，∴CQ⊥PQ，∴∠CQP＝90°.根据勾股定理得PQ2＝CP2－CQ2，∵CQ为定值，∴当CP最短时，PQ最短．即当PC⊥AB时满足题意．∵在Rt△ACB中，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝.当PC⊥AB时，易得△PCB∽△CAB，∴＝，即CP＝

＝

＝.∴PQ＝＝＝.∴PQ的最小值是.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，B例4如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作

D，P为

D上的一个动点，连接AP、OP、AO，则△AOP面积的最大值为___．例4题图例4题解图【解析】如解图，延长AO至C点，过点D作DF⊥AC于点F，延长FD交

D于点P′，连接AP′，OP′，要使△AOP面积最大，则只需AO边上的高最大，此时P′满足条件，即P′F为最大的高，在△ADC中，

AD·DC＝

AC·DF，∴DF＝

＝＝

，∴P′F＝DF＋DP′＝+1＝，AO＝

AC＝.∴S△AOP的最大值为

AO·P′F＝××＝.安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例4如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形A类型3直径对直角图①【模型分析】(i)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，则AB为O的直径．(ii)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹圆是_________________________________．图②以AB为直径的O(不包含A、B两点)安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型3直径对直角图①【模型分析】图②以AB为直径的例5如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN交于点P，则PC长的最小值为_________.例5题图例5题解图【解析】如解图，连接AC、BD交于点E，在正方形ABCD中，∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4.由题意可知BM＝CN，∴△ABM≌△BCN.∴∠BAM＝∠CBN.又∵∠CBN＋∠NBA＝90°，∴∠BAM＋∠NBA＝90°.∴∠APB＝90°.又∵AB＝4，根据“定边定角”模型可得点P在以AB为直径的上运动，取AB的中点O，连接OC，线段OC交于点P，此时PC的长最小，PC＝OC－OP＝－2＝－2＝

安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】例5如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和点N分别从B类型4四点共圆【模型分析】(i)如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得：OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆，共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等重要的途径之一．图①图②安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】类型4四点共圆【模型分析】图①图②安徽中考数学专题复习（二(ii)圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于180°，可考虑作它的外接圆解题．如图③，四边形ABCD中，满足∠ABC＋∠ADC＝180°，∴四边形ABCD的外接圆为

O，圆心O为任意一组邻边的垂直平分线的交点(点O为AB和BC垂直平分线的交点)．图③安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】安徽中考数学专题复习（二）：几何图形动点问题（34PPT）【优质课】(ii)圆内接四边形对角互补，若满足其中一组对角角度之和等于【解析】如解图，连接AC、BD交于点O，连接PO、EO.∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A、C、E、D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为4，∴OE＝OD＝

BD＝，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP＝

AD＝2，∵PE≤OP＋OE＝2＋，∴当点O在线段PE上时，线段PE有最大值，此时PE＝OP＋OE＝2＋，即线段PE的最大值为2＋.例6如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一点，且满足∠AED＝45°，P为AB的中点，则